第五节函数的极值与最大值最小值 教学目的:掌握函数极值、最大值、最小值的求法及其简单应用 教学重点:函数最极值、大值、最小值的判断方法和求法 教学难点:函数最极值、大值、最小值的求法 教学内容: 、函数的极值及其求法 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点 定理(第一种充分条件)设函数f(x)在点x0处连续,在x0的某去心邻域U(x0,D 内可导 (1)若x∈(x0-6,x0)时,f(x)>0,而x∈(x0,x0+b)时,f(x)0,则函数 J(x)在x0处取得极小值; (3)如果x∈U(x0,5)时,f(x)不改变符号,则函数J(x)在x0处没有极值 确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f(x) (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点 (3)列表判断(考察f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况,以便确定该 点是否是极值点,如果是极值点,还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值; (4)确定出函数的所有极值点和极值 例3-25求出函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解f(x)=3x2-6x-9=3(x+1(x-3 令(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 (--1) (-1,3) (3,+ 0 f(x) 个 极大值 极小值 所以极大值J(-1)=10,极小值J(3=-22=-22 例326求函数f(x)=(x-4)x+1)2的极值 解显然函数f(x)在(-0+)内连续,除x=-1外处处可导,且 fx)=5(x-1) 3x+1令(x),得驻点x=1,x=-1为(x)的不可导点; (3)列表判断 (-∞,-1) (-11 .+o)
第五节 函数的极值与最大值最小值 教学目的：掌握函数极值、最大值、最小值的求法及其简单应用 教学重点：函数最极值、大值、最小值的判断方法和求法 教学难点：函数最极值、大值、最小值的求法 教学内容： 一、函数的极值及其求法 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 定理 (第一种充分条件) 设函数 在点 处连续, 在 的某去心邻域 内可导. (1) 若 时， , 而 时， , 则函数 在 处取得极大值; (2) 若 时， , 而 时， , 则函数 在 处取得极小值; (3)如果 时， 不改变符号, 则函数 在 处没有极值. 确定极值点和极值的步骤: (1)求出导数 ; (2)求出 的全部驻点和不可导点; (3)列表判断(考察 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该 点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值); (4)确定出函数的所有极值点和极值. 例3-25 求出函数 的极值 解 令 得驻点 列表讨论 极大值 极小值 所以极大值 极小值 例3-26 求函数 的极值. 解 显然函数 在 内连续, 除 外处处可导, 且 令 , 得驻点 ， 为 的不可导点; (3)列表判断 -1 1
10++60、十 所以极大值为(←1)=0,极小值为0=-34 如果f(x)存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有 定理(第二种充分条件)设函数f(x)在点处具有二阶导数且f(x)=0, 那么 (1)当f"(x0)0时,函数f(x)在石处取得极小值; 证明对情形(1),由于“(x0)0;当x-x0>0即x>x0时,f(x)0,所以极小值f(2)=-48 函数的不可导点,也可能是函数的极值点 例3-28求出函数∫(x)=1-(x-2)3的极值 f(x)=-=(x-2)3(x≠2) 解由于 ,所以x=2时函数∫(x)的导数J(x) 不存在,但当x0当x>2时,f(x)0 因此f(x)在x=0处取得极小值,极小值为f(=0 因为f"-)="(1=0,所以用定理3无法判别而(x)在x=-1处的左右邻域内 f(x)<0,所以f(x)在x=-1处没有极值;同理,f(x)在x=1处也没有极值
+ 不可导 - 0 + ↗ 0 ↘ ↗ 所以极大值为 , 极小值为 . 如果 存在二阶导数且在驻点处的二阶导数不为零则有 定理 (第二种充分条件) 设函数 在点 处具有二阶导数且 , , 那么 (1)当 时, 函数 在 处取得极大值; (1)当 时, 函数 在 处取得极小值; 证明 对情形(1), 由于 , 由二阶导数的定义有 . 根据函数极限的局部保号性, 当 在 的足够小的去心邻域内时, . 但 , 所以上式即为 . 于是对于去心邻域内的 来说, 与 符号相反. 因此, 当 即 时, ; 当 即 时, . 根据定理2, 在 处取得极大值. 类似地可以证明情形(2). 例3-27 求出函数 的极值 解 令 得驻点 ，由于 由于 所以极大值 而 所以极小值 函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 例3-28 求出函数 的极值 解 由于 ，所以 时函数 的导数 不存在,但当 时， 当 时， 所以 为 的极大 值 例3-29 求函数 的极值. 解 ,令f ¢(x)=0, 求得驻点 , 又 , 所以 , 因此 在 处取得极小值, 极小值为 . 因为 , 所以用定理3无法判别. 而 在 处的左右邻域内 , 所以 在 处没有极值; 同理, 在 处也没有极值. 注
极值是函数的局部性概念,因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极 大值. 驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点处取得. 第一充分条件 极值的判别法第二充分条件要注意使用条件 极值与最值的关系: 函数的极大值和极小值概念是局部性的如果f(x0)是函数f(x)的一个极大值,那 只是就x0附近的一个局部范围来说,f(x0)是f(x)的一个最大值;如果就f(x)的整个 定义域来说,f(x0)不一定是最大值对于极小值情况类似 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大 值和最小值有可能在区间的端点取得,如果最大值不在区间的端点取得,则必在开区间 (a,b)内取得,在这种情况下,最大值一定是函数的极大值因此,函数在闭区间[a,]上的 最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理,函数在闭区 间a,b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者 、最大值和最小值问题 设f(x)在(a,b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x1,x2,…x2,则比 较J(a,f(x1),f(x2)…,f(x),f()的大小,其中最大的便是函数f(x)在[a,b]上的 最大值,最小的便是函数f(x)在[ab]上的最小值 求最大值和最小值的步骤 (1).求驻点和不可导点 (2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小 那个就是最小值 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 例330求函数y=2x3+3x2-12x+14在[-34]上的最大值和最小值 解f(x)=6x2+6x-12解方程f(x)=0得x1=-2,x2=1 由于J(-3)=23,f(-2)=34,f(=7,f(4)=142 因此函数y=2x3+3x2-12x+14在[-34]上的最大值为f(4)=142 最小值为f(1=7 例3=31求函数f(x)=2-3x+2在[-34上的最大值与最小值 的2-3+2x3]24 3x-2x∈(,2) (x)2x-3x∈(-3DU(24) x+3x∈(,2)
极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极 大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点处取得. 极值的判别法 要注意使用条件 极值与最值的关系: 函数的极大值和极小值概念是局部性的. 如果 是函数 的一个极大值, 那 只是就 附近的一个局部范围来说, 是 的一个最大值; 如果就 的整个 定义域来说, 不一定是最大值. 对于极小值情况类似. 设函数 在闭区间 上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大 值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间 内取得, 在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值. 因此, 函数在闭区间 上的 最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区 间[a, b]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 二、最大值和最小值问题 设 在 内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为 , 则比 较 的大小, 其中最大的便是函数 在 上的 最大值, 最小的便是函数 在 上的最小值. 求最大值和最小值的步骤 (1).求驻点和不可导点; (2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小 那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 例3-30 求函数 在 上的最大值和最小值 解 由于 因此函数 在 上的最大值为 最小值为 例3-31 求函数 在 上的最大值与最小值. 解 由于 , 所以
求得∫(x)在(-3,4)内的驻点为2,不可导点为x1=1,x2=2 而f(-3)=20.,(1)=0,-4,f(2)=0.,f(4)=6 经比较f(x)在x=-3处取得最大值20,在x1=1,x2=2处取得最小值0 实际问题求最值步骤: (1)建立目标函数;(2)求最值 例3-32工厂铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB.为 了运输需要,要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路.已知铁路每公里货运的运费与 公路上每公里货运的运费之比3:5.为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省,问D点 应选在何处? 100km 解设AD=x(km),则DB=(000m,.cD=202+x=√400+x2)(km) 再设从B点到C点需要的总运费为y,那么y=5CD+3,DB(k是某个正数 即y=√40x2+3(100-x)(0≤x≤100 于是问题归结为:x在[0,1001内取何值时目标函数的值最小 先求y对x的导数 y60+x-3 解方程y=0得x=15(km 由于0=401=30950+ ,其中以川15=380 为 最小,因此当AD=x=15(km)时总运费最省 注意:f(x)在一个区间有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x0,且该驻点 x0是函数∫(x)的极值点,那么当f(x0)是极大值时,f(x)就是该区间上的最大值;当 f(x0)是极小值时,f(x0)就是在该区间上的最小值
求得 在(-3, 4)内的驻点为 ，不可导点为 而 ， , 经比较 在 处取得最大值20, 在 处取得最小值0. 实际问题求最值步骤: (1)建立目标函数; (2)求最值. 例3-32 工厂铁路线上AB段的距离为100km. 工厂C距A处为20km, AC垂直于AB. 为 了运输需要, 要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与 公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省, 问D点 应选在何处？ 解 设 , 则 , . 再设从B点到C点需要的总运费为y, 那么 ( 是某个正数) 即 . 于是问题归结为: 在 内取何值时目标函数 的值最小. 先求 对 的导数: .解方程 得 . 由于 , , , 其中以 为 最小, 因此当 时总运费最省. 注意: 在一个区间(有限或无限, 开或闭)内可导且只有一个驻点 , 且该驻点 是函数 的极值点, 那么当 是极大值时, 就是该区间上的最大值; 当 是极小值时, 就是在该区间上的最小值
y=x) :x) fro 说明:实际问题中往往根据问题的性质可以断定函数∫(x)确有最大值或最小值, 和一定在定义区间内部取得这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0,那么不必 讨论∫(x0)是否是极值就可断定f(x0)是最大值或最小值 例3-33由直线y=0,x=8及抛物线y=x围成一个曲边三角形在曲边y5小° 上求一点,使曲线在该点处的切线与直线y=0,x=8所围成的三角形面积最大 B 解设所求切点为P(x。ypM 2xo(x-xo) 由于0=x2,所以“2列c(8.0,B(8.16-x) (3-)(16x-x)(0≤ xo ≤8) S=2(3x2-64x0+16×16)=0 x 解得 (舍去 16、4096 又因 <0,所以327为极大值 16.4096 s(-) 故327为所有三角形中面积的最大者 小结 极值是函数的局部性概念,因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极 大值
说明： 实际问题中往往根据问题的性质可以断定函数 确有最大值或最小值, 和一定在定义区间内部取得. 这时如果 在定义区间内部只有一个驻点 , 那么不必 讨论 是否是极值就可断定 是最大值或最小值. 例3-33 由直线 及抛物线 围成一个曲边三角形,在曲边 上求一点,使曲线在该点处的切线与直线 所围成的三角形面积最大 解 设所求切点为 切线为PT 由于 所以 令 解得 (舍去) 又因为 ,所以 为极大值 故 为所有三角形中面积的最大者 小结 极值是函数的局部性概念，因此函数的极大值可能小于极小值,极小值可能大于极 大值
注意最值与极值的区别
注意最值与极值的区别