从有限向无穷发展 上是一种自然的趋势。无穷级数就是这一趋势的产物 无穷级数是数学分 个重要工具,本章先将常数项级数,然后研究函数项级数,最后研究把 函数展开为函数项级数 我们只介绍两种最常用的级数展开式一一泰勒级数展开式和付立叶级 数展开式 第一节常数项级数的概念和性质 教学目的:理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质 及收敛的必要条件 教学重点:级数收敛与发散概念 教学难点:用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学内容 常数项级数的概念 Y 1.引入 如图求曲边梯形的面积,可以表示成n个内接矩形的面积的 y=f(x) 和的极限:有: f(x=A=1m∑a3=lim∑Ef()△x 般地,有下面定义 定义:设已给序列{n]:1x2,…算… 数 式子1+2+3+…+,+…或记为”,称为无穷级数,简称级数,其中x叫做级数 项,或一般项 注:(1)各项都是常数的级数叫做常数项级数, ”(+1)等 sin 2272 (2)各项是函数的级数,称为函数项级数,如x-1n (3)作常数项级数的前n项的和S,=1+2+43+…十2,S称为级数的部分和。从而的 一个新的序列:1 S2=x1+2, =1+2+ S=1+a2+a3+…+a2 3.定义如果级数2的部分和数列{S,有极限8,即如8=8,则称级数分“收敛, 这时极限S叫做这级数的和,记为x 注:(1)如果{)没有极限,则称级数发散 (2)此时称=S-S为级数第n项以后的余项。 例1.判断下列级数的敛散性 (2)∑h(1 +1 解:(1) 如m。°,=1.即2(+D收敛,且2n(+D=1
从有限向无穷发展,在数学上是一种自然的趋势。无穷级数就是这一趋势的产物。 无穷级数是数学分析的一个重要工具，本章先将常数项级数，然后研究函数项级数，最后研究把 函数展开为函数项级数的问题，我们只介绍两种最常用的级数展开式——泰勒级数展开式和付立叶级 数展开式。 第一节 常数项级数的概念和性质 教学目的：理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质 及收敛的必要条件 教学重点：级数收敛与发散概念 教学难点：用级数收敛性及基本性质判别一些级数的收敛性问题 教学内容： 一、常数项级数的概念 1． 引入 如图求曲边梯形的面积，可以表示成 个内接矩形的面积的 和的极限；有： 一般地，有下面定义： 2．定义： 设已给序列 ： 数学式子 或记为 ，称为无穷级数，简称级数，其中 叫做级数 的通项，或一般项。 注：（1）各项都是常数的级数叫做常数项级数，如 ， 等。 （2）各项是函数的级数，称为函数项级数，如 ， 等。 （3）作常数项级数的前 项的和 ， 称为级数的部分和。从而的 一个新的序列： ， ， ， 3.定义：如果级数 的部分和数列 有极限 ，即 ，则称级数 收敛， 这时极限 叫做这级数的和，记为 注：（1）如果 没有极限，则称级数 发散。 （2）此时称 为级数第 项以后的余项。 例 1. 判断下列级数的敛散性: 解: (1) 故 即 收敛, 且
n(-) ln(n+1)=+ 象数1+1 n发散 例2.证明等比级数(几何级数)a+a+ag2+…+a2++…(a≠0)当l<1时收敛, l21时发散。 a tag t aq 证明:当q≠1时其前n项和 若阳<1,则q=0 的如m8914,即当同<1时等比级数收敛,且其和 =0。n→∞时,S是无穷大量,级数发散。 若q=1,则级数成为a+a+a+…,于是 S =na. lim s.=oo ,级数发散。 若q=-1,则级数成为a-a+a-a+…,当n为奇数时,S=a,而当n为偶数时,S=0。当 n→∞时,S2无极限,所以级数也发 、收敛级数的基本性质 由级数收敛性定义,可得下面性质 其和为S,又k为常数,则 也收敛, (级数的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不回改变。) x=8,∑vx= 性质2若已知二收敛-1 (两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减) 性质3改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性 性质4收敛级数中的各项(按其原来的次序)任意合并(即加上括号)以后所成的新级数仍然收 敛,而且其和不变 推论一个级数如果添加括号后所成的新级数发散,那么原级数一定发散 是收敛的,但级数1-1+1-1+1-1+…发散 性质5.级数收敛的必要条件:若级数“收敛,则x,=0 证明:设1 所以 d=lim Sx -lim s,=S-S=0 通项x,当n→∞时不趋于零,则此级数必发散 小结:本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。 ,=∑(k+1-)=(2-+(3-+(4-)+…+(+1 =√n+1-2→0(2→∞) 级数发散 2+3+(2+3+23/+…+/1+1+ 3
(2) 故 即级数 发散. 例 2. 证明等比级数（几何级数） 当 时收敛， 当 时发散。 证明：当 时其前 项和 若 ，则 ，于是 ，即当 时等比级数收敛，且其和 为 。当 ，则 。 时， 是无穷大量，级数发散。 若 ，则级数成为 ，于是 ，级数发散。 若 ，则级数成为 ，当 为奇数时， ，而当 为偶数时， 。当 时， 无极限，所以级数也发散。 二、收敛级数的基本性质 由级数收敛性定义，可得下面性质 性质1若级数 收敛，其和为 ，又 为常数，则 也收敛，且 （级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不回改变。） 性质2 若已知二收敛 ，则 （两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减） 性质3 改变级数的有限项的值不改变级数的敛散性 性质4 收敛级数中的各项（按其原来的次序）任意合并（即加上括号）以后所成的新级数仍然收 敛，而且其和不变。 推论 一个级数如果添加括号后所成的新级数发散，那么原级数一定发散。 注：例如 是收敛的，但级数 发散。 性质5.级数收敛的必要条件: 若级数 收敛，则 证明： 设 ，即 ，则 ，所以 推论 若级数 的通项 ，当 时不趋于零，则此级数必发散。 小结：本节主要是依据级数的定义及其性质判别级数的敛散性。如 ⑴ ∴级数发散 ⑵
级数为2+3=分2+分3,分别为等比级数且=23 131 不趋于零(n→)∴原级数发散
级数为 ，分别为等比级数且 ∴原级数收敛 ⑶ 不趋于零 ∴原级数发散