第二节洛必达法则 教学目的:理解洛必达法则,掌握用洛必达法则求σ型和∞型以及 0.0,0-型未定式的极限的方法了解01,四型极限的求法 教学重点:洛必达法则 教学难点:理解洛必达法则失效的情况0∞,-0型的极限的求法 教学内容: 0 0型和∞型未定式极限 若当x→a(或x→0)时,函数f(x)和F(x)都趋于零(或无穷大),则极限 lim f(x) 0 x→aF(x)可能存在、也可能不存在,通常称为0型和∞型未定式 tan x 0 例如 D数1如如女 nsin bx,(∞型) 定理3-2-1设(1)当x→0时,函数f(x)和P(x)都趋于零; (2)在a点的某去心邻域内,了(x)和Px都存在且Fx)≠0; (3)=F(x)存在(或无穷大 f(aslim/(x) 则xF(x (x) 定义:这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方 法称为洛必达法则 证明:定义辅助函数 f)={( X≠c F(x),x≠a x=d 在a6)内任取一点x,在以a和x为端点的区间上函数(x)和F()满足柯西中值定 理的条件,则有 f(x) f(x)-f(a f(e) F(x)F(x)-F(a)F(9),(5在a与x之间) limf'(z.A 当x→>0时,有5→a,所以当F()”,有Pte) f(x) f(e) A *a F(x) 5+4F(c) 证毕 tan x 例3-3求 x,(0型) 解原式=0(x)=m=1-=1
第二节 洛必达法则 教 学 目 的 ：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求 型和 型 以 及 型未定式的极限的方法; 了解 型极限的求法. 教学重点：洛必达法则. 教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法. 教学内容： 一、 型和 型未定式极限 若当 （或 ）时，函数 和 都趋于零(或无穷大)，则极限 可能存在、也可能不存在，通常称为 型和 型未定式. 例如 , ( 型); , ( 型). 定理3-2-1 设 (1)当 时, 函数 和 都趋于零; (2)在 点的某去心邻域内, 和 都存在且 ; (3) 存在(或无穷大), 则 定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方 法称为洛必达法则 证明: 定义辅助函数 , 在 内任取一点 , 在以 和 为端点的区间上函数 和 满足柯西中值定 理的条件, 则有 , ( 在 与 之间) 当 时,有 , 所以当 , 有 故 . 证毕 例3-3 求 , ( 型) 解 原式= =
3x+2 例34求1x3-x2-x+1,(0型) 3x2-3 解原式=x13x2-2x-1 0 例3-5求 解原式 1 f(x) 说明:如果xP(x)仍属于矿型,且(x)和P(x)满足洛必达法则的条件,可继续使 f(x) lm f "(x) 用洛必达法则,即2F(x)MaP(x)x→aF(x) 、∞型未定式极限 当x→时该法则仍然成立有R为( x 严x);x→>0时的未定式∞,也有 相应的洛必达法则;洛必达法则是充分条件;如果数列极限也属于未定式的极限问题 需先将其转换为函数极限,然后使用洛必达法则,从而求出数列极限 例3-6求血 n sin bx,(∞型) a. sin bx COax 解原式= b cosby·sina=x-0 cosco=1 例37求写mn3x secx 1 cos 3x 1.-6cos 3x sin 3x 解原式= 2cosx sin x sin 6x lim acos 6x 3 2xx→22c0s2x 注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更 tan x-x 例38求x0x2tanx tanx-x 解原式= 三、其它未定式的极限 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型0型和∞型 0.∞型未定式的求法
例3-4 求 , ( 型) 解 原式= = 例3-5 求 , ( 型) 解 原式= = =1 说明: 如果 仍属于 型, 且 和 满足洛必达法则的条件,可继续使 用洛必达法则, 即 ; 二、 型未定式极限 当 时, 该法则仍然成立, 有 ; 时的未定式 ，也有 相应的洛必达法则; 洛必达法则是充分条件;如果数列极限也属于未定式的极限问题， 需先将其转换为函数极限，然后使用洛必达法则，从而求出数列极限. 例3-6 求 , ( 型). 解 原式= = =1 例3-7 求 , ( 型) 解 原式= = = = = 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更 好. 例3-8 求 解 原式= = = = 三、其它未定式的极限 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 型和 型. 1． 型未定式的求法
步骤 imxe·(0.0)型 例3-9求x lim 解原式=x 型 110-0 步骤 000.0 例310求x0 sin xx(-)型 X- Sin x 1-cos x 解原式=x0x· sin x X-0sinx+ X COSX=0 3.0°1,∞°型 In 0 取数 步骤: 0血n∞→0.c. 例31求x(0)型 lim e lin xInx lm I limT 解原式=x-0 =e lim 例3-12求x-1 )型 limel-x 与 解原式=x 例3-13求m(0tx)h 解由于(cotx)hx=e 而xnxh(otx)202 x→0+ Cos x. Sin x=-1 所以原式=e 注意:洛必达法则的使用条件 X+ COSx 例3-14求xx lim( x) 极限不存在 (洛必达法条件不满足的情况) 王确解法为原式=m(+x0x)=1
步骤： 或 例3-9 求 型 解 原式= = 步骤： 例3-10 求 型 解 原式= 步骤： 例3-11 求 型 解 原式= 例3-12 求 型 解 原式= 例3-13 求 型 解 由于 而 所以 原式= 注意：洛必达法则的使用条件． 例3-14 求 解 原式= 极限不存在 （洛必达法条件不满足的情况） 正确解法为 原式=
例315求[tan+2 解设 f(x)=tan(a+)】m()=-[tan?,2 因为√(x)=ex[ him x In tant(2+) In tar ap[ lim 从而原式=mf(m)=mf(x)=g
例3-15 求 解 设 ，则 因为 = = 从而 原式=
