第三节格林公式及其应用 教学目的:理解和掌握格林公式及应用 教学重点:格林公式 教学难点:格林公式的应用 教学内容 Green公式 单连通区域 设D为单连通区域,若D内任一闭曲线所围的部分都属于D称D为单连通区域 (不含洞),否则称为复连通区域(含洞)规定平面D的边界曲线L的方向,当观看者 沿L行走时,D内在他近处的那一部分总在他的左边,如 定理1.设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)和 g(xy)在D上具有一阶连续偏导数,则有 L为D的取正向的 边界曲线即格林公式 P 证:对既为x-型又为y型区域22:y=2(x)∵ 连续, x)aP(x,y ay (x1,2(x)]-x1,(x)])dx :y=(0又故=+2k P[x1,(x)]x_Fx1, 2(x)lx x1,a1(x)-x,2(x)]dx I addy=Pdx
第三节 格林公式及其应用 教学目的：理解和掌握格林公式及应用 教学重点：格林公式 教学难点：格林公式的应用 教学内容： 一、Green公式 单连通区域. 设 为单连通区域，若 内任一闭曲线所围的部分都属于 .称 为单连通区域 （不含洞），否则称为复连通区域（含洞）.规定平面 的边界曲线 的方向，当观看者 沿 行走时， 内在他近处的那一部分总在他的左边，如 定理1. 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，函数 和 在 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 则 有 = . 为 的取正向的 边界曲线.即格林公式 证：对既为 - 型又为 -型区域 ： ∵ 连续， = = ： 又 = + = ∴
M 对于y-型区域,同理可证⑩ dxdy t edx ∴原式成立 对于一般情况,可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域,在D1,D2,D3,D4上应 用格林公式相加,由于沿辅助线积分是相互抵消,即可得证. 几何应用,在格林公式中,取P=-y,Q=x 2‖1axd+xdy 说明:1)格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 0 2)记法方多2-1b 3)在一定条件下用二重积分计算曲线积分,在另外条件下用曲线积分计算二重 积分 4)几何应用 例1计算一+【x+L,(x-12+(-412=9 原式( a 例1.计算星形线y=asin°t围成图形面积(0≤t≤2x) A (a cos't 3a sin tcost +asin't 3a 37a 二平面上曲线积分与路径无关的条件 1)与路无关:是G为一开区域,F(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,若 G内任意指定两点A,B及G内从A到B的任意两条曲线1,L2 Pdx+ gdy=L Pdx+gdy 恒成立,则称 Px+Qy在G内与路径无关否 则与路径有关 (x+y)dx +(x-y)dy 1:从(1)到(2,3的折线 L2从(1)到(2,3的直线
对于 -型区域，同理可证 = ∴原式成立 对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在 上应 用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证. 几何应用，在格林公式中，取 ， = ∴ 说明：1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立 2）记法 = 3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重 积分. 4）几何应用. 例1． 计算 ： 解： 原式= ， ， 例1． 计算星形线 围成图形面积 = 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 1） 与路无关：是 为一开区域， 在 内具有一阶连续偏导数，若 内任意指定两点 及 内从 到 的任意两条曲线 恒成立，则称 在 内与路径无关.否 则与路径有关. 例1． ：从 到 的折线 从 到 的直线
解r12+(2-y)d十(+x)=5 +2(x-2),即y=2x-1 )2(x+y)dx+(x-y)ay_ (1,1) [(x+2x-1)+2(1-x)]d 定理:设2P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D内有连续的一阶偏导数,则以下四个条件相 互等价 1)内任一闭曲线C,Pak+b=0 (2)对内任一曲线L Pdx + pay 与路径无关 (3)在D内存在某一函数(x,y)使d(x,y)=x+在D内成立 (4) ax,在D内处处成立 证明:(1)→(2)在D内任取两点AB,及连接AB 的任意两条曲线ABB,AG C=AGB+BGA为D内一闭曲线 由(1)知 Pdx pay 即J2ax+ ody + Pdx+pdy=0 Pdx +Ody r Pdx+edy (2)→(3)若Px+20在D内与路径无关当起点固定在(xy)点,终点为 (x,y)后,则 Pdx + Ody 是x,y的函数,记为(x,y) 下证:a(x,y)=ka Pdx + pdy 的全微分为a(x,y)=Fax+gy a Mox y) F(x,y),Q(x,y)连续,只需证ax P(x,y) Kx+dx, y) e(x,y) Monja a(x+△x) 由定义Ox dx gay (x,y)+ Pdx+Oa (x,y) (x+△x)-(x)-F2x-P△x,P=Px+x,y)(0≤8≤D
解： = 3 ： ,即 = 定理：设 ， 在单连通区域 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相 互等价 （1）内任一闭曲线 ， = . （2）对内任一曲线 ， 与路径无关 （3）在 内存在某一函数 使 在 内成立. （4） ，在 内处处成立. 证明：（1） （2） 在 内任取两点 ，及连接 的任意两条曲线 ， ∴ 为 内一闭曲线 由（1）知 ， 即 + = ∴ = （2） （3）若 在 内与路径无关.当起点固定在（ ）点，终点为 后，则 是 的函数，记为 . 下证： = 的全微分为 = . ∵ ， 连 续 ， 只 需 证 ， ， 由定义 = + = + ∴ = =
a =」 P(x,y) e(x,y) 即Ox 同理 (3)→(4)若aa(x,y)=2ax+gy,往证2y= ,P2,Q apap a aQ ax@,Ox@ox,由2,Q具有连续的一阶偏导数 aay adx 故O=a (4)→(1)设C为D内任一闭曲线,D为C所围成的区域Pa+p2 )dxdy 例2.曲线积分 「(o”+xk+(a2-2),乙为过(00,(0D和(2)点的圆弧 日 解:令P=gy+x,Q 则a 与路径无关 取积分路径为OA+AB +Ody Pdx +eay (1+x)dx+(e'-2yay_e 例2.计算 压x ,(1)c为以(0,0)为心的任何圆周 (2)c为以任何不含原点的闭曲线 解:(1)令 (x2+y2)2 (x2+y2)2 ∴在除去(0,0)处的所有点处有=ax,做以0为圆心,r 为半径作足够小的圆使小圆含在C内 。+Pax+ 日 Pdx +edy 2丌≠0 ap aQ (2)∵=ax Pdx+Ody 三、二元函数的全微分求积 Pdx pay 与路径无关,则2ax+息ab为某一函数的全微分为
即 ， 同理 . （3） （4）若 = ，往证 = ， ， ， ， 由 具有连续的一阶偏导数 故 = （4） （1）设 为 内任一闭曲线， 为 所围成的区域. = = . 例2．曲线积分 ， 为过 ， 和 点的圆弧. 解： 令 ， ，则 ， ∴ 与路径无关. 取积分路径为 . + = = 例2． 计算 ， （1） 为以 为心的任何圆周. （2） 为以任何不含原点的闭曲线. 解：（1）令 ， ， ， ， ∴在除去 处的所有点处有 = ，做以0为圆心， 为半径作足够小的圆使小圆含在 内，∴ = ，即 = （2）∵ = ∴ 0 三、二元函数的全微分求积 ∵ 与路径无关，则 为某一函数的全微分为
(x,y)=k) +卿eax+gPax+g小 注:(x,y)有无穷多个 验证:(2x+iy)ax+xco8y是某一函数的全 微分,并求出一个原函数 解:令P=2x+sny,g= cOsY (x,y) x cos y ay 原式在全平面上为某一函数的全微分,取 (x0,y0)=(0,0 (xy)=[3y) Pdx+pay 2xdx+ yay=x+xsiny 例5.计算O2-m)+(e2-m),c为从E到F再到G,阳是半圆弧 解:令P=y2 o= 3ye FQ2,1) 2=3y2e-m ==3y2ex a aP E(10 G(30 添加直线GE,则,原式+l02x+a= 3个玲 m(1+ ∴原式= ↑B 例6.设J(x)在(-∞,+∞)上连续可导,求 1+yf(x, y)ix+ Ly f(x,y)ky 其中 A(3, 为从点 3到B(2)的直线段 P 1+y2f(x,y) Q=[y2f(x,y)-1 解:令 aP [2xf ( x,y)+xy2f'(xyly-1-y2f(x, y) y2f(x,y)+xf(x,y)-1 2=i[y2y(x,y)-1+03/(x,D) 2f(x,y)+xy/f(x,y-1
= = + 注： 有无穷多个. 例3． 验证： 是某一函数的全 微分，并求出一个原函数. 解：令 ， ， ∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取 ， = = 例5． 计算 ， 为从 到 再到 ， 是半圆弧 解：令 ， ， ， 添 加 直 线 ， 则 ， 原 式 + = = = ∴原式= = 例 6 ． 设 在 上 连 续 可 导 ， 求 ，其中 为从点 到 的直线段. 解；令 ， =
ay 故原积分与路径无关,添AC+CB构成闭路,∴原式+]c 2y2f()-1]2 ∴原式 f(x)ax+f(y)-一p 2 X=ie 2+ +2f(a)aha+0)+ 练习:1.证明:若J()为连续函数,而C为无重点的按段光滑的闭曲线,则 /(x2+y)xh+y)=0 2.确定的n值,使在不经过直线y=0的区域上 与路径无关,并求当C为从点(11)到 点B(02)的路径时的值 2,=1-√2 3.设∫(x,y),g(x,y)为L上的连续函数,证明 盒+8L+gh 小结:1.格林公式及应用,积分与路径无关的四个等价命题,全微分求积 2.格林公式使有些问题简化,有时可计算不封闭曲线积分,只需添上一条线使之成 为封闭曲线,再减去所添曲线的积分值即可 作业:P1532,3,5
，故原积分与路径无关，添 构成闭路，∴原式+ ∴原式= = 练习：1. 证 明 ： 若 为 连 续 函 数 ， 而 为 无 重 点 的 按 段 光 滑 的 闭 曲 线 ， 则 . 2. 确 定 的 值 ， 使 在 不 经 过 直 线 的 区 域 上 ， 与路径无关，并求当 为从点 到 点 的路径时 的值. ， 3 ． 设 ， 为 上 的 连 续 函 数 ， 证 明 小结： 1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积. 2. 格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成 为封闭曲线，再减去所添曲线的积分值即可. 作业：P153 2，3，5