第五节函数的微分 教学目的:掌握微分的定义,了解微分的运算法则,会计算函数的微分,会 利用微分作近似计算 教学重点:微分的计算 教学难点:微分的定义,利用微分作近似计算 教学内容: 、微分的定义 xx2计算函数增量4y=f(x+△x)-f(x)是我们非常 关心的.一般说来函数的增量的计算是比较复杂的,我们 希望寻求计算函数增量的近似计算方法 先分析一个具体问题,一块正方形金属薄片受温度 变化的影响,其边长由0变到x0+△x(图2-1),问此 薄片的面积改变了多少 设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x的函 数:A=x2.薄片受温度变化的影响时面积的改变量 可以看成是当自变量x自x0取得增量△x时,函数A相 图2-1 应的增量△A,即 △A=(x0+△x)2-x2=2x0△x+(△x) 从上式可以看出,△A分成两部分,第一部分20△A是△A的线性函数,即图中带 有斜线的两个矩形面积之和,而第二部分△x)在图中是带有交叉斜线的小正方形的面 积,当△x→0时,第二部分(△x)是比△x高阶的无穷小,即△x)2=0(△x).由此可 见,如果边长改变很微小,即△对很小时,面积的改变量△A可近似地用第一部分来代 替. 般地,如果函数y=f(x)满足一定条件,则函数的增量4y可表示为 0(△x) 其中A是不依赖于Δx的常数,因此AAx是△x的线性函数,且它与Ay之差 △y-A△x=0△x) 是比△x高阶的无穷小所以,当A≠0,且对很小时,我们就可近似地用A△x来代 替 定义设函数y=f(x)在某区间内有定义,x0+Ax及x在这区间内,如果函数的增 f(x0+△x)-f(x0) 可表示为 △y=AAx+ 其中A是不依赖于△x的常数,而0x)是比△x高阶的无穷小,那么称函数 y=f(x)在点x是可微的,而Ax叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量△x的 微 作 dy=AΔ
第五节 函数的微分 教学目的：掌握微分的定义，了解微分的运算法则，会计算函数的微分，会 利用微分作近似计算 教学重点：微分的计算 教学难点：微分的定义，利用微分作近似计算 教学内容： 一、微分的定义 计算函数增量 是我们非常 关心的.一般说来函数的增量的计算是比较复杂的，我们 希望寻求计算函数增量的近似计算方法. 先分析一个具体问题，一块正方形金属薄片受温度 变化的影响，其边长由 变到 （图2-1），问此 薄片的面积改变了多少？ 设此薄片的边长为 ，面积为 ，则 是 的函 数： .薄片受温度变化的影响时面积的改变量， 可以看成是当自变量 自 取得增量 时，函数 相 应的增量 ，即 从上式可以看出， 分成两部分，第一部分 是 的线性函数，即图中带 有斜线的两个矩形面积之和，而第二部分 在图中是带有交叉斜线的小正方形的面 积，当 时，第二部分 是比 高阶的无穷小，即 .由此可 见，如果边长改变很微小，即 很小时，面积的改变量 可近似地用第一部分来代 替. 一般地，如果函数 满足一定条件，则函数的增量 可表示为 其中 是不依赖于 的常数，因此 是 的线性函数，且它与 之差 是比 高阶的无穷小.所以，当 ，且 很小时，我们就可近似地用 来代 替 . 定义 设函数 在某区间内有定义， 及x 在这区间内，如果函数的增 量 可表示为 ， ① 其中 是不依赖于 的常数，而 是比 高阶的无穷小，那么称函数 在点 是可微的，而 叫做函数 在点 相应于自变量增量 的 微 分 ， 记 作 ， 即
下面讨论函数可微的条件.设函数y=f(x)在点x可微,则按定义有①式成立① A+ 式两边除以△x,得 Δ Ax 于是,当Δx→>0时,由上式就得到 A= ln Ax 因此,如果函数f(x)在点x0可微,则f(x)在点x也一定可导(即f(x0)存 在),且 A 反之,如果y=f(x)在点x可导,即 存在,根据极限与无穷小的关系,上式可写成 c 其中c→0(当Ax→0).由此又有 △y=f(xo)△x+a△x 因ax=0△x),且不依赖于△x,故上式相当于①式,所以f(x)在点和也是可微 由此可见,有下面定理 定理函数f(x)在点可微的充分必要条件是函数f(x)在点而可导,且当 f(x)在点可微时,其微分一定是 当∫(x)≠0时,有 Ax+0f'(xo AAx f'( 从而,当△x→0时,Ay与是等价无穷小,这时有 +0(4 即小是Ay的主部又由于=()Ax是△x的线性函数,所以在f(x)≠0的 条件下,我们说少是Ay的线性主部(当△x→0),这是由③式有 Ay-ay 从而也有 lm a 式子41表示以中近似代替少y时的相对误差,于是我们得到结论:在 f(x)≠0的条件下,以微分的=f(x)Ax近似代替增量4y=(xo+△x)-f(x 时,相对误差当△x→0时趋于零因此,在△对很小时,有精确度较好的近似等式 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的微分,记作或(x),即
下面讨论函数可微的条件.设函数 在点 可微，则按定义有①式成立.① 式两边除以 ，得 . 于是，当 时，由上式就得到 因此，如果函数 在点 可微，则 在点 也一定可导（即 存 在），且 . 反之，如果 在点 可导，即 存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成 其中 （当 ）.由此又有 因 ，且不依赖于 ，故上式相当于①式，所以 在点 也是可微 的. 由此可见，有下面定理. 定理 函数 在点 可微的充分必要条件是函数 在点 可导，且当 在点 可微时，其微分一定是 ② 当 时，有 从而，当 时， 与 是等价无穷小，这时有 ③ 即 是 的主部.又由于 是 的线性函数，所以在 的 条件下，我们说 是 的线性主部（当 ）.这是由③式有 从而也有 式子 表示以 近似代替 时的相对误差，于是我们得到结论：在 的条件下，以微分 近似代替增量 时，相对误差当 时趋于零.因此，在 很小时，有精确度较好的近似等式 函数 在任意点 的微分，称为函数的微分，记作 或 ，即
注1:由微分的定义,我们可以把导数看成微分的商例如求smx对√x的导数时就 可以看成anx微分与√x微分的商,即 d sin xdx 、微分的几何意义 为了对微分有比较直观的了解,我们来说明微分的几何意义 在直角坐标系中,函数y=f(x)的图形是一条曲线 对于某一固定的不值,曲线上有一个确定点M(,y) 当自变量x有微小增量Ax时,就得到曲线上另一点 M(xo+△x,y0+△y),.从图2可知 Mg=△x x。x+△x QN=△ 过M点作曲线的切线,它的倾角为c,则 QP= MQ. tan c=△x,f(x0) 即 dy= QP 由此可见,当△y是曲线y=f(x)上的M点的纵坐标的增量时,中就是曲线的切 线上M点的纵坐标的相应增量当△对很小时,1y一比△对小得多,因此在点M的 邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段 、微分公式与微分运算法则 例1求函数y=x3当x=2,△x=002时的微分 解 =3x“x Ax-002=0.24 1由导数公式与微分的定义可以得到如下微分公式 (1)4(x)=a-ax (2) d(sin x)=cos xdx (3) d(cos x) =-sin xdx (4) d(tan x)=sec2xdx (cot x)=-csc2xdx (6) d(sec x)=sec tan xdx, (7) d(csc x)=-csc x cot xdx (8) c9) d(e)=edx (10) d 1A= (11)
注1：由微分的定义，我们可以把导数看成微分的商.例如求 对 的导数时就 可以看成 微分与 微分的商，即 二、微分的几何意义 为了对微分有比较直观的了解，我们来说明微分的几何意义. 在直角坐标系中，函数 的图形是一条曲线. 对于某一固定的 值，曲线上有一个确定点 当自变量 有微小增量 时，就得到曲线上另一点 .从图2-2可知： 过M点作曲线的切线,它的倾角为 ，则 即 . 由此可见，当 是曲线 上的M点的纵坐标的增量时， 就是曲线的切 线上M点的纵坐标的相应增量.当 很小时， 比 小得多.因此在点 的 邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段. 三、微分公式与微分运算法则 例1 解： =0.24 1.由导数公式与微分的定义可以得到如下微分公式 （ 1 ） ， （ 2 ） ， （ 3 ） ， （ 4 ） ， （ 5 ） ， （ 6 ） ， （7） ， （8） ， （9） ， （10） ， （11）
d(arcsin x) d( x) (13) (14)4mc)=-1 d(arc cot x) (15) 1+x 2微分运算法则 由中=f(x)ax,很容易得到微分的运算法则及微分公式表(当、y都可导): (1)d(ay)=d±dhv (2)d(Cu)=Cdu d 3复合函数微分法则 与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下: 设y=/)及=以x)都可导,则复合函数y=((x)的微分为 dy=yidx=f'fu)o(xdx 由于四(x)kx=dh,所以,复合函数y=x)的微分公式也可以写成 小=f{)h或中y=yah 由此可见,无论是自变量还是另一个变量的可微函数,微分形式=f)保 持不变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示,当变换自变量时(即设z为另 变量的任一可微函数时),微分形式小=f)并不改变 四、微分在近似计算中的应用 函数在一点处的微分是函数增量的近似值,它与函数增量仅相差△x的高阶无穷小. 因此要会应用下面两个公式 f(za+△x)≈f(x)+f(x0)△x 作近似计算. 常用近似公式(很小时) (1)1+x1+-x, (2) Sin x s x(x为弧度); (3) tanks x(x为弧度),(4)e≈1+x (5)n(1+x)≈x 例2计算cs60°30的近似值 解:设f(x)=cosx,:(x)=-sinx,(x为弧度) 丌 cos60°30=c8(+ 丌丌 3360 3360
（12） ， （13） ， （14） ， （15） . 2.微分运算法则 由 ，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当 都可导）： （1） ， （2） ， （3） ， （4） . 3.复合函数微分法则 与复合函数的求导法则相应的复合函数的微分法则可推导如下： 设 及 都可导，则复合函数 的微分为 由于 ，所以，复合函数 的微分公式也可以写成 或 由此可见，无论 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式 保 持不变.这一性质称为微分形式不变性.这性质表示，当变换自变量时（即设 为另一 变量的任一可微函数时），微分形式 并不改变. 四、微分在近似计算中的应用 函数在一点处的微分是函数增量的近似值，它与函数增量仅相差 的高阶无穷小. 因此要会应用下面两个公式： 作近似计算. 常用近似公式 例2 解：
0.4924 例3 半径10厘米的金属圆片加热后半径伸长了005厘米问面积增大了多少? ,,=10厘米,△=00厘米 △Asd=2x△=2x×10×005=丌(厘米2)
例3 解： 所以