第1章 §1.6极限存在准则 两个重要极限 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§1.6 极限存在准则 两个重要极限 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第 1 章
极限存在准则 1夹逼准则 准则1如果数列xn,yn及乙n满足下列条件 (1) ysx≤zn(n=1,2,3…) (2)lim yn=a, limin=a, n→0 n→0 那末数列xn的极限存在,且imxn,=a n→0 证∵Vn→a,zn→>a, VE>0,彐N1>0,N2>0,使得
0, N1 0, N2 0, 使得 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 一、极限存在准则 1.夹逼准则 y a, z a, 证 n → n →
当n>N时恒有yn-aN2时恒有zn-aN时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+E 即xn-a<E成立, Imy.=。 n→ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
, 1 n N y − a 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当n N时, 恒有 a − y a + , 即 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n a − z a + , n 上两式同时成立, a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
2单调有界准则 如果数列x满足条件 x1≤x2…≤xn≤xn1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn+1≥…,单调减少 准则|1单调有界数列必有极限 几何解释: xI 2 xt M n~n+1
x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 2.单调有界准则 如果数列x n满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调减少 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M 单调数列
二.两个重要极限 BD sIn x lim x→>0 O A 证:当x∈(0,)时 2 △AOB的面积0 x>0x
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二. 两个重要极限 0 sin (1) lim 1 x x → x = 证: 当 即 sin x 2 1 x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 x limcos 1, 0 = → x x 1 sin lim 0 = → x x x 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o x x x cos 1 sin 故有 1
例2求lm tan x x->0x 解1imx=lim sinx 1 x→>0x x→>0 X COSX sInx =im m =1 x>0x x->0 COS x arcsinx 例3求lm x->0 解令 t= arcsin x, 则x=sint,因此 原式=lim lim t→>0Snt t→>0Slnt 由此重要极限,有 Im sinO(x)=1 0(x)>0(x)
例2 求 . tan lim 0 x x x→ 解 x x x tan lim →0 = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0 =1 例3 求 . arcsin lim 0 x x x→ 解 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = 1 lim →0 = t t sin t =1 1 ( ) sin ( ) lim ( ) 0 = → x x x 由此重要极限，有
例4求lim 1-COS x x→>0 2 sin 2 解原式=1im 2 lim/ sin x->0x 2x>0 2 2 在22,我们看到刘徽用半径为r的圆内接正n边 形的面积A逼近圆面积S,下面就用重要极限做一 证明 例5已知圆内接正n边形面积为 A=nr sin z cos t 证明:m4=z广 证imAn= lim r 2 Sinz COS 丌 n→)00 n→>
2 sin lim cos n n n n r → = 例4 求 2 0 1 cos lim . x x → x − 解 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 = 2 1 = 例5 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 2 lim . n n A r → = 证 n n A → lim 2 sin cos A n r n n n = 2 = r 2 0 sin lim = x→ 2 x 2 x 2 1 r n 在2.2, 我们看到刘徽用半径为 r 的圆 A n 逼近圆面积 S , 下面就用重要极限做一 内接正 n 边 形的面积 证明
(2)lim(1+1)=e x→)00 利用lim(1+1)=e以及夹逼准则可以证明此重 →)00 要极限,这里从略 注:此极限也可写为m(1+z)=e 或1im(1+-1)(3)=e P(x)- 例6求lim(1-1) x→0 解令t=-x,则 11 im(1-1)x =lm(1+ li x→0 t→ t→)0 (1+1)e 也可以利用上式,原式=lm[(++)]=e
(2) 利用 以及夹逼准则可以证明此重 1 lim(1 )x x x e → + = 1 lim(1 )n n n e → + = 要极限，这里从略． 注: 此极限也可写为 1 0 lim(1 ) z z z e → + = 或 1 ( ) ( ) ( ) lim (1 ) . x x x e → + = 例6 求 1 lim(1 ) . x x x→ − 解 令 t = −x, 则 − = → x x x lim (1 ) 1 t t t − → lim(1+ ) 1 1 lim → = t t t (1 ) 1 + e 1 = 原式 1 1 1 lim (1 ) x x x e − − − − − → 也可以利用上式， = + =
例7求im(x+2) x+ 解原式 1+2/x)x+2 x(1+1/x)x+1 2 1+ 2 1+ lin -e x→)00 (1+1/: 1e1 例8求im(-2x) x->0 解原式=im[1+(2x)21=e2
例7 求 解 原式 1 2 2 lim 1 1 1 x x x x → x x + + = + + 1 2 lim . 1 x x x x + → + + 例8 求 解 原式 1 ( 2) 2 0 lim 1 ( 2 ) x x x − − → = + − ( ) 1 0 lim 1 2 . x x x → − ( ) 2 2 1 2 1 1 2 lim 1 1 1 1 x x x x x x x → + + = + + 2 1 1 e e = = e. 2 e − =
课堂练习 1.求1 lim x arcsin x 解设 arcsin1=1,则x=1,且x→>时1→0 sin t 原式=lin =lim- 1 Im 1→0 sint t→0slnt 2.求 lim arctan 2x x>0 解设 arctan2x=1,则x=1an,且x→0时t>0 2 cost 2 lim cost 原式=1m、21=1im2 t→ =2 1→>0 tant t→>0Sint sint lim t→>0
1. 求 1 lim arcsin . x x → x 解 设 1 arcsin , t x = 0 limt sint → t = =1. 则 1 , sin x t = 原式 0 1 limt sin t t → = 2. 求 0 arctan 2 lim . x x → x 解 设 arctan 2 , x t = 0 2 limt tant → t = = 2. 则 1 tan , 2 x t = 原式 0 2cos limt sin t t t → = 且 x → 时 t → 0. 且 x → 0 时 t → 0. 00 2limcos sin limt t t t t →→ = 课堂练习