第六节高斯公式通量与散度 教学目的:理解和掌握高斯公式及应用,了解通量与散度的概念 教学重点:高斯公式 教学难点:高斯公式的应用 教学内容 Gauss公式 定理,设空间闭区域g是有分片光滑的闭曲面∑所围成的,函数F(xy,2),Q(x,y aP a0, aR 导数 Oxta+ a dvh. pdydz+@dzdx+Rdxdy A(pcos a+e cos B+RcosyXs Eu 其中∑是g的整个边界曲面的外侧,CSa,cosA,csy是∑ 向余弦,称之为高斯公式 证明:设Ω在x°y面上证明:设在xoy面上的投影域 轴的直线与的边界曲面的交点恰好两个,则∑由21,52,2 侧,∑2:z=z2{x,y)取上侧,2(xy)≤z2(x,y),3是以D 行于Z轴的柱面的一部分,取外侧, x,y,2 [R(x, ,2 ( x, )k-x 0(xy,2小{xy,2(xy) R (x, y, z kxdy=0 aR J adv=JR(x, y, 2)(D ax 类似:若过Ω内部且平行于x轴,y轴的直线与g的边界曲面∑的交点也且由两个时有 a=』P(xy,x) (1)+(2)+(3)即可证得高斯公式 若Ω不满足上述条件,可添加辅助面将其分成符号条件的若干块,且在辅助面两侧积分之 例1 -2)+(z-xax+(x-y)x】是z2=x2+y2与z=h>围成表面 的外 P=x-z).2=z-x, R=x-y, AU aQ, aR 解:令 原式=-xh=[4」a
第六节 高斯公式 通量与散度 教学目的：理解和掌握高斯公式及应用，了解通量与散度的概念 教学重点：高斯公式 教学难点：高斯公式的应用 教学内容： 一. Gauss公式 定理，设空间闭区域 是有分片光滑的闭曲面 所围成的，函数 ， 导数，则 = = 其中 是 的整个边界曲面的外侧， 是 上 向余弦，称之为高斯公式. 证明：设 在 面上证明：设 在 面上的投影域 轴的直线与 的边界曲面 的交点恰好两个，则 由 侧， 取上侧， ， 是以 行于 轴的柱面的一部分，取外侧， 类似：若过 内部且平行于x轴，y 轴的直线与 的边界曲面 的交点也且由两个时有 (1)+(2)+(3)即可证得高斯公式 若 不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积分之 例1 的外 解：令
21 解:添上(z=0 与∑构成封闭曲面 P=xQ=y,R=,则2+3+BR ax ay az 手动如++=322=2 ∫d+)d+b=db=0 而工t 原式=27 通量与散度 V=HPdydz+ gdzdx+Rdxdy 高斯公 右端物理意义:为单位时间内(流体经过流向指定侧的流体的质量)离开闭域Ω的流体的 流体不可压缩且流动是稳定的,有流体离开Ω的同时,其部必须有产生流体的“源头 充,故左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量 =节.ds=v,ds 高斯公式可用向量形式表示:"日 ay az 2+2+2 vds 同除闭区域Ω的体积(x 左端为内的源头在单位时间、单位体积内所产生流体质量的平均值,应月 y,d,(2,,4) ,令Ω缩为一点M(x +2 R ae+ ae ay az 称Oxa为泸在点M的散度,记dv,艮 散度dv可看成稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度——单位时间内、单位体 di为负时,表示点M处流体在消失 般若向量场A(x,y,z)=P(x,yz)+g(xy,z)7+R(x,y,2),P,Q,R有一阶连续偏 A nds 面,方为∑上点(x,yz)处的单位法向量,则 称为向量场A通过曲面∑向着扌 aP,aQ aR axaz叫做向量场A的散度,即 divA=A ds 高斯公式又一形式a ,∑为g的边界曲面 A= AD=Pcos a+ecos 8+Rcos y 是向量A在曲面∑的外侧法向量上的投影 J6-xpydz+4xydzdx-2xzdxdy 例3试计算s ,S为曲线{z=0(0≤y≤a)绕Ox 矢量与x轴正向夹角为钝角
解：添上 与 构成封闭曲面 令 而 原式= 二. 通量与散度 高斯公式： 右端物理意义：为单位时间内（流体经过流向指定侧的流体的质量）离开闭域 的流体的 流体不可压缩且流动是稳定的，有流体离开 的同时，其部必须有产生流体的“源头” 充，故左端可解释为分布在 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量 高斯公式可用向量形式表示： 同除闭区域 的体积: 左端为 内的源头在单位时间、单位体积内所产生流体质量的平均值，应用 ，令 缩为一点 ，称 为 在点M的散度，记 ，即 散度 可看成稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度——单位时间内、单位体积 为负时，表示点M处流体在消失 一般若向量场 ， 有一阶连续偏 面， 为 上点 处的单位法向量，则 称为向量场 通过曲面 向着指 叫做向量场 的散度，即 高斯公式又一形式 ， 为 的边界曲面， 是向量 在曲面 的外侧法向量上的投影。 例3 试计算 ， 为曲线 绕 轴 矢量与 轴正向夹角为钝角
图10-6-2Az aP, a2, aR +4x-2x0 J (1-x2bydz+4xydzdx-2xzdxdy=odv=0 xyz+ 4xydzdx-2 =-。2) 原式=--2k 练习 2zxdydz-2ydzdx+ 5z-z xdy, 2 (1≤y≤2) 1.计算 曲线x=0 绕z轴旋 案:c4a3-1+2) dz+-f-ldzdx +zdxdy 2设∫)有连续的一阶导数,计算y D由y=x2+2,y=8-x2-2所围立体的外侧 小结: 高斯公式 2.通量和散度
图10-6-2 练习: 1. 计 算 曲 线 绕 轴 旋 2.设 有连续的一阶导数，计算 所围立体的外侧。 小结： 1．高斯公式 2．通量和散度