第5章 §5.3定积分的积分法 不定积分「换元积分法 分部积分法 换元积分法 定积分 分部积分法
§5.3 定积分的积分法 第5章 不定积分 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法
1.定积分的换元法 定理1设函数(x)在区间[a,b连续,x=(0)满足: (1)在区间[a,月或a上单调、可导,且p(t连续; (2)a=0(a),b=0(B)t∈[a,或B,a时,m(t)∈{a,b 则 ∫f(x)dx=/((o(od 证所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存 在且它们的原函数也存在设F()是()的一个原函 数则()就是[o(1y/()的原函数,因此有 f(x)dx=F(b)-F(a)=Flo(B)1-FIo(a)l B f[()]q(t)d
1. 定积分的换元法 定理1 设函数f(x) [a, b] 连续， 满足: ( )d [ ] d b a f x x f t = ( )t (t) 证 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存 在, 且它们的原函数也存在 . 则 就是 的原函数 , 因此有 b a f (x)dx = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] f [ ] dt = (t) (t) F[(t)] f [(t) ](t) 则 在区间 (2) ( ), ( ), [ , ] [ , ] a b t = = 或 [ , ] [ , ] α 或 上 x t = ( ) 设F(x)是f(x)的一个原函 数, 则 时， ( ) [ , ], t a b (1) 在区间 单调、可导, 且 ( )t 连续;
Cf(ydx=fo(lo(dt 注 1)必需注意换元必换限,且换元后的上限和下限分别 对应原积分上限和下限 2)原函数中的变量不必代回
注: 1) 必需注意换元必换限 ,且换元后的上限和下限分别 2) 原函数中的变量不必代回 . f x x f t b a ( )d [ ] d = (t) (t) 对应原积分上限和下限
例1计算a2-x2dx(a>0 0 解令x= asin t,则dx= a costd t,且 当x=0时,t=0;x=a时 2 原式=28c083d71y=a 21 a 二 (+cos 2t)dt 2 (t+sin 2t) 2 2 0 元 4
例1 计算 d ( 0). 0 2 2 − a x x a a 解 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2 x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2 = + sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2 2 0 cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a S 且 2 4 a =
例2计算∫ 4x+2 d 0√/2x+1 解令t=√2x+1,则x= 2-1 dx=tdt,且 2 当x=0时,t=1;x=4时,t=3 3 原式 2-I+tat 2 +3)dt 2 r3+3t) 3 22 23
例2 计算 d . 2 1 4 2 0 x x x + + 解 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2 + − (t 3)dt 2 1 3 1 2 = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 且 22 3 =
例3计算定积分 e2+Inx 解 e2+Inx X (2+In xd(2+In x =(2+hx)2 5 2 2 注意凑元不必换限
1 2 ln d . e x x x + 1 (2 ln )d(2 ln ) e = + + x x e x 1 2 (2 ln ) 2 1 = + 例3 计算定积分 解 1 2 ln d e x x x + . 2 5 = 注意:凑元不必换限
例4设函数f()在区间-a,a连续,证明 ()若/(-x)=(x,则∫。fx)dx=2J(xdx (2若(x)=(则(dx=0 IE/(x)dx=f(x)dx+of(x)dx =/(-1d+f(x)dx3 X= LIfGx)+f(x)]dx 20/(x)dx,f(-x)=f(x)时 0 f(-x)=-f(x)时 ▲区鸟
例4 证 (1) 若 f ( − x ) = f ( x ), 0 ( ) d 2 ( ) d a a a f x x f x x − = = − f x x aa ( ) d (2) 若 f ( − x ) = − f ( x ), ( ) d 0 aa f x x − = f x x a ( ) d 0 − f x x a ( ) d 0 + f t t a ( ) d 0 = − f x x a ( ) d 0 + f x f x x a[ ( ) ( )]d 0 = − + 2 ( )d , 0 f x x a f (−x) = f (x)时 0 , f (−x) = − f (x)时令x = −t = 设函数f (t)在区间[− a,a]上连续，证明： 则则
例5计算x3sin4xdx 解由于积分区间为对称区间,x3sin4x为奇函数, 原式=0 例6计算x4 1 解由于积分区间为对称区间, 2为偶函数 X √-x奇函数,F以 X 原式= dx dx 2 2 2V1-y2 dx+0=2 arcsin x 2 元 0 2
例5 计算 1 3 4 1 x x x sin d . − 解 由于积分区间为对称区间， 3 4 x x sin 1 2 0 = 2arcsin x 为奇函数， 3 = ∴ 原式 = 0 . 例6 计算 1 2 1 2 2 1 d . 1 x x x − − − 解 由于积分区间为对称区间， 2 1 1− x 奇函数, 所以 ∴ 原式 = 为偶函数, 2 1 x − x 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 d d 1 1 x x x x x − − − − − 1 2 0 2 1 2 d 0 1 x x = + −
x>0 例6设f(x)={x+ 求 f(-1)dx e x<0 解令x-1=1,则x=t+1,dx=dt,且 当x=0时,t=-1:x=3时,t=2 原式=f()dt=,edt+ dt 0t+1 1)2 e-0+ln(t+1 =e-1+ln3
例6 设 1 , 0 ( ) , 1 , 0 x x f x x e x − = + 解 令 x t − =1 , 则 x t x t = + = 1, d d , 当x = 0时, x = 3 t = 2 . ∴ 原式 = 21 f t t ( ) d − t e − = − 0− 1 t = −1; 且 = − + e 1 3 ln 30 f x x ( 1) d . − 求 时， 01 d t e t − − = 20 1 d 1 t t + + + + ln( 1) t 20
2.定积分的分部积分法 定理2设(x),v(x)在a,b上有一阶连续导数,则 b Cu(x)v(x)dx=u(x)v(x-S u(x)v(x)dx 证∵[v(x)v(x)]=l(x)v(x)+l(x)(x) 两端在{a,b上积分 u(xv(x) ba u'(x)v(x)dx+ u(x)v(x) )dx Cu(x)v(x)dx=u(x)v() ba u(x)v(r)dx
2. 定积分的分部积分法 定理2 u x v x a b ( ), ( ) [ , ] 在 上有 则 u(x)v (x)dx u(x)v(x) b a = a b − b a u (x) v(x)dx 证 [u(x)v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v (x) u(x)v(x) a b u x v x x u x v x x b a b a = ( ) ( )d + ( ) ( )d b a u(x) v (x)dx = u(x)v(x) a b − b a u (x) v(x)dx 两端在[a,b]上积分 设 一阶连续导数