大学数学教程 五 复变函教与积分叟换 主讲:郑修才 山东大学数学院
张 长 华 复变函数与积分变换 大学数学教程 山东大学数学院 主讲： 郑修才
1901 Complex Analysis and Integral Transform 第一章复数与复变函数 复数及其运算 1.2复平面上的曲线和区域 1.3复变函数 1.4复变函数的极限和连续性
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 第一章 复数与复变函数 1.1 复数及其运算 1.2 复平面上的曲线和区域 1.3 复变函数 1.4 复变函数的极限和连续性
1901 Complex Analysis and Integral Transform §1.1复数及其运算 、复数的概念 1、产生背景 2、定义:形如z=x+少y的数称为复数,其中 i=√-1称为虚单位,x,y为任意实数,且记 无法显示该图片 y=Im(=)分别称为z 的实部与虚部
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform §1.1 复数及其运算 一、复数的概念 x =Re(z),zy ==zIm( x+ iyz) 1、产生背景 的数称为复数，其中 称为虚单位， z = x + iy i = −1 x, y y = Im(z) z 2、定义：形如 为任意实数,且记 分别称为 的实部与虚部
复变画数与 1901 ex Ana 复数的表示法 1、(复平面上的)点表示 用坐标平面上的点 (1)此时的坐标面(称为 P(x, y) 复平面)与直角坐标 平面的区别与联系。 (2)复数z=x+与点(x,y)构成 对应关系,复数z=x+iy 由(x,y)唯一确定
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 二、复数的表示法 1、(复平面上的)点表示 ------用坐标平面上的点 r θ (1)此时的坐标面（称为 复平面）与直角坐标 平面的区别与联系。 y x P(x, y) x y (2)复数z x iy = + 与点（x,y）构成 一一对应关系，复数z=x+iy 由（x,y）唯一确定
复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 2、(复平面上的)向量表示 z=x+点M(x,y)>OM (1)模—OM的长度r,记为|z|,则 1=|=r=√x2+y (2)辐角(z≠0)-OM与Ox轴正向的夹角OO周期性 记g(=)=O,则x=rcos,y= rsing
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 2、(复平面上的)向量表示----- z = x + iy 点M(x, y) OM 2 2 | z |= r = x + y （1）模—— OM 的长度 r ，记为 | z | ，则 （2）辐角( )—— 与 轴正向的夹角 (周期性) z 0 OM ox 记Arg z x r y r ( ) cos , sin = = = ，则
复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 满足-x<ag(z)≤x的 辐角主值 辐角值(仅有 记作arg(z).即:-x<arg(z)≤x 注}:二=0的辐角不确定,Ag(O)无意义 z≠O时,Ag(z)=mg(z)+2k丌(k=0,土l,+, 其中主值agxz)的确定方法见教材 P3(116)式或借助复数向量表示
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 辐角主值: a ( ) arg( ) rg z z − 满足 的 辐角值（仅有一个）， 记作arg(z). 即：- z 0时，Arg(z) = arg(z)+ 2k ( k = 0,1,2, ) 注 ：z = 0的辐角不确定，Arg(0)无意义 其中主值 arg(z) 的确定方法见教材 P3（1.1.6）式或借助复数向量表示
复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 3、三角(或极坐标)表示 z=x+iy=r(cos 6+isin 0) 由x=rcos,y=rsi6 得r=2|=x2+y2,6= arctan 4、指数表示—z 欧拉公式e=COO+ i sin e 5、代数表示 Z=x+ly
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 3、三角（或极坐标）表示--- z = x + iy = r(cos + isin ) | | , 2 2 r = z = x + y x y = arctan 由 x = r cos, y = rsin 得 4 i z re 、指数表示—— = e cos isin i 欧拉公式 = + 5、代数表示------ z = x + iy
1901 Complex Analysis and Integral Transform 6*、复球面表示将扩充复平面中|z|= 的所有复数唯一表示为一个点,则所有复数与复球面上的 点建立一一对应关系。 Z 复数的各种表示可相互 转换在不同的运算中可 选择不同表示式 进行运算
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 复数的各种表示可相互 转换在不同的运算中可 选择不同表示式 进行运算。 N S P y z Z x 6*、复球面表示------ 将扩充复平面中 | z |= + 的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的 点建立一一对应关系
复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 三、复数的运算 1、相等—一两个复数,当且仅当实部与虚部分别相等时才相等 2、和、差、积、商(分母不为0)一—代数式、三角式 指数式 3、共轭复数及运算性质 z=x+ly, x X 2=X-y
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 三、复数的运算 1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。 2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、 指数式 z = x +iy, z x iy = − 。 3、共轭复数及运算性质 z−+zz==22yix==22iRe( Imz ), zz=|z |2 = [Re(z)]2+[Im(z)]2 z z y o x y − y x
复变画数与 1901 Complex Analysis and Integral Transform 四、复数的n次方根 若z=r(CosO+ i sine),则 6+2k丌 6+2k √==r"(cos +isin (k=0,1…,n-1) W的n个值恰为以原点为中心,√r为半径的圆周 的内接正n边形的顶点,当k=0时,Wo称为主值
张 长 华 复变函数与积分变换 Complex Analysis and Integral Transform 四、复数的n次方根 1 (cos sin ), 2 2 (cos sin ) ( 0,1 , 1) n n z r i k k w z r i n n k n = + + + = = + = − 若 则 w n r k = 0 的n个值恰为以原点为中心， 的内接正 边形的顶点，当 时， 为半径的圆周 n w0 称为主值