第七节方向导数与梯度 教学目的:掌握方向导数的定义和求法;掌握梯度的定义、求法及其与等高 线的关系 教学重点:方向导数与梯度的求法 教学难点:方向角的确定 教学内容 方向导数 现在我们来讨论函数z=f(xy)在一点P沿某一方向的变化率问题 定义设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域U(2)内有定义自点P引射线l 设x轴正向到射线的转角为9(逆时针方向:φ>0:顺时针方向:<0),并设P (x+△x,y+△y)为?上的另一点且P∈U(p)我们考虑函数的增量J(x+△x,y +△y)-f(x,y)与P、P两点间的距离=√△Ax+(4y)2的比值当P’沿着 趋于P时,如果这个比的极限存在,则称这极限为函数(x,y)在点P沿方向的方向 导数,记作∂,即 im(x+△xy+4y)-f(x 从定义可知,当函数J(xy)在点P(xy的偏导数Jx、J存在时,函数在点P 沿着x轴正向1=0),y轴正向2={0.的方向导数存在且其值依次为xfy 函数(x,y)在点P沿x轴负向e1={(-1,0},y轴负向e2=0.-的方向导数也存在 且其值依次为-Jfx、-f 关于方向导数a}的存在及计算,我们有下面的定理 定理如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的,那末函数在该点沿任一方向 的方向导数都存在,且有 cos (-+ 其中为x轴到方向的转角 证根据函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分的假定,函数的增量可以表达为 f(x+△x)y+2Ay)-f(x,y)=2y△x+2 两边各除以P,得到
第七节 方向导数与梯度 教学目的：掌握方向导数的定义和求法；掌握梯度的定义、求法及其与等高 线的关系. 教学重点：方向导数与梯度的求法. 教学难点：方向角的确定. 教学内容： 一、方向导数 现在我们来讨论函数 在一点 沿某一方向的变化率问题. 定义 设函数 在点 的某一邻域 内有定义.自点 引射线 . 设 轴正向到射线 的转角为 （逆时针方向： 0；顺时针方向： 0），并设 ＇( +△ , +△ )为 上的另一点且 ＇∈ .我们考虑函数的增量 ( +△ , +△ )－ 与 、 ＇两点间的距离 的比值.当 ＇沿着 趋于 时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数 在点 沿方向 的方向 导数，记作 ，即 (1) 从定义可知，当函数 在点 的偏导数 x、 y存在时，函数在点 沿着 轴正向 = ， 轴正向 = 的方向导数存在且其值依次为 x、 y， 函数 在点 沿 轴负向 = ， 轴负向 = 的方向导数也存在 且其值依次为- x、- y . 关于方向导数 的存在及计算，我们有下面的定理. 定理 如果函数 在点 是可微分的，那末函数在该点沿任一方向 的方向导数都存在，且有 (2) 其中 为 轴到方向 的转角. 证 根据函数 在点 可微分的假定，函数的增量可以表达为 两边各除以 ，得到
f(x+Δx,y+Ay)-f(x,y) △x,a ar oso+esin o() lim(x+△xy+)=x2 os+ 所以 这就证明了方向导数存在且其值为 al -Cos D 例826求函数z=xc20在点P(10)处沿从点P(1,0)到点Q(2-1)方向的方向导 丌 解这里方向即向量P--1]的方向,因此x轴到方向的转角二4, 因为 az 2 在点(0),欧,@故所求方向导数 az 例827设由原点到点(x,)的向径为r,x轴到r的转角为日,x轴到射线l的转角 为,求,其中”=H=√x2+y2(≠0 解因为 日 cos ecos 所以 +sin sin cos(6-p) a 由例826可知,当9=日时,Q”,即r沿着向径本身方向的方向导数为而当 日± 0 2时,2,即产沿着与向径垂直方向的方向导数为零 对于三元函数x=J(xy,2)来说,它在空间一点P(x,y,2)沿着方向l(设方向的 方向角为(aRy)的方向导数,同样可以定义为
所以 这就证明了方向导数存在且其值为 例8-26 求函数 = 在点 处沿从点 到点 方向的方向导 数. 解 这里方向 即向量 = 的方向，因此 轴到方向 的转角 ， 因为 在点 ， , .故所求方向导数 例8-27 设由原点到点 的向径为 ， 轴到 的转角为 ， 轴到射线 的转角 为 ，求 ，其中 = . 解 因为 . 所以 由例8-26可知，当 时， ,即 沿着向径本身方向的方向导数为1;而当 时， , 即 沿着与向径垂直方向的方向导数为零. 对于三元函数 = 来说，它在空间一点 沿着方向 (设方向 的 方向角为 的方向导数，同样可以定义为
=1im(x+△xy+△y,z+△2)-f(xy,2) 其中=√(△x)2+(△2+(△2)2,△x= o cos a△y=cosB,△z=Cosy 同样可以证明,如果函数在所考虑的点处可微分,那末函数在该点沿着方向的方 向导数为 al cos C+cos 8+2cos 梯度 1.梯度的定义 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度 定义设函数z=f(xy)在平面区域D内具有一阶连续偏导数,则对于每一点 (x,y)∈D,都可定出一个向量 a°:,d 这向量称为函数z=(x,y)在点P(x,y)的梯度,记作gadJ(x,y),即 af,af grad f(x,y)=ax ay 如果设e=Cosq+smn是与方向/同方向的单位向量,则由方向导数的计算公式 可知 a cosφ [cos o, sin l as a dx ay gradf(x, y)cos(gradf(x,y),e) 这里,(gaf(x,y),e表示向量graf(x,y)与e的夹角由此可以看出,就是 梯度在射线上的投影,当方向l与梯度的方向一致时,有 cos(grad f(x, y) 从而∂}有最大值所以沿梯度方向的方向导数达到最大值,也就是说梯度的方向是函数 J(x,y)在这点增长最快的方向因此,我们可以得到如下结论 函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而 它的模为方向导数的最大值 由梯度的定义可知,梯度的模为 ay
(3) 其中 ，△ = ,△ = ,△ = . 同样可以证明，如果函数在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向 的方 向导数为 二、 梯度 1.梯度的定义 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度. 定义 设函数 在平面区域 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，都可定出一个向量 这向量称为函数 = 在点 的梯度，记作 ，即 = 如果设 是与方向 同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式 可知 这里，( ＾，e)表示向量 与 的夹角.由此可以看出，就是 梯度在射线 上的投影，当方向 与梯度的方向一致时，有 ( ＾， ) 1， 从而 有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说,梯度的方向是函数 在这点增长最快的方向.因此，我们可以得到如下结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而 它的模为方向导数的最大值. 由梯度的定义可知，梯度的模为
当ax不为零时,那末x轴到梯度的转角的正切为 我们知道,一般说来二元函数2=(x,y)在几何上表示一个曲面,这曲面被平面 z=c(c是常数)所截得的曲线/的方程为 z=f(x,y) 这条曲线l在xO面上的投影是一条平面曲线L(图8-10),它在xO平面直角坐标 系中的方程为 对于曲线C上的一切点,已给函数的函数值都是C,所以我们称平面曲线L为函数 z=∫(x,y)的等高线 由于等高线∫(x,y)=C上任一点(x,y)处的法线的斜率为 ;+ 所以梯度 为等高线上点P处的法向量,因此我们可得到梯度与等高线的下述关系:函数 z=f(x)在点P(x,y)的梯度的方向与过点P的等高线f(xy)=C在这点的法线的 个方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线(图8-10),而梯度的模 等于函数在这个法线方向的方向导数这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向 例8-28求 graa x2+y f(x,y) 解这里 因为ax(x2+y2)2’y(x2+y2)2 所以 3数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(MO,则称在这空间 区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场)等.一个数量场可用一个数量函数 f(M)来确定如果与点M相对应的是一个向量(MO,则称在这空间区域G内确定了 一个向量场(例如力场,速度场等)一个向量场可用一个向量函数F(M来确定,而 F(M=P(Mi +Q(j+R(Mk
当 不为零时，那末 轴到梯度的转角的正切为 我们知道，一般说来二元函数 在几何上表示一个曲面，这曲面被平面 z=c(c是常数)所截得的曲线 的方程为 这条曲线 在 面上的投影是一条平面曲线 （图8―10），它在 平面直角坐标 系中的方程为 对于曲线 上的一切点，已给函数的函数值都是 ，所以我们称平面曲线 为函数 的等高线. 由于等高线 上任一点 处的法线的斜率为 , 所以梯度 为等高线上点 处的法向量，因此我们可得到梯度与等高线的下述关系：函数 在点 的梯度的方向与过点 的等高线 在这点的法线的一 个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线（图8―10），而梯度的模 等于函数在这个法线方向的方向导数.这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向. 例8-28 求 解 这里 因为 所以 3.数量场与向量场 如果对于空间区域 内的任一点 ，都有一个确定的数量 ，则称在这空间 区域 内确定了一个数量场（例如温度场、密度场）等.一个数量场可用一个数量函数 来确定.如果与点 相对应的是一个向量 ，则称在这空间区域 内确定了 一个向量场（例如力场，速度场等）.一个向量场可用一个向量函数 来确定，而
其中P(MO,Q(MO,R(M)是点M的数量函数 利用场的概念,我们可以说向量函数gadf(MO确定了一个向量场—梯度场, 它是由数量场f(M产生的通常称函数∫(M)为这个向量场的势而这个向量场又称为 势场必须注意,任意一个向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度 小结:本节主要研究函数z=f(xy)在一点P沿某一方向的变化率问题,给 出方向导数的定义及其相关的梯度的定义,推导出方向导数和梯度的 求法,并通过梯度的意义介绍了等高线、等量面、数量场与向量场等 概念 作业: 1.求函数z=x2+y“在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,2+√3) 的方向的方向导数 2.求函数z=n(x+y)在抛物线y2=4x上点(1,2)处,沿着这抛物线在该 点处偏向x轴正向的切线方向的方向导数 3.求函数 在点√2√2丿处沿曲线ab2=在这点的内 法线方向的方向导数
其中 是点 的数量函数. 利用场的概念，我们可以说向量函数 确定了一个向量场——梯度场， 它是由数量场 产生的.通常称函数 为这个向量场的势.而这个向量场又称为 势场.必须注意，任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度 场. 小结：本节主要研究函数 在一点 沿某一方向的变化率问题，给 出方向导数的定义及其相关的梯度的定义，推导出方向导数和梯度的 求法，并通过梯度的意义介绍了等高线、等量面、数量场与向量场等 概念. 作业： １．求函数 在点（１，２）处沿从点（１，２）到点（２，２＋ ） 的方向的方向导数． ２．求函数 在抛物线 上点（１，２）处，沿着这抛物线在该 点处偏向ｘ轴正向的切线方向的方向导数． ３．求函数 在点 处沿曲线 在这点的内 法线方向的方向导数．