辽宁师范大学硕士研究生入学考试 《高等数学》考试大纲 2018年8月25日修订 注意:本大纲为参考性考试大纲,是考生需要掌握的基本内容 、考试科目设立目的 《高等数学》是理科最基本的数学基础课。本科目是对学生抽象思维、逻辑 思维和运算能力的基本测试,是对学生综合运用所学知识分析和解决实际问题能 力的基本检验。要求考生掌握“高等数学”中的函数与极限、导数与微分、微分 中值定理与导数、不定积分、定积分、多元函数微分法、重积分、曲线积分与曲 面积分、无穷级数等基本概念、基本理论和基本方法;掌握部分概念的几何意义 或与某类问题间的联系,并运用基本概念和相关理论方法解决实际问题;掌握基 本概念和基本理论间的内在联系,能进行正确推理证明和准确计算。 考察主要知识点 (一)、函数与极限 1.映射与函数:掌握映射,逆映射,复合映射,函数,反函数和复合函数的定 义;掌握函数的有界性,单调性,奇偶性和周期性的定义;掌握初等函数的定义; 掌握幂函数,指数函数,对数函数和三角函数的定义。 2.掌握数列极限的定义;掌握数列极限的唯一性,有界性和保号性 3.掌握函数极限的定义:自变量趋于有限值时函数的极限和单侧极限(左极限, 右极限),自变量趋于无穷大时函数的极限。掌握函数极限的唯一性,局部有界 性和局部保号性 4.无穷小与无穷大的定义及两者间的联系。 5.极限运算:准确计算有限个无穷小的和、有界函数与无穷小的乘积;能应用 复合函数的极限运算法则进行极限运算。 6.能应用夹逼准则和“单调有界数列必有极限”两个极限存在准则求数列极限 7.两个重要极限:对于一个具体的极限,能识别该极限的计算是否可以转化为 某个重要极限的计算。若可以,准确计算这个具体极限的值。 8.无穷小的比较:能应用等价无穷小间的替换进行极限计算
辽宁师范大学硕士研究生入学考试 《高等数学》考试大纲 2018 年 8 月 25 日修订 注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。 一、考试科目设立目的 《高等数学》是理科最基本的数学基础课。本科目是对学生抽象思维、逻辑 思维和运算能力的基本测试，是对学生综合运用所学知识分析和解决实际问题能 力的基本检验。要求考生掌握“高等数学”中的函数与极限、导数与微分、微分 中值定理与导数、不定积分、定积分、多元函数微分法、重积分、曲线积分与曲 面积分、无穷级数等基本概念、基本理论和基本方法；掌握部分概念的几何意义 或与某类问题间的联系，并运用基本概念和相关理论方法解决实际问题；掌握基 本概念和基本理论间的内在联系，能进行正确推理证明和准确计算。 二、 考察主要知识点 (一)、函数与极限 1．映射与函数：掌握映射，逆映射，复合映射，函数，反函数和复合函数的定 义；掌握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性的定义；掌握初等函数的定义； 掌握幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的定义。 2．掌握数列极限的定义；掌握数列极限的唯一性，有界性和保号性。 3．掌握函数极限的定义：自变量趋于有限值时函数的极限和单侧极限（左极限， 右极限），自变量趋于无穷大时函数的极限。掌握函数极限的唯一性，局部有界 性和局部保号性。 4．无穷小与无穷大的定义及两者间的联系。 5．极限运算：准确计算有限个无穷小的和、有界函数与无穷小的乘积；能应用 复合函数的极限运算法则进行极限运算。 6．能应用夹逼准则和“单调有界数列必有极限”两个极限存在准则求数列极限。 7．两个重要极限：对于一个具体的极限，能识别该极限的计算是否可以转化为 某个重要极限的计算。若可以，准确计算这个具体极限的值。 8．无穷小的比较：能应用等价无穷小间的替换进行极限计算
9.函数的连续性与间断性:能判断函数在一点是否连续(左连续,右连续) 能判断函数在一个区间上是否连续。若函数在一点不连续,能判断是第一类间断 点还是第二类间断点。具体的,能判断是否是无穷间断点,振荡间断点,可去间 断点或跳跃间断点。 10.掌握连续函数的和、差、积、商的连续性;反函数与复合函数的连续性;初 等函数的连续性 11.闭区间上连续函数的性质:有界性与最大值最小值定理,零点定理与介值定 理 (二)、导数与微分 1.掌握导数的定义(含单侧导数)及几何意义,函数可导性与连续性的关系。 2.掌握函数的求导法则:函数的和、差、积、商的求导法则,反函数的求导法 则,复合函数的求导法则;掌握常数和基本初等函数的导数公式。 3.高阶导数的定义及莱布尼茨公式。 4.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 5.函数的微分及几何意义。基本初等函数的微分公式与微分运算法则 (三)、微分中值定理与导数的应用 1.微分中值定理:罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理 2.洛必达法则 3.泰勒公式。 4.函数的单调性与曲线的凹凸性。 5.函数的极值与最大值最小值:函数在一点取得极值的必要条件,第一充分条 件和第二充分条件。准确计算一个连续函数在闭区间上的最大值和最小值。 (四)、不定积分 1.不定积分的概念与性质,基本积分表。 2.换元积分法:第一类换元法与第二类换元法。 3.分部积分法。 4.有理函数的积分。 (五)、定积分 1.定积分的定义和性质,定积分与曲边梯形的面积间的联系。 2.微积分基本公式。 3.定积分的换元法和分部积分法 (六)、定积分的应用 1.定积分的元素法。 定积分在几何学上的应用:平面图形的面积,旋转体的体积,平行截面面积
9．函数的连续性与间断性：能判断函数在一点是否连续（左连续，右连续）， 能判断函数在一个区间上是否连续。若函数在一点不连续，能判断是第一类间断 点还是第二类间断点。具体的，能判断是否是无穷间断点，振荡间断点，可去间 断点或跳跃间断点。 10．掌握连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初 等函数的连续性。 11．闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理，零点定理与介值定 理。 (二)、导数与微分 1．掌握导数的定义（含单侧导数）及几何意义，函数可导性与连续性的关系。 2．掌握函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法 则，复合函数的求导法则；掌握常数和基本初等函数的导数公式。 3．高阶导数的定义及莱布尼茨公式。 4．隐函数及由参数方程所确定的函数的导数。 5．函数的微分及几何意义。基本初等函数的微分公式与微分运算法则。 (三)、微分中值定理与导数的应用 1．微分中值定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。 2．洛必达法则。 3．泰勒公式。 4．函数的单调性与曲线的凹凸性。 5．函数的极值与最大值最小值：函数在一点取得极值的必要条件，第一充分条 件和第二充分条件。准确计算一个连续函数在闭区间上的最大值和最小值。 (四)、不定积分 1．不定积分的概念与性质，基本积分表。 2．换元积分法：第一类换元法与第二类换元法。 3．分部积分法。 4．有理函数的积分。 (五)、定积分 1．定积分的定义和性质，定积分与曲边梯形的面积间的联系。 2．微积分基本公式。 3．定积分的换元法和分部积分法。 (六)、定积分的应用 1．定积分的元素法。 2．定积分在几何学上的应用：平面图形的面积，旋转体的体积，平行截面面积
为已知的立体的体积,平面曲线的弧长。 (七)、多元函数微分法及其应用 1.多元函数的基本概念 2.偏导数的定义及计算。 3.全微分的定义 4.多元复合函数的求导法则。 5.隐函数的求导公式:一个方程的情形 6.方向导数与梯度。 7.多元函数的极值及其求法:拉格朗日乘数法 (八)、重积分 1.二重积分的概念与性质,二重积分与曲顶柱体的体积间的联系。 2.利用直角坐标计算二重积分 (九)、曲线积分与曲面积分 1.对弧长的曲线积分。 2.对坐标的曲线积分 3.格林公式及其应用,平面上曲线积分与路径无关的条件。 4.对面积的曲面积分 5.对坐标的曲面积分,对坐标的曲面积分的计算方法。 (十)、无穷级数 常数项级数的概念和性质,收敛级数的基本性质。 2.常数项级数的审敛法:正项级数及其审敛法,交错级数及其审敛法 3.幂级数:函数项级数的概念,幂级数及其收敛性,幂级数的运算 4.函数展开成幂级数
为已知的立体的体积，平面曲线的弧长。 (七)、多元函数微分法及其应用 1．多元函数的基本概念。 2．偏导数的定义及计算。 3．全微分的定义。 4．多元复合函数的求导法则。 5．隐函数的求导公式：一个方程的情形。 6．方向导数与梯度。 7．多元函数的极值及其求法：拉格朗日乘数法。 (八)、重积分 1．二重积分的概念与性质，二重积分与曲顶柱体的体积间的联系。 2．利用直角坐标计算二重积分。 (九)、曲线积分与曲面积分 1．对弧长的曲线积分。 2．对坐标的曲线积分。 3．格林公式及其应用，平面上曲线积分与路径无关的条件。 4．对面积的曲面积分。 5．对坐标的曲面积分，对坐标的曲面积分的计算方法。 (十)、无穷级数 1．常数项级数的概念和性质，收敛级数的基本性质。 2．常数项级数的审敛法：正项级数及其审敛法，交错级数及其审敛法。 3．幂级数：函数项级数的概念，幂级数及其收敛性，幂级数的运算。 4．函数展开成幂级数