第1章 §1.3函数的极限 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§1.3 函数的极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第1章
函数极限的定义 对于y=f(x),自变量的变化过程有六种形式 (1)x->∞(2)x->+∞ (3)x→)-0(4)x→x0 (5)x→x0(6)x→>x0 1.自变量趋于无穷大时函数的极限 2.自变量趋于有限值时函数的极限
一、函数极限的定义 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 2. 自变量趋于有限值时函数的极限 对于 y = f (x), 0 (4) x x → 0 (5) x x → + 0 (6) x x → − (1) x → (2) x → + (3) x → − 自变量的变化过程有六种形式:
1.自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1设函数f(x)当x大于某一正数时有定义, 若VE>0,3X>0,当x>X时,有f(x)-4|时的极限记作 imf(x)=4或f(x→A(当x→>∞) x→00 xX团-8X时,函数yf(x)的图形完全落在以 直线y=4为中心线,宽为2e的带形区域内
− X X A+ A− o x y y = f (x) A 1. 自变量趋于无穷大时函数的极限 定义1 设函数 f (x)当 x 大于某一正数时有定义, 若 X 0, 当 x X 时,有 f (x) − A , 则称常数 时的极限, f x A x = → lim ( ) 或 f (x) → A (当x →) 几何解释: x −X 或x X A− f (x) A+ 记作 0, A 为函数 f (x)当x → 当xX时，函数y=f (x)的图形完全落在以 直线y=A为中心线，宽为2ε的带形区域内．
例1.证明lim-=0. y x→>0X X 让: 0 x 故v>0欲使-0即可 取X=1,当1x1>X时就有1-00,3X>0,当x>X时,有 x→)+o f(x)A0,3X>0,当x<-Y时,有 x→)-00 f(x)-4|<6
例1. 证明 0. 1 lim = x→ x 证: 0 1 − x x 1 = 取 , 1 X = 当 x X 时, 1 0 , x − 因此 1 lim 0. x→ x 就有 = 故 0, 欲使 0 , 1 − x 只要 1 x 即可. o x y x y 1 = 两种特殊情况 : f x A x = →+ lim ( ) 0, X 0, 当 x X 时, 有 f (x) − A f x A x = →− lim ( ) 0, X 0, 当 x −X 时, 有 f (x) − A
2.自变量趋于有限值时函数的极限 (1)x→>x0时函数极限的定义 引例测量正方形面积(真值:边长为x0;面积为A) 直接观测值确定直接观测值精度δ: 边长x x-x0|< 间接观测值 面积x2任给精度,要求x2-A<E 我们称集合U(a,δ)={x|a-<x<a+6 xx-a< 点a的δ邻 a-s a ats
2. 自变量趋于有限值时函数的极限 (1) 0 x → x 时函数极限的定义 引例. 测量正方形面积. (真值: 边长为 ; 面积为A ) 0 x 边长 面积 2 x 直接观测值 间接观测值 任给精度 , 要求 x − A 2 确定直接观测值精度 : x − x0 0 A x x 点a的 邻域. a (a, ) = x a − x a + = x x − a ( ) a − a + 我们称集合
称集合U(a,δ)={x100,36>0,当0x0时的极限,记作 limf(x)=A或f(x)→>A(当x->x) x->x0 即imf(x)=AVE>0,38>0,当x∈∪(x0,) x→>x 时有f(x)-A<E
定义2 设函数 f (x) 在点 0 x 的某去心邻域内有定义 , 0, 0, 当 0 x − x0 时, 有 f (x) − A 则称常数 A 为函数 f (x) 当 0 x → x 时的极限, f x A x x = → lim ( ) 0 或 ( ) ( ) 0 f x → A 当x → x 即 0, 0, 当 ( , ) x x0 时, 有 若 记作 f (x) − A f x A x x = → lim ( ) 0 U(a, ) = x 0 x − a 去心 邻域. 其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 . 左 邻域 : (a − , a), 右 邻域 : (a , a + ). 称集合 为点a的
几何解释: zf(x) 当0<x-x0<δ时, A+- 函数yf(x)的图形完全落 A-8 在以直线=A为中心线宽 0-ox10+x 为2的带形区域内 这表明: 极限存在 函数在局部有界 注意: 1函数极限与f()在点x是否有定义无关 2.与任意给定的有关
1.函数极限与f (x)在点x0是否有定义无关 2.δ与任意给定的ε有关 极限存在 函数在局部有界 这表明: 注意: 几何解释: x0 + A+ A− A x0 x y y = f (x) 函数y=f (x)的图形完全落 在以直线y=A为中心线,宽 为2ε的带形区域内． 当 0 x − x0 时
例2.证明m7 =2 x→1x-1 证f(x)-A 2 x+1-2=x-1 X一 故vE>0,取δ=,当0x0 x→>x0 x→0 x→>0
例2. 证明 0 lim x x c c → = 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证 f (x) − A 2 1 1 2 − − − = x x = x +1− 2 故 0, 取 = , 当 0 x −1 时 , 必有 − − − 2 1 1 2 x x 因此 2 1 1 lim 2 1 = − − → x x x = x −1 由极限的定义容易证明 (c为常数), 0 0 0 0 lim , limsin 0 , limcos 1 x x x x x x x x → → → = = =
(2)左极限与右极限 左极限:f(x0-0)=mf(x)=A x→)x VE>0,3δ>0,当x∈(x0-6,x0) 时有f(x)-A|x 0 VE>0,3δ>0,当x∈(x0,x0+6) 时,有|f(x)-4|x0 x->X0 xoXo
(2) 左极限与右极限 左极限 : 0 f x( 0) − = f x A x x = → − lim ( ) 0 0, 0, 当 ( , ) 0 0 x x − x 时, 有 f (x) − A . 右极限 : 0 f x( 0) + = f x A x x = → + lim ( ) 0 0, 0, 当 ( , ) x x0 x0 + 时, 有 f (x) − A . 由定义2以及左右极限的定义容易得到 f x A x x = → lim ( ) 0 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0
例3.设函数 x-1.x0 y=x 讨论x→0时f(x)的极限是否存在 解因为 lim f(x)=lim(x-1)=-1 x>0 x->0 lim f(x=lim (x+1)=I x>0 x→0 显然f(-0)≠f(0+0)所以imf(x)不存在 x>0
例3. 设函数 + = − = 1, 0 0 , 0 1, 0 ( ) x x x x x f x 讨论 x →0 时 f (x) 的极限是否存在 . x y o −1 y = x −1 1 y = x +1 解 因为 lim ( ) 0 f x x→ − lim ( 1) 0 = − → − x x = −1 lim ( ) 0 f x x→ + lim ( 1) 0 = + → + x x =1 显然f f (0 0) (0 0) , − + 所以 lim ( ) 0 f x x→ 不存在