第一节定积分在几何学上的应用 、平面图形的面积 1.直角坐标的情形 由曲线y=f(x)(f(x)≥0)及直线x=a与 y=f(r) b(a0,b>0) 解:据椭圆图形的对称性,整个椭圆面积应为位于第 象限内面积的4倍 xx+dx 取x为积分变量,则0≤x≤a (0≤t≤ 作变量替换x= acos t dx= - dt A=4(b sind(a sin t d=4absin2tdf=4ab(2-1)T 极坐标情形 设平面图形是由曲线P=9(及射线9=a,日=A
第一节 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标的情形 由曲线 及直线 与 与 轴所围成的曲边梯形面积 ： 其中： 为面积元素. 由曲线 与 及直线 ， 且 所围成的图形面积 ： 其中： 为面积元素. 例1 计算抛物线 与直线 所围成的图形面积. 解法1：1）先画所围的图形简图： 解方程 , 得交点： 和 . 2）选择积分变量并定区间： 选取 为积分变量，则 3）给出面积元素： 在 上， 在 上， 4）列定积分表达式： 解法2：若选取 为积分变量，则 ， ， 显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题. 例2 求椭圆 所围成的面积 . 解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第 一象限内面积的4倍. 取 为积分变量，则 ， ， 故 ( * ) 作变量替换 ，则 ， ， ( * * ) 2．极坐标情形 设平面图形是由曲线 及射线
所围成的曲边扇形 取极角日为积分变量,则cs日sA,在平面图形中任意 截取一典型的面积元素△A,它是极角变化区间为[e+d 的窄曲边扇形 △A的面积可近似地用半径为”=6,中心角为d的窄圆边扇形的面积* △As[)]2d dA=-[01d0 从而得到了曲边梯形的面积元素 因此 A=59(e)de 例3计算心脏线r=a(1+cos)(a>0所围成图形面积 60 解:由于心脏线关于极轴对称 二、体积 210 旋转体的体积 240 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体,读值直线称为旋转轴 计算由曲线y=(x)直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形,绕x轴旋转一周而生成的立体的体 取x为积分变量,则x∈[a小],对于区间[ab]上 y=f(x))) 的任一区间[x,x十4x],它所对应的小曲边梯形绕x轴 旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为 底半径,dx为高的圆柱体体积.即:体积元素为 dv=rf(rdx Hkx b 所求的旋转体的体积为 ∫xf)d 例1求由曲线 及直线x=0,x=h④>0)和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而生成的立体的体 解:取x为积分变量 2、平行截面面积为已知的立体的体积(截面法 旋转体体积的计算过程可以发现:如果知道该立体上垂直一定轴的各心截面的面积,那么这个 立体的体积也可以用定积分来计算 取定轴为x轴,且设该立体在过点x=a, b且垂直于x轴的两个平面之内,以A(x A(x) 表示过点x且垂直于x轴的截面面积 取x为积分变量,它的变化区间为[a]。立体中相 cafe, x+dfI 薄片的体积 近似于底面积为A(x),高为dx的扁圆柱体的体积 即:体积元素为dV=Ax)dx 于是,该立体的体积为 A(x) dx 例2计算椭圆 所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积 解:这个旋转体可看作是由上半个椭圆a 及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体 在x处(-a,a),用垂直于x轴的平面去截立体所得截面 积为
所围成的曲边扇形. 取极角 为积分变量，则 ,在平面图形中任意 截取一典型的面积元素 ，它是极角变化区间为 的窄曲边扇形. 的面积可近似地用半径为 ， 中心角为 的窄圆边扇形的面积来代替，即 从而得到了曲边梯形的面积元素 .因此， . 例3 计算心脏线 所围成图形面积. 解：由于心脏线关于极轴对称， 二、体 积 1．旋转体的体积 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴. 计算由曲线 直线 ， 及 轴所围成的曲边梯形，绕 轴旋转一周而生成的立体的体 积. 取 为积分变量，则 ，对于区间 上 的任一区间 ，它所对应的小曲边梯形绕 轴 旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以 为 底半径， 为高的圆柱体体积.即：体积元素为 所求的旋转体的体积为 例1 求由曲线 及直线 ， 和 轴所围成的三角形绕 轴旋转而生成的立体的体 积. 解：取 为积分变量，则 2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 ) 由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个 立体的体积也可以用定积分来计算. 取定轴为 轴， 且设该立体在过点 ， 且垂直于 轴的两个平面之内，以 表示过点 且垂直于 轴的截面面积. 取 为积分变量，它的变化区间为 。立体中相应于 上任一小区间 的一薄片的体积 近似于底面积为 ，高为 的扁圆柱体的体积. 即：体积元素为 . 于是，该立体的体积为 例2 计算椭圆 所围成的图形绕 轴旋转而成的立体体积. 解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆 及 轴所围成的图形绕 轴旋转所生成的立体. 在 处 ，用垂直于 轴的平面去截立体所得截面 积为
因此 例3计算摆线的一拱 ∫x=a(-sin ly=a(-cost 以及y=0所围成的平面图形绕y轴旋转而生成的立体的体积 x L a2(t-sint).asin dt-I[a2(t 三.平面曲线的弧长 1.直角坐标情形 设函数f(x)在区间La上具有一阶连续的导数 计算曲线y=f(x)的长度S y·f(x) 取x为积分变量,则 x.x+dx 那么这一小区间所对应的曲 的长 度As可以用它的弧微分ds来近似 于是,弧长元素为 c=√1+((k 弧长为 业F,一x 2x(a≤x≤b)的弧长 例1计算曲线3 dx=√1+xdx +=3+=a+-+两 2.参数方程的情形 若曲线由参数方程 (a≤t≤月 给出,计算它的弧长时,只需要将弧微分写成 ds=x2+(y2=o(0]+0() 的形式,从而有 G)+[() 例2计算半径为r的圆周长度 解:圆的参数方程为 (0≤t≤2) ds=versin)+(rcost) dt =rdt 若曲线由极坐标方程r=((a≤8≤月)给出,要导出它的弧长计算公式,只需要将极坐标方程化成 参数方程,再利用参数方程下的弧长计算公式即可 曲线的参数方程为 ly=r(0)sing (c≤8≤) 此时日变成了参数,且弧长元素为
因此 例3 计算摆线的一拱 以及 所围成的平面图形绕 轴旋转而生成的立体的体积。 解： 三 ．平面曲线的弧长 1．直角坐标情形 设函数 在区间 上具有一阶连续的导数， 计算曲线 的长度 . 取 为积分变量，则 ,在 上任取一小 区间 ，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长 度 可以用它的弧微分 来近似. 于是，弧长元素为 ，弧长为 . 例1 计算曲线 的弧长. 解： 2．参数方程的情形 若曲线由参数方程 给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成 的形式，从而有 例2 计算半径为 的圆周长度. 解： 圆的参数方程为 3．极坐标情形 若曲线由极坐标方程 给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成 参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可. 曲线的参数方程为 此时 变成了参数，且弧长元素为
No'cos 8-rsin 0)(de)+('sin 0+rcos 0) (do) r2+rad8 从而有 S=r2+rade 例3计算心脏线r=a(1+cos的0≤8≤2x)的弧长 ds=va(+cos 8)+(-a sin @)2d0=2a. cos-de
从而有 例3 计算心脏线 的弧长。 解：