第一节向量及其线性运算 教学目的:将学生的思维由平面引导到空间,使学生明确学习空间解析几何的意义和目的 教学重点:1空间直角坐标系的概念 2空间两点间的距离 教学难点:空间思想的建立 教学内容 向量的概念 向量:既有大小,又有方向的量 在数学上用有向线段来表示向量,其长度表示向量的大小,其方向表示向量的方向: 在数学上只研究与起点无关的自由向量(以后简称向量 向量相等a=b:如果两个向量大小相等,方向相同(即经过平移后能完全重合的向量) 二.向量的线性运算 ●加减法:三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率 a 向量与数的乘法:a.其满足的运算规律有结合率、分配率设aO表示与非零向量a同方向的单位向量,那 定理1:设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必要条件是:存在唯一的实数A,使b=Ma 例子: 氧是边地对角线的交点(图7D=b,试用和表示向量M4.20.MC和M 图7 结:本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识,引导学生对向量(自由向量)有清楚的理解,并会进行相应的加 减、乘数、求单位向量等向量运算 空间直角坐标系 1.将数轴(一维)、平面直角坐标系(二维)进一步推广建立空间直角坐标系(三维)如图7-1,其符合右手规则 2.各轴名称,坐标面的概念以及卦限的划分如图7-2所 3.空间点M(x,y,2)的坐标表示方法,关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来 空间两点间的距离 若M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,22)为空间两点 则距离(见图7-3)为 向量在轴上的投影 1.几个概念 ●轴上有向线段的值:设有一轴u,AB是轴u上的有向线段,如果数满足 且当AB与轴u同向时是是正的,当 B与轴u反同向时A是负的,那么数A叫做轴u上有向线段AB的值,记做AB,即A=AB.设e是与u轴同方向的单位向量 则AB=e A、B、C是u轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有AC=AB+BC 两向量夹角的概念:设有两个非零向量a和b,任取空间一点0,作OA=a,OB=b,规定不超过丌的∠AOB称为向量a和b 的夹角,记为(ab 间一点A在轴u上的投影:通过点A作轴u的垂直平面,该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影. 向量AB在轴u上的投影:设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B',那么轴u上的有向线段的值 AB叫做向量AB在轴u上的投影,记做Fr2AB
第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的. 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一．向量的概念 ● 向量：既有大小，又有方向的量； ● 在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向； ● 在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）； ● 向量的表示方法有a、i、F、 等等. ● 向量相等a=b：如果两个向量大小相等，方向相同（即经过平移后能完全重合的向量）. ● 向量的模：向量的大小，记为 、 . ● 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量.零向量的方向是任意的. ● 向量平行a∥b：两个非零向量如果它们的方向相同或相反.零向量与如何向量都平行. 二．向量的线性运算 ● 加减法：三角形法则及平行四边形法则、其满足的运算规律有交换率和结合率 ● 向量与数的乘法： .其满足的运算规律有结合率、分配率.设 表示与非零向量a同方向的单位向量，那么 ● 定理1：设向量a≠0，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b＝ ● 例子： 例1：在平行四边形ABCD中，设 ， ，试用a和b表示向量 、 、 和 ，这 里M是平行四边形对角线的交点.（图7－4） 图 7－4 小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加 减、乘数、求单位向量等向量运算. 三．空间直角坐标系 1. 将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则. 2. 各轴名称，坐标面的概念以及卦限的划分如图7－2所示. 3. 空间点M(x,y,z)的坐标表示方法，关于坐标轴、坐标面原点的对称点的表示法.通过坐标把空间的点与一个有序数组对应起来. 图 7－1 图 7－2 空间两点间的距离 若M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点， 则距离（见图7－3）为 图 7－3 一．向量在轴上的投影 1. 几个概念 ● 轴上有向线段的值：设有一轴u， 是轴u上的有向线段，如果数 满足 ，且当 与轴u同向时 是正的，当 与轴u反同向时 是负的，那么数 叫做轴u上有向线段 的值，记做AB，即 .设e是与u轴同方向的单位向量， 则 ● 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有 ● 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作 ， ，规定不超过 的 称为向量a和b 的夹角，记为 . ● 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点 叫做点A在轴u上的投影. ● 向量 在轴u上的投影：设已知向量 的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点 和 ，那么轴u上的有向线段的值 叫做向量 在轴u上的投影，记做
2.投影定理 ●性质1:向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦 ●性质2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即 Pr j, (a,+a,)=Pr ja, +Pr jaz 性质3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法.即 二.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了 沟通数与向量的研究,需要建立向量与有序数之间的对应关系 分别表示沿、,周时单盖:并构点一的单点的盒是由面 用向量的加法规则知 M1M2=(x2-x1)i+02-y1)j+(z2-21)k 或 上式称为向量a按基本单位向量的分解式 有序数组ax、ay、a2与向量a一一对应,向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、a2就 叫做向量a的坐标,并记为 上式叫做向量a的坐标表示式 于是,起点为M1(x1,,z1)终点为M2(x2,y2,2)的向量可以表示为 M!1M2=(x2 z2-z1 特别地,点M(x,y,2)对于原点0的向径 =(x,y,2) ※注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴 影有本质区别 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、a2 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量axi、ayj、a2k 2.向量运算的坐标表 b =(bx, by, b2) Apa =ax i +ayj + azk, b=bx i tby j +b2k 法法数 )j+(az+ b2)k a-b= ax-bx, ay -by, az -b ◆平行:若a≠0时,向量b∥a相当于b=Aa,即 也相当于向量的对应坐标成比例即 a 四、向量的投影、模、方向角 向量的模与方向余弦的坐标表示式 设a={ax,ay,a2},可以用它与三个坐标轴的夹角ay(均大于等于0,小于等于丌 )来表示它的方向,称《Ay为非零向量a的方向角,见图7-6,其余弦表示形式 coS cosy称为方向余弦 层a2+a2+a2 a,= M2 cos a=la/ c 1Ma cos B=lcos 8 由性质1知 syy.y=y:+a+20时,有 cos a 任意向量的方向余弦有性质:cosa+cos2A+cosy=1 与非零向量a同方向的单位向量为: ax,a ,a,=icos a, cos p, cos 3.例子:已知两点1(2,2.√2)、M2(,3.0),计算向量MM2的模、方向余弦、方向角以及与21M2同向的单位向量 MM 12+12+(-√2)2=2
2. 投影定理 ● 性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦： ● 性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即 ● 性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法.即 二．向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1． 向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系，同样地，为了 沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系. 设a = 是以 为起点、 为终点的向量，i、j、k 分别表示沿x，y，z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7－5， 并应 图 7－5 用向量的加法规则知： i + j+ k 或 a = ax i + ayj + azk 上式称为向量a按基本单位向量的分解式. 有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就 叫做向量a的坐标，并记为 a ＝ {ax，ay，az}. 上式叫做向量a的坐标表示式. 于是，起点为 终点为 的向量可以表示为 特别地，点 对于原点O的向径 ※ 注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别. 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk. 2．向量运算的坐标表示 设a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}即a = ax i + ayj + azk，b = bx i +by j +bzk 则 ◆ 加法： a + b = （ax+ bx）i +（ay + by） j +（az + bz）k ◆ 减法： a―b = （ax－bx ）i + （ay－by） j +（ az－bz ）k ◆ 乘数： λa = (λax )i + (λay)j + (λaz)k ◆ 或 a + b ={ ax+ bx，ay + by，az + bz } a－b ={ ax－bx，ay－by，az－bz } λa = {λax，λay，λaz} ◆ 平行：若a≠0时，向量b∥a相当于b ＝λa，即 {bx，by，bz} =λ{ax，ay，az} 也相当于向量的对应坐标成比例即 四、向量的投影、模、方向角 向量的模与方向余弦的坐标表示式 设a = {ax，ay，az}，可以用它与三个坐标轴的夹角 （均大于等于0，小于等于 ） 来 表 示 它 的 方 向 ， 称 为 非 零 向 量 a 的 方 向 角 ， 见 图 7－6 ， 其 余 弦 表 示 形 式 称为方向余弦. 1． 模 图 7－6 2． 方向余弦 由性质1知 ，当 时，有 ◆ 任意向量的方向余弦有性质： ◆ 与非零向量a同方向的单位向量为： 3． 例子：已知两点M1(2,2, )、M2(1,3,0)，计算向量 的模、方向余弦、方向角以及与 同向的单位向量. 解： ＝{1-2，3-2，0- }={-1，1，- }
cos a=-- cos 8= √2 设a为与M1M2同向的单位向量,由于a=( cos a, Cos月,cosy) 即得 小结:向量的坐标是本章向量代数的一个难点,是学好后继内容的基础,学生应多花时间学深学透
， ， ， ， 设 为与 同向的单位向量，由于 即得 小结：向量的坐标是本章向量代数的一个难点，是学好后继内容的基础，学生应多花时间学深学透