第2章 §2.2函数的求导法则 燕列雅权豫西王兰芳李琪
§2.2 函数的求导法则 第2章 燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪
、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1设f(x)、g(x)在点可导,则有以下运算法则 (1)(f(x)±g(x)=f(x)±g(x) (2)(f(x):g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x) 特别地,(cf(x)′=cf'(x)(c为常数) f(x), f(xg(x)-f(xg(x) (3) (g(x)≠0) g(x) g(x) 特别地, 8(4)=8(x) )g2(x) 注:定理1中(1)、(2)可分别推广到有限个函 数相加减以及相乘的情形
一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 设f (x)、g (x)在点x可导，则有以下运算法则 ( f (x) g(x)) = f (x) g (x) ( f (x) g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x f x g x g x g x − = (1) (2) (3) 特别地, (cf (x)) = cf (x) (c为常数) 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) g x g x g x 特别地, = − ( ( ) 0) g x 注: 定理 1中（1）、（2）可分别推广到有限个函 数相加减以及相乘的情形
下面只对(1)给出证明,其它证明从略 (1)(f(x)±g(x)=f(x)±g(x) 证设(x)=f(x)±g(x),则 u(x)=lim u(x+h)u(x) h→>0 h [f(x+h)±g(x+h)-[f(x)±g(x) Im h→>0 h =lim/(x+h)-f(x) ±m(x+h) h→>0 h h->0 h f(x)±g(x)故结论成立
证 设 , 则 故结论成立. (1) ( f (x) g(x)) = f (x) g (x) 下面只对（1）给出证明，其它证明从略. u x f x g x ( ) ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) ( ) limh u x h u x u x → h + − = 0 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] lim h f x h g x h f x g x → h + + − = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim h h f x h f x g x h g x → → h h + − + − = = f x g x ( ) ( )
例1求下列函数的导数 1- +x+x (1)y=e+5nx(2)y (3)y=103+x0(4)y=(x-a(x-bx-c) 解(1)y=(e+5lnx)=(e)+(5lnx)=e+ X 1+x+x (2)y =(11+()y+(x)=-2+1 x X (3)y=(04+x)=(0)+(x)=101m10+10x2 (4)y=[x(a+b+c)x+(ab+bc +ac)x-abcl =3x4-2(a+b+c)x+(ab+ bc+ac 注意:有些函数,化简后再求导会简单一些
例1 求下列函数的导数 y e x x = +5ln x x x y 2 1+ + (1) (2) = 10 y 10 x x (3) = + y = (x − a)(x −b)(x −c) (4) 解 (1) ( 5ln ) x y e x = + ( ) (5ln ) x = + e x x 5 e x = + 2 1 x x y x + + = (2) 1 (1) ( ) x x = + + 2 1 1 x = − + ( ) 10 10x y x (3) = + 10 (10 ) ( ) x = + x 9 10 ln10 10 x = + x 3 2 (4) y x a b c x ab bc ac x abc = − + + + + + − [ ( ) ( ) ] 2 = − + + + + + 3 2( ) ( ) x a b c x ab bc ac 注意：有些函数，化简后再求导会简单一些
例2利用求导法则求证 (tan x)=secx,(CSc x)=-cSc x cot x LE( tan x)=sIn x)=(sin )cos x- x(cos x) COS X COsx 2 2 cosx+SIn x sec x (sin x)-cos x CSC X sInx 2 sInx =-cSc x cot x 类似可证:( (cot x)=-csc2x,(secx)= secx tan x
(csc x) = sin x 1 x 2 sin = − (sin x) x 2 sin = 例2 利用求导法则求证 (tan ) sec , 2 x = x 证 (csc x) = −csc x cot x . = x x x cos sin (tan ) = x 2 cos (sin x)cos x − sin x (cos x) = x 2 cos x 2 cos x 2 + sin x 2 = sec − cos x = −csc xcot x 类似可证: (cot ) csc , 2 x = − x (sec x) = sec x tan x
例3y=√x(x3-4cosx-sin1),求y及y1x=1 解y=(x)(x 3_4cos x-sin +√x(x3-4csx-sinl) 2pCx3-4cos x-sin 1)+vx(3x+4sin x y/x=1=(1-4cos1-sin1)+(3+4sin) ==+-sin 1-2 cos 1 22
例 3 解 + 4sin x ( 1 21 − sin1) ( 4cos sin1) , 3 y = x x − x − . =1 x 求 y 及 y y =( x ) + x = ( − 4cos − sin1) + 21 3 x x x 2 x (3 x ) y x=1 = − 4cos1 + (3+ 4sin1) sin1 2cos1 27 27 = + − ( 4cos sin1) 3 x − x − ( 4cos sin1) 3 x − x −
二、反函数的导数 定理2如果函数x=q()在某区间/内单调、可导 且φ(y)≠0,那末它的反函数y=∫(x)在对应区间 Ⅰ内也可导,且有 f(x)= 甲(x) 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数
二、反函数的导数 定理2 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. . ( ) 1 ( ) , ( ) 0 , ( ) ( ) x f x I y y f x x y I x y j = j = =j 内也可导 且有 且 那末它的反函数 在对应区间 如果函数 在某区间 内单调、可导
例4求函数y= arcsin x的导数 解x=$in)在,∈(2内单调、可导 且(inyy=cosy>0,∴在I∈(-1,1内有 同理可得 arccos x=--syNn (arcsin x) siny/'sI cosy√ 2 (arctan x) (arccot)= 1+x 1 2 x
例4 求函数 y = arcsin x的导数. 解 ) , 2 , 2 sin 在 ( 内单调、可导 x = y I y − 且 (sin y) = cos y 0, 在I x (−1,1)内有 (sin ) 1 (arcsin ) = y x cos y 1 = y 2 1 sin 1 − = . 1 1 2 − x = . 1 1 (arccos ) 2 x x − 同理可得 = − ; 1 1 (arctan ) 2 x x + = . 1 1 ( cot ) 2 x x + arc = −
三、复合函数求导法则 定理2=8(x)在点x可导,y=f(u)在点=g(x) 可导 复合函数y=8(x)在点x可导,且 dydy d f'(u)g'(x) dx du dx 推广:此法则可推广到多个中间变量的情形 例如,y=f(u),l=0(v),V=v(x) dy dy du dv u dx du dv dx =f(u)·(v)v(x) 关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导
在点 x 可导, 三、复合函数求导法则 定理2 u = g(x) y = f (u) 在点 u = g(x) 可导 复合函数 y = f [ g(x)] 且 d d d ( ) ( ) d d d y y u f u g x x u x = = 在点 x 可导, 例如, y = f (u) , u =j(v) , v =(x) = x y d d = f (u) j(v)(x) y u v x u y d d v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形
例5计算以下初等函数的导数 1)y=sin 7x (4) y=sin x (5)y=Isin x (9)y=ln√x2+1 解(1)y=sin7x可看作由y=sinl,u=7x 复合而成.因此 dy dy du =(Sin nu) (7x)=7 cos u= 7 cos7x dx du dx (2)y=sin2x可看作由y=l2,l=sinx 复合而成。因此 dy dy du =(2)·(inx)=2:cosx dx du dx 2sinx·coSx=Sin2x
例5 计算以下初等函数的导数 (1) y = sin 7x (4) 2 y x = sin (5) y x = ln sin (9) 2 y x = + ln 1 解 (1) y = sin 7x 可看作由 y u u x = = sin , 7 复合而成. 因此 d d d d d d y y u x u x = = (sin ) (7 ) u x = 7cosu (2) 2 y x = sin 可看作由 2 y u u x = = , sin 复合而成. 因此 d d d d d d y y u x u x = 2 = ( ) (sin ) u x = 2 cos u x= 7cos7x = 2sin cos x x = sin 2x