第二节偏导数 教学目的:学习偏导数的定义,学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点:偏导数的定义,判断二元函数偏导数的存在性,计算二元、多 函数的偏导数。 教学难点:判断二元函数偏导数的存在性,计算多元函数的偏导数。 教学内容 偏导数的定义 在研究一元函数时,我们从研究函数的变化率引入了导数概念对于多元函数同样需 要讨论它的变化率但多元函数的自变量不止一个,因变量与自变量的关系要比一元函数 复杂得多在这一节里,我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率以二元函 数z=f(x,y)为例,如果只有自变量x变化,而自变量y固定(即看作常量),这时 它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于x的偏导数,即有如 下定义 定义设函数z=f(x,y)在点(0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y而x在 xo处有增量Δx时,相应地函数有增量 f(x0+△x,y0)-f(x0,y0) f(xo+Ax, yo)-f(xo, yo) 如果 存在,则称此极限为函数z=f(x,y在点(0,y0)处对x的偏导数,记作 2或(x) 例如,极限(1)可以表示为 f(xo +Ax, yo)-f(ro, yo) fr (xo, yo)=lim Δ 类似地,函数=f(xy)在点(x,0)处对y的偏导数定义为 记作 或J(x0,y0) 如果函数z=f(xy在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏 导数就是x、y的函数,它就称为函数2=f(x,y)对自变量y的偏导数,记作 fr (x,y)
第二节 偏导数 教学目的：学习偏导数的定义，学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点：偏导数的定义，判断二元函数偏导数的存在性，计算二元、多元 函数的偏导数。 教学难点：判断二元函数偏导数的存在性，计算多元函数的偏导数。 教学内容： 一、 偏导数的定义 在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需 要讨论它的变化率.但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数 复杂得多.在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率.以二元函 数 为例，如果只有自变量 变化，而自变量 固定（即看作常量），这时 它就是 的一元函数，这函数对 的导数，就称为二元函数 对于 的偏导数，即有如 下定义： 定义 设函数 = 在点 的某一邻域内有定义，当 固定在 而 在 处有增量 时，相应地函数有增量 , 如果 (1) 存在，则称此极限为函数 在点 处对 的偏导数，记作 , , 或 例如，极限（1）可以表示为 . (2) 类似地，函数 在点 处对 的偏导数定义为 (3) 记作 , , 或 如果函数 在区域D内每一点 处对 的偏导数都存在，那么这个偏 导数就是 的函数，它就称为函数 对自变量 的偏导数，记作 , , 或
类似地,可以定义函数2=J(x,y)对自变量y的偏导数,记作 O,zy或Jy(x 由偏导数的概念可知,f(x,y)在点处对(x0,y0)处对x的偏导数Jx(x,y0)显然 就是偏导函数(x,y)在点(xy0)处的函数值;Jy(x,y)就是偏导函数J(x,y) 在点(x,y0)处的函数值就象一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏 导函数简称为偏导数 至于实际求z=f(x,y)的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变 量在变动,另一个自变量是看作固定的,所以仍就是一元函数的微分法问题求ax时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数:求时,则只要把x暂时看作常量而对y求导 数 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数例如三元函数=f(x,y,2)在点(xy2) 处对x的偏导数定义为 f(xo +Ax,y, z)-f(x,y, z) f(x, y, z)=lim 其中(xy,2z)是函数=f(x,y2)的定义域的内点它们的求法也仍旧是一元函数的微 分法问题 例89求z=x2+3x+y2在点(1,2)处的偏导数 解把y看作常量,得 ax 把x看作常量,得 将(1,2)代入上面的结果,就得 2.1+3.2=8 ax 例810求z=sn2y的偏导数 az ax z=x(x>0,x≠1)求 y ax+Inx ay a = xInx 证因为Ox x az 所以yatx+hxb=y 例812求厂=√x2+y2+z2的偏导数
类似地，可以定义函数 对自变量 的偏导数，记作 , , 或 由偏导数的概念可知， 在点处对 处对 的偏导数 显然 就是偏导函数 在点 处的函数值； 就是偏导函数 在点 处的函数值.就象一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏 导函数简称为偏导数. 至于实际求 的偏导数，并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变 量在变动，另一个自变量是看作固定的，所以仍就是一元函数的微分法问题.求 时， 只要把 暂时看作常量而对 求导数；求 时，则只要把 暂时看作常量而对 求导 数. 偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数.例如三元函数 = ( ) 在点( ) 处对 的偏导数定义为 其中 ( )是函数 的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微 分法问题. 例8-9 求 在点(1, 2)处的偏导数. 解 把 看作常量，得 把 看作常量，得 将 (1, 2)代入上面的结果，就得 ， 例8-10 求 的偏导数. 解 , 例8-11 设 ,求证： + 证 因为 , , 所以 + = + 例8-12 求 的偏导数
解把y和z都看作常量,得 由于所给函数关于自变量的对称性,所以 a =31+22=7 二、偏导数的几何意义 0函数f(x,y)在点(x)的两个偏导数有明显的几何意义:设 y0,f(x70,y0)为曲面z=f(x,y)上的一点,过M0作平面y=y,截此曲面 d 得一曲线,此曲线在平面y=y0上的方程为z=f(x,y0),则导数ax J(x,y0)|x- 即偏导数(x,0),就是这曲线在点20处的切线M02对x轴的斜率(见图86)同 样,偏导数J(x0,y)的几何意义是曲面被平面x=x0所截得的曲线在点M处的切线 M02y对y轴的斜率 我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续但对于多元函 数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续这是因为各偏导数存 在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于0时,函数值(P趋于f(),但不能 保证点P按任何方式趋于5时,函数值∫(P都趋于f(2)例如,函数 =f(xy)=1x2+y2,x2+y2≠0 +y2=0, 在点(0,0)对x的偏导数为 ,0.0)=lm0+△x0-0=0 同样有 J(0,0)=imn f(0,0+△y)-f(0,0) 但是我们在第一节中已经知道这函数在点(0,0)并不连续 高阶偏导数 设函数z=f(x,y)在区域D内具有偏导数 az
解 把 和 都看作常量，得 = = 由于所给函数关于自变量的对称性，所以 = , = . 二、 偏导数的几何意义 二 元 函 数 在 点 的 两 个 偏 导 数 有 明 显 的 几 何 意 义 ： 设 为曲面 上的一点，过 作平面 ，截此曲面 得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ，则导数 , 即偏导数 ,就是这曲线在点 处的切线 对 轴的斜率（见图8-6）.同 样，偏导数 的几何意义是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对 轴的斜率. 我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续.但对于多元函 数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存 在只能保证点 沿着平行于坐标轴的方向趋于 时，函数值 趋于 ,但不能 保证点 按任何方式趋于 时，函数值 都趋于 .例如，函数 在点（0，0）对 的偏导数为 同样有 但是我们在第一节中已经知道这函数在点（0，0）并不连续. 三、 高阶偏导数 设函数 在区域 内具有偏导数 ,
那么在D内Jx(xy)、J(xy)都是x,y的函数如果这两个函数的偏导数也存在,则 称它们是函数z=f(x,y)的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏 导数 a( azad f(x,y) fn(x,y) ox a( a = aray a( azz avox n(x, fw(x, y) 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数 二阶及阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 22 例813设z=xy2-3xy2-xy+1,求欧2、b、D 解D=3x2y2-3y3-y 2x'y-9xy ax2=6xy ayax ay=6x2y-9y2-1 =18x2-18xy 3 ax=6y a2 我们看到上例中两个二阶混合偏导数相等,即ox= 这不是偶然的事实 上,我们有下述定理 定理如果函数z=f(xy)的两个二阶混合偏导数Ox及ab在区域D内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关这定理的证明从略 对于二元以上的函数,我们也可以类似地定义高阶偏导数而且高阶混合偏导数在偏 导数连续的条件下也与求导的次序无关 例814验证函数z=1√x2+y2满足方程 ax Z=In y*=-In(x+y" 证因为 y 所以欧=x2+y2,=x2+y2, 2z(
那么在D内 、 都是 的函数.如果这两个函数的偏导数也存在，则 称它们是函数 的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏 导数： = , = , = , = 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及 阶偏导数. 二阶及阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 例8-13 设 ，求 、 、 、 及 . 解 = , = ； = , = ； = , = ； = 6 我们看到上例中两个二阶混合偏导数相等，即 = 这不是偶然的.事实 上，我们有下述定理. 定理 如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续， 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略. 对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏 导数连续的条件下也与求导的次序无关. 例8-14 验证函数 满足方程 + =0 . 证 因为 , 所以 = , = , = =
因此 4(2 22 定理如果函数z=f(xy)的两个二阶混合偏导数Ox及O在区域D内连 续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等 换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关这定理的证明从略 对于二元以上的函数,我们也可以类似地定义高阶偏导数而且高阶混合偏导数在偏 导数连续的条件下也与求导的次序无关 例815验证函数z=h√x2+y2满足方程 2a2 in 证因为 所以改=x2+y2,列=x2+y2 a2z(x 2z( 因此 (2+y2)+(x2+y2) 小结:本节在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数(以二元函数为 重点)偏导数的定义及存在条件和求法,这是多元函数微分学的 基础. 作业: 1.求下列函数的偏导数: (1)2=xy-yx (2)84+y2 (3) z=n(xy), (4) 2=sin( ry)+cos2 z=In tan (5) (6)z=(1+xy) (7)=xx; 8)u=arctan(x
= = 因此 + = + =0 定理 如果函数 的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连 续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略. 对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏 导数连续的条件下也与求导的次序无关. 例8-15 验证函数 满足方程 + =0 . 证 因为 , 所以 = , = , = = , = = 因此 + = + =0. 小结：本节在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数（以二元函数为 重点）偏导数的定义及存在条件和求法，这是多元函数微分学的 基础. 作业： １．求下列函数的偏导数： （１） ； （２） ； （３） ； （４） ； （５） ； （６） ； （７） ； （８）
