t万普通高等教育“十一五”国家级规划教材 工程数学 线性代数 第五版 同济大学数学系编 高等教育出版社 R EDUCATION PRESS
第五版前言 本书第五版是在第四版的基础上,参照近期修订的工科类本科数学基础课 程教学基本要求(以下简称教学基本要求),并考虑当前教学的实际情况,进行修 订而成的 这次修订的主导思想是:在满足教学基本要求的前提下,适当降低理论推导 的要求,注重解决问题的矩阵方法。为此,除第六章仍加*号而外,对第一章至 第五章中的部分内容(例如:为证明行列式的基本性质而引入的排列对换的知 识,为证明矩阵初等变换的基本性质而引入的初等矩阵的知识,以及某些定理的 证明)改为用小字排印,以表明它们为非必读内容,从而有利于在限定的学时内 更好地掌握教学基本要求所规定的内容。这些用小字排印或加号的内容,供 有较高要求的读者选学。此外,修订时对例题和习题也作了适当的调整。 这次修订工作仍由同济大学骆承钦同志承担。 在教育部高教司和高等教育出版社的支持下,本书列入普通高等教育“十一 五”国家级规划教材。同时,本书也列入高等教育出版社“高等教育百门精品课 程教树建设”项目和同济大学教村建设规划。对于教育部高教司、高等教育出版 社和同济大学有关部门对本书的关心和扶植,谨在此表示衷心的感谢。 编者 2007年1月
第一版前言 同济大学数学教研室主编的《高等数学》(1978年第1版)年前决定修订再 版,其中的第十三章线性代数决定单独成书,以便应用。为此,由同济大学骆承 钦同志把《高等数学》第十三章改编成本书。在改编时,对原教材作了较多的修 改与补充,以期能较为符合1980年制订的教学大纲的要求。 本书介绍线性代数的一些基本知识,可作为高等工业院校工程数学“线性代 数”课程的试用教材和教学参考书。本书前五章教学时数约34学时,第六章较 多地带有理科的色彩,供对数学要求较高的专业选用。各章配有少量习题,书末 附有习题答案。 参加本书审稿的有上海海运学院陆子芬教授(主审)、浙江大学盛骤、孙玉麟 等同志。他们认真审阅了原稿,并提出了不少改进意见,对此我们表示衷心感 编者 1981年11月
第二版前言 本书第一版自1982年出版以来,我们采用它作为教材,已经经历了多次的 教学实践。这次我们根据在实践中积累的一些经验,并吸取使用本书的同行们 所提出的宝贵意见,将它的部分内容作了修改,成为第二版。 这次修订,对第三章和第四章改动稍大,第一、二、五章也有改动,并增加了 少量习题。此外,对超出国家教委于1987年审定的高等工业学校“线性代数课 程教学基本要求”的内容加了“号。这次修订工作仍由同济大学骆承钦同志承 北京印刷学院盛祥耀教授详细审阅了本修订稿,并提出了许多改进的意见 谨在此表示衷心的感谢。此外,我们还向关心本书和对本书第一版提出宝贵意 见的同志们表示深切的谢意。 者 1990年12月
第三版前言 本书第二版自1991年出版以来,广大读者和使用本书的同行们对本书提出 了许多修改意见,我们谨在此向关心本书和对本书提出宝贵意见的同志们表示 衷心的感谢 这次修订,在第一章增加了二阶与三阶行列式,以加强与中学教学内容的衔 接;第二章增加了少量关于矩阵及其运算的实际背景的内容;第三、四两章作了 彻底更换理论体系的修改。新的第三章先引进矩阵的初等变换和秩的概念,证 明了初等变换不改变矩阵的秩,然后藉此建立线性方程组有惟一解和有无穷多 解的充分必要条件,解决了线性方程组的求解问题。新的第四章讨论向量组的 线性相关性,由于有了矩阵和线性方程组的理论,致使这一讨论大为简化,从而 达到化难为易的目的。 这次修订工作仍由同济大学骆承钦同志承担。 天津大学齐植兰教投和北京理工大学史荣昌教授详细审阅了本修订稿,并 提出了许多改进的意见,谨在此表示衷心的感谢。此外,还要感谢教育部高教司 教材处和高等教育出版社对本书的关心和扶植。 编者 1998年8月
第四版前言 本书第三版自1999年出版以来,广大读者和使用本书的同行们对于它的编 写体系,即先建立线性方程组理论、后讨论向量组的线性相关性的体系,都表示 赞同,认为这样的编排有利于理解线性代数的抽象的知识,降低了学习本课程的 难度。因此在这次修订时,我们保留了原来的体系,仅对其中几处作了次序的 整,以使叙述更加顺畅;在文字上也作了少许修改,并增加了一些解说性的段落, 以使论述更加通俗易懂;此外还调整并增加了部分例题和习题,其中有些选自近 年研究生入学考试的试题。 这次修订工作仍由同济大学骆承钦同志承担。 编者 2003年2月
目录 第一章行列式……… §1二阶与三阶行列式 §2全排列及其逆序数 145 83n阶行列式的定义… 4对换· §5行列式的性质 §6行列式按行(列)展开 §7克拉默法则… 习题 第二章矩阵及其运算 1矩阵 §2矩阵的运算… §3逆矩阵… 84矩阵分块法 习题二 第三章矩阵的初等变换与线性方程组… §1矩阵的初等变换 82矩阵的秩… §3线性方程组的解… 习题三 第四章向量组的线性相关性… §1向量组及其线性组合… §2向量组的线性相关性 §3向量组的秩… §4线性方程组的解的结构… §5向量空间 习题四
第五章相似矩阵及二次型… 111 §1向量的内积、长度及正交性 §2方阵的特征值与特征向量… §3相似矩阵 §4对称矩阵的对角化 §5二次型及其标准形 §6用配方法化二次型成标准形…… §7正定二次型… 习题五 第六章线性空间与线性变换 §1线性空间的定义与性质… 82维数、基与坐标 83基变换与坐标变换 84线性变换 §5线性变换的矩阵表示式………… 习题六 习题答案 Ⅱ
第一章 行列式 本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法此外还要介绍用n 阶行列式求解n元线性方程组的克拉默( Cramer)法则 §1二阶与三阶行列式 二元线性方程组与二阶行列式 用消元法解二元线性方程组 +arc2=b1, (1) 为消去未知数x2,以a2与a12分别乘上列两方程的两端然后两个方程相减,得 11a22 )x1=b1 类似地,消去x1,得 当a1a2-a12a21≠0时,求得方程组(1)的解为 anb2-b1 (2)式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得.其中分母aua22 a12a21是由方程组(1)的四个系数确定的,把这四个数按它们在方程组(1)中 的位置,排成二行二列(横排称行、竖排称列)的数表 表达式a1a2-a12a21称为数表(3)所确定的二阶行列式,并记作 (4)
数an(i=1,2;j=1,2)称为行列式(4)的元素或元元素an的第一个下标 称为行标表明该元素位于第i行第二个下标j称为列标表明该元素位于第 j列位于第i行第j列的元素称为行列式(4)的(i,j)元 上述二阶行列式的定义,可用对角线法则来记忆参看图1.1,把a1到a22 的实联线称为主对角线,a12到a2的虚联线称为副对角线, 于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角 线上两元素之积所得的差 利用二阶行列式的概念,(2)式中x1,x2的分子也可写 成二阶行列式,即 图1.1 bt b 若记 D 那么(2)式可写成 D1|b2 D 62 11 注意这里的分母D是由方程组(1)的系数所确定的二阶行列式(称系数行 列式),x1的分子D1是用常数项b1,b2替换D中x1的系数a1,a21所得的二 阶行列式,x2的分子D2是用常数项b,b2替换D中x2的系数an2,a2所得的 二阶行列式 例1求解二元线性方程组 解由于 3-(-4)=7≠0 D4=|12-2=12-(-2)=14 D2=12 =3-24=-21, 因此 D
