第八章假设检验 §81假设检验 §82正态总体均值的假设检验 §83正态总体方差的假设检验 §86分布拟合检验 2/101
2/101 第八章 假设检验 §8.1 假设检验 §8.2 正态总体均值的假设检验 §8.3 正态总体方差的假设检验 §8.6 分布拟合检验
§8.1假设检验 参数估计:其目的对未知参量给出估计值及置信区间, 般情况下,参数估计是在总体形式已知的情况下,对未知 参量的定量的估计问题 假设检验:其目的是对总体的某未知性质根据样本给出一 个定性判断,这时总体的分布的函数形式未知,或只知其 形式,但参数未知的情况 假设检验中,为推断总体的某些性质,首先提出某些关于 总体的假设,然后根据样本对所提出的假设作出判断,是 接受,还是拒绝 例如:提出总体期望服从泊松分布的假设,然后进行判断 提出正态总体期望为A的假设,然后进行判断 3/101
3/101 §8.1 假设检验 参数估计：其目的对未知参量给出估计值及置信区间，一 般情况下，参数估计是在总体形式已知的情况下，对未知 参量的定量的估计问题 假设检验：其目的是对总体的某未知性质根据样本给出一 个定性判断，这时总体的分布的函数形式未知，或只知其 形式，但参数未知的情况 假设检验中，为推断总体的某些性质，首先提出某些关于 总体的假设，然后根据样本对所提出的假设作出判断，是 接受，还是拒绝 例如：提出总体期望服从泊松分布的假设，然后进行判断 提出正态总体期望为μ0的假设，然后进行判断
§8.1假设检验 ≥假设检验的基本思想和做法 通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法 基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓小概 率原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能 发生的” 假设检验的过程是要构造一个小概率事件,如果根据 实际样本数据的计算,该小概率事件发生了,则拒绝 原假设,否则接受原假设 下面结合实例来说明假设检验的基本思想
4/101 §8.1 假设检验 假设检验的基本思想和做法 ⚫ 通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法 ⚫ 基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓小概 率原理:“一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能 发生的” ⚫ 假设检验的过程是要构造一个小概率事件，如果根据 实际样本数据的计算，该小概率事件发生了，则拒绝 原假设，否则接受原假设 下面结合实例来说明假设检验的基本思想
§8.1假设检验 实例某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重 是一个随机变量,它服从正态分布 当机器正常时,其均值为05公斤,标准差为0015公斤 某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包 装的糖9袋,称得净重为(公斤) 04970.5060.51805240.49805110.5200.515 0.512 问机器是否正常? 分析:用4和a分别表示这一天袋 装糖重总体X的均值和标准差 5/101
5/101 §8.1 假设检验 实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重 是一个随机变量, 它服从正态分布. ⚫ 当机器正常时, 其均值为0.5公斤, 标准差为0.015公斤. ⚫ 某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包 装的糖9袋, 称得净重为(公斤): ⚫ 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 问机器是否正常? 装糖重总体 的均值和标准差, 用 和 分别表示这一天袋 X 分析:
§8.1假设检验 由长期实践可知,标准差较稳定,设=0.015, 则X~N(u,0.0152),其中未知 问题:根据样本值判断μ=0.5还是≠0.5 1°提出两个对立假设H0:=4=0.5和H1:≠{0 2°结合合理法则,再利用已知样本作出判断是接受 假设H拒绝假设H还是拒绝假设H0(接受假设H1) 如果作出的判断是接受H,则μ=, 即认为机器工作是正常的,否则,认为是不正常的 /101
6/101 由长期实践可知, 标准差较稳定, 设 = 0.015, ~ ( , 0.015 ), 2 则 X N 其中 未知. 问题: 根据样本值判断 = 0.5还是 0.5 . 1 提出两个对立假设 : 0.5 : . H0 = 0 = 和 H1 0 2 结合合理法则，再利用已知样本作出判断是接受 假设H0 (拒绝假设H1 ), 还是拒绝假设H0 (接受假设H1 ). 如果作出的判断是接受H0 , 即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不正常的. , 则 = 0 §8.1 假设检验
§8.1假设检验 检验方法即合理的法则):对于未知参数,仍然从其点估 计量开始讨论,将未知参数与其点估计量进行比较 由于要检验的假设涉及总体均值,故可借助于样本均值来 判断 因为X是p的无偏估计量 若过分大,则有理由 所以若H为真则x-An|不应太大怀疑H0的正确性 当H为时X一地N(0,这里的检验统计量和分 布均不含任何未知参数 衡量|x-1的大小可归结为衡量的大小 o/、n 于是可以选定一个适当的正数k, 7/101
7/101 由于要检验的假设涉及总体均值, 故可借助于样本均值来 判断. 因为X 是 的无偏估计量, , | | , 所以若H0 为真 则 x − 0 不应太大 ~ (0,1), / , 0 0 N n X H − 当 为真时 , / | | | | 0 衡 量 0 的大小可归结为衡量 的大小 n x x − − 于是可以选定一个适当的正数k, §8.1 假设检验 这里的检验统计量和分 布均不含任何未知参数 检验方法(即合理的法则)：对于未知参数，仍然从其点估 计量开始讨论，将未知参数与其点估计量进行比较 若过分大，则有理由 怀疑H0的正确性
§8.1假设检验 此即假定H正确 时的小概率事件 当观察值x满足 x-hzk时,拒绝 反之当观察值x满足 <k时,接受假设H 如何选取k呢,先看以下事实 由于作出决策的依据是一个样本,当实际 上H0为真时,仍可能作出拒绝H的决策,这种 可能性是无法消除的,这是一种错误 8/1
8/101 , , / 0 0 k H n x 当观察值x 满 足 时 拒绝假设 − , . / , 0 0 k H n x 反 之 当观察值x 满 足 时 接受假设 − §8.1 假设检验 如何选取k呢，先看以下事实： 由于作出决策的依据是一个样本，当实际 上H0为真时，仍可能作出拒绝H0的决策，这种 可能性是无法消除的，这是一种错误。 此即假定H0正确 时的小概率事件
§8.1假设检验 ≥因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定限 度之内,即给出一个较小的数a(0<a<1),使犯这类 错误的概率不超过a,即使得: P{拒绝HH为真}≤a 因为当H0为真时前述的统计量。一此_N(0,4) O/、n 及其分布,不含任何参数, 由最大允许错误概靴,令上式取等号得 P{拒绝H0|H为真}=P{≥k}=, 9/101
9/101 §8.1 假设检验 因此自然希望将犯这类错误的概率控制在一定限 度之内，即给出一个较小的数α(0<α<1),使犯这类 错误的概率不超过α，即使得： P{拒绝H0 |H0为真}α 及其分布，不含任何未知参数， 因为当 为真时前述的统计量 ~ (0,1), / 0 0 N n X H Z − = 由最大允许错误概率,令上式取等号得 } , / { | } { 0 0 0 = − = k n x P 拒 绝H H 为 真 P
§8.1假设检验 由标准正态分布分位点的定义得k=za/2, /√2x2时,拒绝H<一<a时,接受H x 当 0/√n 前述的错误{拒绝H0当H为真},称为“弃真” 类错误,也可记作: P{拒绝H0}:表示参数取山时事件拒绝H}的概率 或者 Pn{拒绝H}:表示参数诹取H规定值时事件拒绝H} 的概率 10/101
10/101 由标准正态分布分位点的定义得 , . / , , / / 2 0 0 / 2 0 0 z H n x z H n x 当 时 拒 绝 时 接 受 − − , / 2 k = z §8.1 假设检验 的概率 拒 绝 表示参数 取 规定值时事件拒 绝 或 者 拒 绝 表示参数 取 时事件 拒 绝 的概率 类错误，也可记作： 前述的错误 拒 绝 当 为 真 ，称为“弃真” { }: { } { }: { } { | } 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P H H H P H H P H H H
§8.1假设检验 在实例中若取定a=0.05, 则k 0.025 =1.96, 又已知n=9,σ=0.015, 由样本算得x=0.511,即有 4=22>196, o/√n 于是拒绝假设,认为包装机工作不正常 11/101
11/101 在实例中若取定 = 0.05, 1.96, 则k = z / 2 = z0.025 = 又已知n = 9, = 0.015, 由样本算得 x = 0.511, 2.2 1.96, / 0 = − n x 即有 于是拒绝假设H0 , 认为包装机工作不正常. §8.1 假设检验