第二章实数理论 郇中丹 2006-2007年度第一学期
1 第二章 实数理论 郇中丹 2006-2007年度第一学期
为什么要讲实数理论 以往教材上关于实数处理的方式 以 Dedekind分割或 Cauchy基本列方式定义 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数 上述处理方式的缺陷 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的 工具,并且与中小学教材脱节 公理化的方式使得学生困惑:实数变的难以 理解了 应当与中小学教材衔接并讲清实数:讲清 十进小数
2 为什么要讲实数理论 • 以往教材上关于实数处理的方式: – 以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定义 – 以公理化方式定义实数来回避直接定义实数 • 上述处理方式的缺陷: – 分割和基本列的方式定义需要引入一系列的 工具，并且与中小学教材脱节 – 公理化的方式使得学生困惑: 实数变的难以 理解了 • 应当与中小学教材衔接并讲清实数: 讲清 十进小数
实数理论 §1数系理论发展简史 §2定义实数遇到的困难 ·§3我们如何定义实数 §4有理数系的性质 §5实数定义 §6实数的完备性 §7实数的运算性质 §8记号和实数的进一步性质
3 实数理论 • §1 数系理论发展简史 • §2 定义实数遇到的困难 • §3 我们如何定义实数 • §4 有理数系的性质 • §5 实数定义 • §6 实数的完备性 • §7 实数的运算性质 • §8 记号和实数的进一步性质
§1数系理论发展简史 有趣的现象 实数理论简史 引入实数的方法 数系理论
4 §1 数系理论发展简史 • 有趣的现象 • 实数理论简史 • 引入实数的方法 • 数系理论
有趣的现象 数的使用几乎与人类的历史一样长,有人通过 观察推断:动物有数感.在人类文明史中,数的 概念是逐步扩展开来的.然而数的严格意义上 的理论直到在十九世纪后半叶才完成 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比 和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等 建立数系理论为了完善数学分析理论 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何 的出现几何失去了其真实性数学在哲学意义 上的真实性应当建立在算术基础上( Gauss1817)
5 有趣的现象 • 数的使用几乎与人类的历史一样长, 有人通过 观察推断: 动物有数感. 在人类文明史中, 数的 概念是逐步扩展开来的. 然而数的严格意义上 的理论直到在十九世纪后半叶才完成. • 虽然欧几里德几何原本中已经讨论了可公度比 和无公度比,但没有定义什么叫无公度比的相等 • 建立数系理论为了完善数学分析理论 • 建立数系理论是要保证数学的真实性,非欧几何 的出现,几何失去了其真实性;数学在哲学意义 上的真实性应当建立在算术基础上 (Gauss 1817)
实数理论 是指以有理数系为基础建立实数理论 以往的直观想法:有理数的极限,然而必 须先存在才能谈极限 William r. Hamilton,1833,1835提出无理 数的第一个处理,以时间作为实数的基础 提出用将有理数分成两类的方法定义无 理数 eierstrass(1857), Meray(1869)Dedekind (1872), Cantor(1873) (来源于 Kline ivp46-47)
6 实数理论 • 是指以有理数系为基础建立实数理论 • 以往的直观想法: 有理数的极限, 然而必 须先存在才能谈极限 • William R. Hamilton, 1833, 1835提出无理 数的第一个处理, 以时间作为实数的基础. 提出用将有理数分成两类的方法定义无 理数 • Weierstrass (1857), Méray (1869) Dedekind (1872), Cantor (1873) • (来源于Kline IV P46-47)
引入实数的方法 Weierstrass:有自然数出发定义正有理数, 然后用无穷多个有理数集合定义实数 Dedekind:有理数分割 Canter:有理数基本列等价类
7 引入实数的方法 • Weierstrass: 有自然数出发定义正有理数, 然后用无穷多个有理数集合定义实数 • Dedekind: 有理数分割 • Canter: 有理数基本列等价类
数系理论 欧几里德的《几何原本》中的比例理论以及 讨论了现在有理数中的相关结果但是在比 例线段的术语下讨论的 Muller1855《一般算术》和 Grassmann1861 《算术》中有讨论,但是讲得不清楚 Peano 1889《算术原理新方法》引入 Peano公 理系统解决了这个问题。他用了许多符号 ∈,和N0表示自然数集
8 数系理论 • 欧几里德的《几何原本》中的比例理论以及 讨论了现在有理数中的相关结果,但是在比 例线段的术语下讨论的. • Muller 1855《一般算术》和Grassmann 1861 《算术》中有讨论, 但是讲得不清楚 • Peano 1889《算术原理新方法》引入Peano公 理系统解决了这个问题。他用了许多符号: , 和N0表示自然数集
§2定义实数遇到的困难 如何从有限小数过渡到无限小数 基本想法都是利用有理数序列逼近(极限), 这就有两个问题 引入序列和极限等相关的概念 即便如此,也要先定义清楚作为极限的实数 虽然知道实数的众多性质,如何写出一个 逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理 论仍然有待努力
9 §2 定义实数遇到的困难 • 如何从有限小数过渡到无限小数 • 基本想法都是利用有理数序列逼近(极限), 这就有两个问题 – 引入序列和极限等相关的概念 – 即便如此, 也要先定义清楚作为极限的实数 • 虽然知道实数的众多性质, 如何写出一个 逻辑上正确、清晰和不难接受的实数理 论仍然有待努力
§3我们如何定义实数 与中学实数定义衔接,用十进小数定义实数 系,然后建立相关的性质 建立实数的序 建立实数的完备性 利用有理数的运算和实数的完备性定义实数 的运算
10 §3 我们如何定义实数 • 与中学实数定义衔接，用十进小数定义实数 系，然后建立相关的性质 • 建立实数的序 • 建立实数的完备性 • 利用有理数的运算和实数的完备性定义实数 的运算