第三节高阶导数 教学目的:熟练初等函数的求导方法,了解高阶导数的概念,会求简单的n阶导数 教学重点 阶导数的求法 教学难点:高阶导数的归纳方法 教学内容: 变速直线运动的加速度 设s=f(,则瞬时速度为v(4)=f()…加速度a是速度时间的变化率 a()=y(t)=[f"(t) 般地,函数y=f(x)的导数y′=f(x)仍然是x的函数我们把y=f(x)的导数叫做 d 函数y=f(x)的二阶导数,记作y"或ax2,即 d y d ()或a=a(女 相应地,把y=f(x)的导数f“(x)叫做函数y=f(x)的一阶导数 类似地,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数叫做四阶导数,…,一般 地,(v-1)阶导数的导数叫做y阶导数,分别记作 或 d 函数y=f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导,如果函数f(x)在点x处具 有n阶导数,那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数二阶及二阶以上的 导数统称高阶导数 由此可见,求高阶导数就是多次接连地求导数所以,仍可应用前面学过的求导方法来计 算高阶导数 例1求指数函数的n阶导数 解: e,y)=e,一般地,可得) -a 例2求正弦与余弦函数的阶导数 解:y=snx y'=cos x= sin x+ 丌 丌 =cos x+-=sin x+-+-=sin x+2 cos x +2 x+3.2 =sin|x⊥A 丌 =sn x+n 一般地,可得 用类似方法,可得
第三节 高阶导数 教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数 教学重点：高阶导数的求法 教学难点：高阶导数的归纳方法 教学内容： 变速直线运动的加速度. 一般地，函数 的导数 仍然是 的函数.我们把 的导数叫做 函数 的二阶导数，记作 或 ，即 或 相应地，把 的导数 叫做函数 的一阶导数. 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般 地， 阶导数的导数叫做 阶导数，分别记作 或 函数 具有 阶导数，也常说成函数 为 阶可导.如果函数 在点 处具 有 阶导数，那么 在点 的某一邻域内必定具有一切低于 阶的导数.二阶及二阶以上的 导数统称高阶导数. 由此可见，求高阶导数就是多次接连地求导数.所以，仍可应用前面学过的求导方法来计 算高阶导数. 例1 求指数函数的n阶导数. 解： ， ， ， .一般地，可得 ， 即 例2 求正弦与余弦函数的 阶导数. 解： ， ， ， ， ， 一般地，可得 即 用类似方法，可得
cos x+n 例3求对数函数(+x)的阶导数 1 12 12.3 解:y=ha(1+x) 1 +x)2 y)=(-1)2 般地,可得 ln(1+x)y)=(-1) 即 通常规定0=1,所以这个公式当2=1时也成立 例4求幂函数的n阶导数公式 解:设y=x“(是任意常数),那么 y 1)x y"=(-1-2)x 般地,可得 (x“)=(-1)-2…(x-n+1 当=n时,得到 (x)3=(-1-2321=n 0 区、如果函数4=山(小反y=x)都在点x处具有n阶导数,那么显然(x)+对及 (x)-{x)也在点x处具有n阶导数,且 但乘积x()()的阶导数并不如此简单由(y)=b+y首先得出 fuv)=uv+2u'v+uv ay)=a"+3a"+3"+an 用数学归纳法可以证明 n)2=20,+m4y+2 -1)…(z-k+1) (x)()+…+5) 上式为莱布尼茨( Leibniz)公式这公式可以这样记忆:把+y)按二项式定理展开写成 a-1)2x2y2+…+ u+v* 然后把k次幂换成k阶导数(零阶导数理解为函数本身),再把左端的x+换成anv,这样 就得到莱布尼茨公式 (ny)=∑c0) 例5y= 求y 解:设x=e2,y=x2,则=2e2(k=1,2…,20), y'=2x,y”=2,p()20(k=34,…20),代入莱布尼茨公式,得
例3 求对数函数 的 阶导数. 解： ， ， ， ， ， 一般地，可得 即 通常规定 ，所以这个公式当 时也成立. 例4求幂函数的 阶导数公式. 解：设 （ 是任意常数），那么 ， ， ， ， 一般地，可得 即 当 时，得到 而 如果函数 及 都在点 处 具 有 阶 导 数 ， 那 么 显 然 及 也在点 处具有 阶导数，且 但乘积 的 阶导数并不如此简单.由 首先得出 用数学归纳法可以证明 上式为莱布尼茨（Leibniz）公式.这公式可以这样记忆：把 按二项式定理展开写成 即 然后把 次幂换成 阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的 换成 ，这样 就得到莱布尼茨公式 例5 ，求 . 解：设 ， ，则 ， ， ， ，代入莱布尼茨公式，得
y2)=(2 20.19 202(x2+20x+95)