第六节傅立叶级数 教学目的:什么是函数∫(x)的傅立叶级数,给出函数(x)展为傅立叶级 数的充分条件,求函数f(x)的傅立叶级数展开式的方法 教学重点:了解傅立叶级数的概念和狄里赫莱收敛定理。 教学难点:如何将2,上的函数展开为傅立叶级数 教学内容: 傅立叶级数最初应用在天文学中,这是由于太阳系的行星运动是周期性,欧拉于 1729年解行星问题时就得出了这方面的一些结果,到1829年狄里赫莱第一次论证了傅立 叶级数收敛的充分条件 三角函数系的正交系 正弦函数是一种常见的而简单的函数,例如描述简谐振动的函数。 y=Asin(at+9)就是一个以a为周期的正弦函数。其中y表示动点的位置,t表示时 间,A为振幅,a为角频率,φ为初相。 在实际问题中,除了正弦函数外,还回遇到非正弦函数,它们反映了叫复杂的周期 运动。例如电子技术中常用的周期为的矩形波。 具体的说将周期为Ta丿的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数 4sin(xa+)组成的级数来表示,记为 J()=4+∑Asin(xa+) (1) 其中4,A,91(n=123…)都是常数 将周期函数按上述方式展开,它的物理意义是很明显的,这就是把一个比较复杂的 周期运动看成许多不同运动的叠加,为了以后讨论方便起见,我们将正弦函数按三角 公式变形得 A sin(nat+4)=A sin cos na+A, cos g sin nat, 令并令2,=n,2=4C0%,m=x, 则(1)式右端的级数就可以写 3+2(4,c03x+么sinx) (2) 一般的,型如(2)的式的级数叫三角级数,其中4,a,点团2=12,3…)都是常 数 如同讨论幂级数是一样,我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题,以及给定周期为 2的周期函数如何把它展开成三角级数(2)为此,我们首先介绍三角函数系的正交性。 所谓三角函数系 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,., cosnx, sinnx (3) 在区间-7上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在 区间 上的积分等于零,即 cos ndx=0(x=12,3…)
第六节 傅立叶级数 教学目的：什么是函数 的傅立叶级数，给出函数 展为傅立叶级 数的充分条件，求函数 的傅立叶级数展开式的方法 教学重点：了解傅立叶级数的概念和狄里赫莱收敛定理。 教学难点：如何将 上的函数展开为傅立叶级数 教学内容： 傅立叶级数最初应用在天文学中，这是由于太阳系的行星运动是周期性，欧拉于 1729年解行星问题时就得出了这方面的一些结果，到1829年狄里赫莱第一次论证了傅立 叶级数收敛的充分条件。 一、三角函数系的正交系 正弦函数是一种常见的而简单的函数，例如描述简谐振动的函数。 y=Asin( t+ )就是一个以 为周期的正弦函数。其中y表示动点的位置，t表示时 间，A为振幅， 为角频率， 为初相。 在实际问题中，除了正弦函数外，还回遇到非正弦函数，它们反映了叫复杂的周期 运动。例如电子技术中常用的周期为的矩形波。 具 体 的 说 将 周 期 为 T 的 周 期 函 数 用 一 系 列 以 T 为 周 期 的 正 弦 函 数 组成的级数来表示，记为 （1） 其中 都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明显的，这就是把一个比较复杂的 周期运动看成许多不同运动 的叠加，为了 以后讨论方便起见，我们将正弦函数按三角 公式变形得 并令 则（1）式右端的级数就可以写 成 （2） 一般的，型如（2）的式的级数叫三角级数，其中 都是常 数。 如同讨论幂级数是一样，我们必须讨论三角级数（2）的收敛问题，以及给定周期为 2的周期函数如何把 它展开成三角级数（2）为此，我们首先介绍三角函数系的正交性。 所谓三角函数系 （3） 在区间 上正交，就是指在三角函数系（3）中任何不同的两个函数的乘积在 区间 上的积分等于零，即
∫2snxx=0(=123… ∫ sin xcos ndx=0(=12,3…k≠川) ∫ cos isin nxdx=0(=123…,k≠ sin isin nxdx=0(k,n=1,2,3…k≠n) 以上等式,都可以通过计算定积分来验证,现将第四式验证如下 利用三角学中积化合差的公式 cos Aaxcosnx=-cos(k+n x+cos(k-n os axcos ndx [o(k+)x+cos(k一)xx 1 sin(k+n)x sin(k-n k =0(k,n=1,2,…≠n) 其余不证 在三角函数系(3)中,两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零,即 sinnxdx=x, cos'nxdx=n(n=1, 2, 3 . 二、傅立叶级数 1.若以2丌为周期的函数∫(x)可展为三角函数,即 我们假设上式可以逐项积分。 先求o,对上式从一丌到丌逐项积分: 厂.(x=厂2 ta02_ cos hxdx Naxx 根据三角函数(3)的正交性,等式右除第一项,其余都为零,所以 f (xdx 2 于是得 其次求ax用Cx乘(4)式两端,再从一丌到丌逐项积分,我们得到 f(x) CoS 2X0 2 J, cosnxdx+as[ cos kx cosnxdx+be sin kx sin ndx 根据三角函数系(3)的正交性等式右端除k=n的一项处,其余各项均为零,所以
以上等式，都可以通过计算定积分来验证，现将第四式验证如下 利用三角学中积化合差的公式 当k n时，有 其余不证。 在三角函数系（3）中，两个相同函数的乘积在区间上的积分不等于零，即 二、傅立叶级数 1．若以 为周期的函数 可展为三角函数，即 ， （4） 我们假设上式可以逐项积分。 先求 ,对上式从 到 逐项积分： 根 据 三 角 函 数 （ 3 ） 的 正 交 性 ， 等 式 右 除 第 一 项 ， 其 余 都 为 零 ， 所 以 于是得 其次求 用 乘（4）式两端，再从 到 逐项积分，我们得到 根据三角函数系（3）的正交性等式右端除k=n的一项处，其余各项均为零，所以
f(x)cos ndx=a cos ndx=a, 7. 于是得 f(x)cos ndx(n=0, 1, 2, ". f(xsin nxdx(n=1, 2,. 如果(5)式的积分都存在,这时它们的系数叫函数的傅立叶系数,将这些系数代入 +∑(a2 corn+b2innx) (4)式右,所得的三角级数2 叫做傅立叶级数。 2.( Diricliletl收敛定理)设∫(x)是周期为2丌的周期函数,如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则∫(x)的傅立叶级数收敛,且当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);当x是 J(x)的间断点时,级数收敛于2 f(x-0)+f(x+0)] 例1已知)=x2(0<x<x),求 (1)设J∫(x)的周期为2丌,将∫(x)展开为傅立叶级数 (2)证明 6< (1) Co 丌 x" cos nx dx (n=1,2,…) 4 x sin 2xax 丌(n x<丌 cosnx-47=sin nx 从而有3 2,x=0,x=27 2)令x=0,有 2n2→∑ 令x=丌,有 4 丌2+4 (-1) 注:利用周期函数的定积分性质,有 f(x)cosnxdx f(x)cos ndx f(x)sin ndx f(x)sin ndx 3.正弦级数和余弦级数 当∫(x)为奇函数时,f(x)cm是奇函数,f(x)simx是偶函数,故
于是得 如果（5）式的积分都存在，这时它们的系数叫函数的傅立叶系数，将这些系数代入 （4）式右，所得的三角级数 叫做傅立叶级数。 2．（Diriclilet收敛定理） 设 是周期为 的周期函数，如果它满足： ⑴ 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ⑵ 在一个周期内至多只有有限个极值点， 则 的傅立叶级数收敛，且当 是 的连续点时，级数收敛于 ；当 是 的间断点时，级数收敛于 . 例1 已知 ，求 ⑴ 设 的周期为 ，将 展开为傅立叶级数； ⑵ 证明 解 ⑴ 从而有 ⑵ 令 ，有 令 ，有 注：利用周期函数的定积分性质，有 3．正弦级数和余弦级数 当 为奇函数时， 是奇函数， 是偶函数，故
0(n=0,,2,3,…) b,=0(x)xx(=123…) 即知奇函数的傅立叶级数是含有正弦项的正弦级数 Sin 2X 当J(x)为偶函数时,f(x) cosMO是偶函数f(x)smx是奇函数故 (x)=sx(x=0.2…) ba=0(x=1,2,3…) (7) 即知偶函数的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数 aN 例2将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。 解先求正弦级数。为此对函数∫(x)进行奇延拓。按公式(5)有 2(x)m双d=(x+1)m 2「(x+1)xc0smx ( 1-(x+1)cos nx) 2x+2 2,4, 将求得Om的代入(6)得 X 丌+2)sir (丌+2)sin3 丌cn4x ≤x≤ 在端点x=0及x=丌处级数的和显然为零,它不代表原来函数的值 再求余弦级数。为此对f(x)进行偶延拓。按公式(7)有 (x+1)co 2(x+1)sin nx cosnx 0,n=2,4,6
（5） 即知奇函数的傅立叶级数是含有正弦项的正弦级数 （6） 当 为偶函数时， 是偶函数 是奇函数故 （7） 即知偶函数的 傅立叶级数是只含有常数项和余弦项的余弦级数 （8） 例2 将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。 解 先求正弦级数。为此对函数 进行奇延拓。按公式（5）有 将求得 的代入（6）得 在端点 及 处级数的和显然为零，它不代表原来函数的值 再求余弦级数。为此对 进行偶延拓。按公式（7）有
do +x=丌+2 将所求得的代入余弦级数(8)得 x+17 cosx+cos3x+-co95x+… (0≤x≤x) 小结:函数展为傅立叶级数的问题本来是由分解周期函数为谐波引出的,对非 周期函数,甚至只是定义在[x]上的函数f(x),当它在[x丌上满足狄氏条件 时,它的傅立叶级数 4+∑(,c030+,m3)在兀上收敛,而且由于其各 项都有周期2丌,故在(-0,+∞)上都收敛,其和函数(x)是(-0,+)上的以2丌为周 期的函数。在[x,x]之外(x)与f(x)一般是不同的。但是,如果把定义在x,x 的函数f(x)按周期2丌延拓到数轴所有点x上去,得到一个以2丌为周期的新的函数, 并且仍用f(x)表示这个新的函数,那么在整个数轴上就应有展开式: f(x-0)+f(x+o)a 2 2+2(ac0x+b,n) 若x是∫(x)的连续点,上式 左边即是f( 傅立叶级数,作为一种函数的解析表达式,消除了初等函数和用几个式子联合分段 表达的函数之间的界限一一他们都融合成为一类无穷多项表达式了。这里,第一次用 个正交函数系中的函数作为函数项级数的项去表达一个函数,把函数在一个完备的正交 函数系中进行分解是近代数学中一项很有意义的发展
将所求得的代入余弦级数（8）得 小结：函数展为傅立叶级数的问题本来是由分解周期函数为谐波引出的，对非 周期函数，甚至只是定义在 上的函数 ，当它在 上满足狄氏条件 时，它的傅立叶级数 在 上收敛，而且由于其各 项都有周期 ，故在 上都收敛，其和函数 是 上的以 为周 期的函数。在 之外 与 一般是不同的。但是，如果把定义在 上 的函数 按周期 延拓到数轴所有点 上去，得到一个以 为周期的新的函数， 并 且 仍 用 表 示 这 个 新 的 函 数 ， 那 么 在 整 个 数 轴 上 就 应 有 展 开 式 ： ，若 是 的连续点，上式 左边即是 。 傅立叶级数，作为一种函数的解析表达式，消除了初等函数和用几个式子联合分段 表达的函数之间的界限——他们都融合成为一类无穷多项表达式了。这里，第一次用一 个正交函数系中的函数作为函数项级数的项去表达一个函数，把函数在一个完备的正交 函数系中进行分解是近代数学中一项很有意义的发展
