第2章 §2.函数的微分 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§ 2.5 函数的微分 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪 第2章
微分的概念 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用
二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 一、微分的概念
微分的概念 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由x0变到x0+△x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量Δx时,面积的增量为 △A=(x0+△x)2-x2 △x x△x △ =2x0△x+(Ax)2 关于x的x→0时为x A=xoXo 线性主部高阶无穷小 故△A≈2x△x 称为函数在x0的微分
一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 2 2 0 A = (x + x) − x 2 0 = 2x x + (x) x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 A x x 2 0 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其
定义若函数y=f(x)在点x的增量可表示为 △y=f(x0+Ax)-f(x0)=A△x+0(△x) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微,而A△x称为f(x)在 点x的微分,记作dy或d,即 dy=A△x 问题1.函数y=f(x)在点x的增量何时可表示为 △y=A△x+O(△x)? 2.如果函数y=f(x在点x的增量可表示为 △y=AAx+o(△x),那么4=?
的微分, 定义 若函数 y = f (x) 在点 x0 的增量可表示为 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 f (x)在 0 点x 记作 dy 或d f , 即 dy = Ax 问题 1. 函数 y = f (x) = Ax + o(x) 在点 0 x 可微, 在点 x0 的增量何时可表示为 = + y A x o x ( )? 2. 如果函数 y = f (x) 在点 x0 的增量可表示为 = + y A x o x ( ), 那么A=?
事实上如果y=f(x)在点x可微,则 △y=f(x0+Ax)-f(x0)=A△x+0(△x) Ay= lim(A+ 0(△x )=A Ax→>0△xAx→>0 △x 故y=f(x)在点x可导,且f(x)=A.可以证明 若y=f(x)在点x0可导,则y=f(x)在点x可微 定理:函数y=f(x)在点x0可微的充要条件是 y=f(x)在点x0处可导,且A=f(x0),即 dy=f(o)ax (必要性如上已证,充分性的证明略)
事实上, 如果 y = f (x) 在点 可微 , 0 x 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 f (x0 ) = A = Ax + o(x) y = f (x) 在点 可导, 0 x 且 . 可以证明, 若 y = f (x) 在点 可导, 0 x 则 y = f (x) 在点 x0 可微 . (必要性如上已证, 充分性的证明略) 定理: 函数 y = f (x) 在点 x0 可微的充要条件是 y = f (x) 在点 x0 处可导， ( ) , 0 且 A = f x 即 dy = f (x )x 0
说明:Ay=f(x0)△x+0(Ax) dy=f(o)Ar 当f(x)≠0时, △y △ y Ax→0dyAx>0f(x0)△x im△y=1 f(x0)△x→0△x 所以Ax→>0时Ay与dy是等价无穷小,故当△x 很小时,有近似公式 △y≈dy
说明: f (x0 ) 0 时 , dy = f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y = f x x + o x y y x d lim 0 → f x x y x = → ( ) lim 0 0 x y f x x = →0 0 lim ( ) 1 =1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y dy 与 是等价无穷小, 当 故当
微分的几何意义—切线纵坐标的增量 dy=f(x0)△x=tana:△x 当Ax很小时,△y≈d d y=x时,△y=△x=dx ty y=/(x) △ 称Ax为自变量的微分,记作dx 则有dy=f(x)dx C 从而 d1 f(x)导数也叫作微商 x+△x 例如y=3.byx=2 Bx. dx x=2 =0.24 dx=0.02 dx=0.02 又如,y= arctan,dy=1 1+x
微分的几何意义 dy = f (x )x 0 x + x 0 x y o y = f (x) 0 x y dy = tan x 当 x 很小时, y dy 当y = x 时， 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y = 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 称x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记 例如, , 3 y = x dy d 0.02 2 = = x x 2 = 3x dx d 0.02 2 = = x x = 0.24 y = arctan x , dy x x d 1 1 2 + 又如, =
由基本导数公式可得到如下基本微分公式 (1)dc=0(c为常数) (2)d(x)=oxa-dx (3)d(a)=an de=e dx (4)d(logar)=xIna d(n x)=-dx (5)dsin x=cos xdx d cos x==sin xdx d tan x= sec xdx d cot x=-csc xdx d(secx)=sec x tan xdx d(cscx) cSc x cot xd. (6) d(arcsinx) 、c、 d(arccos)= dx d(arctan) d 1+x d(arccot)= dx +X
由基本导数公式可得到如下基本微分公式 (1) (2) (3) (4) dc = 0 （c为常数） d(x ) x dx −1 = a a a x x x d( ) = ln d e e x x x d = d x x a x a d ln 1 d(log ) = x x x d 1 d(ln ) = (5) dsin x = cos xdx dcos x = −sin xdx d tan x sec xdx 2 = d cot x csc xdx 2 = − (6) d(secx) = sec x tan xdx d(cscx) = −csc x cot xdx x x x d 1 1 d(arcsin ) 2 − = x x x d 1 1 d(arccos ) 2 − = − x x x d 1 1 d(arctan ) 2 + = x x x d 1 1 d(arccot ) 2 + = −
二、微分运算法则 设u(x),v(x)均可微,则 1.d(±y)=d±d2.d(Ca)=Cd(C为常数) 3.d()=dn+d4.d24 du-udy (v≠0) 5.复合函数的微分 y=f(u),u=0(x)分别可微, 则复合函数y=f[(x)]的微分为 dy=y'dx=f(uo(x) dy=f()d|微分形式不变 1 例如,y=1n(1+x2) x d(x2+1) dx x2+1 x2+1
二、 微分运算法则 设 u(x) , v(x) 均可微 , 则 1. d(u v) 2. d(Cu) (C 为常数) 3. d(uv) 4. d( ) (v 0) v u y = f (u), u =(x) 分别可微 , y = f[(x)] 的微分为 y y x d = x d = f (u)(x)dx du dy = f (u)du 微分形式不变 5. 复合函数的微分 则复合函数 = du dv = Cdu = vdu + udv 2 d d v v u − u v = 例如, 2 y x = + ln(1 ), 2 1 d 1 y x = + 2 d( 1) x + 2 2 d 1 x x x = +
例1求函数y=x+cosx的微分dy hE dy=(x+cos x)'dx=(1-sin x )dx 例2求由方程e+x+y=0所确定的函数y=y() 的微分dy 解方程两端关于x求导得 e(y+xy)+1+y=0 解之得y 1+y e 1+ xe (1+xe”≠0) 1+ ye 于是 d ax I+ xe
e + x + y = 0 xy 例1 求函数 y = x +cos x 解 d ( cos ) d y x x x = + = − (1 sin )d x x 的微分 d . y 例2 求由方程 所确定的函数y=y(x) 的微分 d . y 解 方程两端关于x求导得 ( ) 1 0 xy e y xy y + + + = 解之得 1 (1 0) 1 xy xy xy ye y xe xe + = − + + 于是 1 d 1 xy xy ye y x xe + = − + d