第一节对弧长的曲线积分 教学目的:了解对弧长曲线积分的概念和性质,理解和掌握对弧长曲线积分的计 算法和应用 教学重点:弧长曲线积分的计算 教学难点:弧长曲线积分的计算 教学内容: 弧长的曲线积分的概念 曲线形构件的质量问题 设一构件占x∞y面内一段曲线弧L,端点为A,B,线密度(xy)连续 求构件质量M 解:(1)将L分割△s=12……,n (2)V(飞,n)∈△s;,△M2则(x,y1)△ M A M=lim∑o(x,y)△ =max{△s1,△s2;…,△n} 2定义L为xy面内的一条光滑曲线弧,f(x,y)在L上有界,用M2将L分成n小段△S1, 任取一点(与,7)∈AS(=12,…n)作和 ∑f(5,7)S 令 =max{△s1 △n},当见→0时, lm∑f(,n)△S1 存在,称此极限值为 f(x,y)de f(xy)在L上对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)记为 limn∑∫(5,n)S 注意:(1)若曲线封闭,积分号于f(xy)d f(,yds (2)若f(x,y)连续,则 存在,其结果为一常数 f(x,yx (3)几何意义f(x,y)=1,则 L(L为弧长) (4)物理意义M=2 f(x2 yis lin∑f(,,5)S (5)此定义可推广到空间曲线 (6)将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上
第一节 对弧长的曲线积分 教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计 算法和应用 教学重点：弧长曲线积分的计算 教学难点：弧长曲线积分的计算 教学内容： 一、弧长的曲线积分的概念 1． 曲线形构件的质量问题 设一构件占 面内一段曲线弧 ，端点为 ，线密度 连续 求构件质量 . 解：（1）将 分割 （2） ， （3） （4） 2定义 为 面内的一条光滑曲线弧， 在 上有界，用 将 分成 小段 ， 任取一点 作和 ，令 ，当 时， 存在，称此极限值为 在 上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 注意：（1）若曲线封闭，积分号 （2）若 连续，则 存在，其结果为一常数. （3）几何意义 =1，则 =L（L为弧长） （4）物理意义 M= （5）此定义可推广到空间曲线 = （6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上
ods M 1=Do(x, y)ds I,=xp(x, y) ds 1o=(x2+y2)p(x,)ds 转动惯量 f(x,yds (7)若规定L的方向是由A指向B,由B指向A为负方向,但2 与L的方向无关 3.对弧长曲线积分的性质 f(x,yyds Jf(x, ds f(x,yEs ∫(xy)g(x)[( a:设L=L1+L2,则 kf(x,ys f(x, y 二对弧长曲线积分的计算 定理:设f(x,y)在弧L上有定义且连续,L方程y=()(ast≤8) (t),v(t) 在[a月上具有一阶连续导数,且φ2()+y2()≠0,则曲线积分 f(x,yds 存在,且 )!10四0+ 说明:从定理可以看出 (1)计算时将参数式代入f(x),如=√四0+甲2()d,在[a,月上计算定积 分 (2)注意:下限a一定要小于上限,a0) (3)L:y=纵(x),a≤x≤b时, Jf(xy)[几x+()ax 同理乙,x=0,c5ys时,」(,)了0y+b )空间曲线P:x=9(),y=W(),z=叫() f(xy)x10020)0(0+(0+a2(O 例1.计算曲线积分,其中L是第一象限内从点A(0.1)到点B0)的单位圆弧 解(I)L:y ≤x≤1 L dx=1
重心： ， ， . 转动惯量： ， ， （7）若规定L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但 与 的方向无关 3．对弧长曲线积分的性质 a：设 ，则 = + b： = c： = . 二 对弧长曲线积分的计算 定 理 ： 设 在 弧 上 有 定 义 且 连 续 ， 方 程 （ ） ， 在 上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且 = . 说明：从定理可以看出 （1） 计算时将参数式代入 ， ，在 上计算定积 分. （2） 注意：下限 一定要小于上限 ， 0） （3） ： , 时， = 同理 ： ， 时， = (4) 空间曲线 ： ， ， ， = 例1．计算曲线积分 ，其中 是第一象限内从点 到点 的单位圆弧 解 (Ⅰ) ： ∴ =
B (Ⅱ)若L是1Ⅳ象限从A(0.1到222的单位圆 弧 oAs jbls jbhs (1)E=A+忌 5V1-x2.A dx √3 (2)若L:x=√1-y(2≤1d=1+ 一<t (3)L: x=cost, y=sin t 3 √-sin)2+cs2tah=d Jboss lsin dldt 3 例2.计算如:r=a日=0=4所围成的边界 解L=OA+AB+BO,在OA上y=00≤x≤ad=bh )a∫a=2-1 0≤日 丌 在AB上P=a 4ead日= 在OB上y=xd=√2dx 2
(Ⅱ) 若 是ⅠⅣ象限从 到 的单位圆 弧 （ 1 ） = + =+ = + = (2) 若 ： ( ) = = + (3) ： ， = = 例2．计算 ： 所围成的边界 解 ，在 上 = 在 上 = 在 上 = ∴ = +
例3.计算 ∷」x=rcos 日 解{y=rsin日L (-2≤B丌 +y== a cos 0 ds a acos e) +(a sin 0) de=ads f,R+yds E, acos e ade a sin e2 -2 日 +cOs 0≤日≤2 0).+Gsin 8).d8 -do 例4.2asL:y=xy=x2围成区域的整个边界 解L=0A+A交点y=x2()(1. ds xds ds_x√2dx +4xdx 1.对弧长曲线积分的概念和性质,2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 P1931P1942、3
例3．计算 ： 解 ： ∴ = = = 或 = ∴ = = = 例4． ： 围成区域的整个边界 解 = 交点 = + = + = + = + 小结 1.对弧长曲线积分的概念和性质，2.对弧长曲线积分的计算法和应用 作业 P193 1 P194 2、3
