第二节二重积分的计算法 教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两 个定积分的计算(即二次积分)来实现的 、利用直角坐标计算二重积分 ∫(x,y)dl 我们用几何观点来讨论二重积分D 的计算问题 讨论中,我们假定f(x,y)20 假定积分区域D可用不等式a≤x≤bg(x)≤y≤q(x)表示, 其中q(x),q(x)在[a,b]上连续 y 2 y=2(x) =1(x) y=9(x) ∫(x,y)da 据二重积分的几何意义可知 的值等于以D为底,以曲面 z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两 个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域 可用不等式 表示, 其中 , 在 上连续. 据二重积分的几何意义可知, 的值等于以 为底, 以 曲面 为顶的曲顶柱体的体积
z=f(x,y) 92(x y=( 在区间[ab上任意取定一个点x,作平行于0z面的平面x=x,这平面截 曲顶柱体所得截面是一个以区间[q(x),q(x为底,曲线z=f(x,y)为曲边 的曲边梯形,其面积为 A(x。) ∫∫(xo,y)dy 般地,过区间[a,]上任一点x且平行于yz面的平面截曲顶柱体所得截面的 面积为 A(x)=J∫(x,y)z 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 V=JA(xx= f(x,y)dy 从而有 b (xy)a引丁(x, 上述积分叫做先对Y,后对x的二次积分,即先把x看作常数,f(x,y)只看作y的 函数,对f(x,y)计算从a(x)到2(x)的定积分,然后把所得的结果(它是x的函数 )再对x从a到b计算定积分 这个先对y,后对x的二次积分也常记作
在区间 上任意取定一个点 ,作平行于 面的平面 ,这平面截 曲顶柱体所得截面是一个以区间 为底,曲线 为曲边 的曲边梯形,其面积为 一般地,过区间 上任一点 且平行于 面的平面截曲顶柱体所得截面的 面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把 看作常数, 只看作 的 函数,对 计算从 到 的定积分,然后把所得的结果( 它是 的函数 )再对 从 到 计算定积分. 这个先对 , 后对 的二次积分也常记作
2(x) ∫f(x,y)du=」a∫∫(x,y) 1 在上述讨论中,假定了∫(x,y)≥0,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分 的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的∫〔x,y)(在D上连 续),公式(1)总是成立的 r=』(a-x2)daD={(x,y)-1≤x≤1,0≤y≤2} 例如:计算 D ea-xydy=la-x 解 「20-x2)x=2x-2x2/8 2 类似地,如果积分区域D可以用下述不等式 c≤ysd,p(y)sxsp(y) 表示,且函数φ(y),φ2(y)在[c,d]连续,f(x,y)在D上连续,则 (y) d2(y) ∫(x,y)do=∫jf(x,y)a=∫df(x,y)lh c La() A() (2) D xMl(y) x xf p2(y) 显然,(2)式是先对x,后对y的二次积分 二重积分化二次积分时应注意的问题 积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点 对于I型(或II型)区域,用平行于y轴(X轴)的直线穿过区域内部,直线与区域 的边界相交不多于两点
在上述讨论中,假定了 ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分 的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的 (在 上连 续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域 可以用下述不等式 表示,且函数 , 在 上连续, 在 上连续,则 (2) 显然,(2)式是先对 ,后对 的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于 轴( 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域 的边界相交不多于两点
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的 并集 2、积分限的确定 重积分化二次积分,确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 几何法.画出积分区域D的图形(假设的图形如下) (x,2(x) x92(x) x bx 在[a,b上任取一点x,过x作平行于y轴的直线,该直线穿过区域D,与区域D 的边界有两个交点(,(x)与(,2(x),这里的(x)、吗2(x)就是将x,看作常 数而对y积分时的下限和上限:又因x是在区间[a,b]上任意取的,所以再将x看 作变量而对翼积分时,积分的下限为a、上限为 b d 例1计算D 其中D是由x轴,y轴和抛物线y=1-x在第一象限内所 围成的区域 解:D:0≤x≤1,0≤y≤1-x2 ∫3x2y2d=Jaj3x2y2d y dx=x2(-x2)dx 令x=snt∫s·c、。(2-1)!(7-1)!116 9!! 315 类似地,D:0≤y≤1,0≤X≤√l-y y ∫3x2y2d=」d」3x2y2ar
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的 并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域 的图形(假设的图形如下 ) 在 上任取一点 ,过 作平行于 轴的直线,该直线穿过区域 ,与区域 的边界有两个交点 与 ,这里的 、 就是将 ,看作常 数而对 积分时的下限和上限；又因 是在区间 上任意取的,所以再将 看 作变量而对 积分时,积分的下限为 、上限为 . 例1计算 ,其中 是由 轴, 轴和抛物线 在第一象限内所 围成的区域. 类似地
1-y =-y)2y 令y=sin2t∫2cos3t,sin3td=2 (4-1)!(5-1)!16 9!! 315 例2计算D 其中D是由抛物线y2=X及直线y=x-2所围成的区域 解:D:0≤x≤1,-√xsy≤ D:1sx≤4,x-2sy≤ JJxydo=xydo +[xydo D2/x-2 =dx xydy dx ydy √x =0+y2a=x-(x-2)8 D:-1≤y≤2,y≤x≤y+2 2 xydo=ayxyo D 2 2-y的 例3求由曲面z=x2+2y及z=6-2x2-y所围成的立体的体积 解:1、作出该立体的简图,并确定它在X∽面上的投影区域
例2计算 , 其中 是由抛物线 及直线 所围成的区域. 例3求由曲面 及 所围成的立体的体积. 解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在 面上的投影区域
消去变量z得一垂直于x面的柱面x2+y=2,立体镶嵌在其中,立体在 面的投影区域就是该柱面在X面上所围成的区域 D:x2+y2≤2 2、列出体积计算的表达式 V=6-2x2-y2)(x2+2y)1a=』6-3x2-3y3)da D 、配置积分限,化二重积分为二次积分并作定积分计算 =6da-3』x2da-3y2da d=2 而 ∫x2do=jy2da 由X,y的对称性有D ∫x2d=∫x2akj如=2」x 4x2-x'dx=44sin0cos-8 0 16(2-1)(2-1)!.x (2+2)!!2 16 4.22 所求立体的体积为 y=12x-6x=6丌 利用极坐标计算二重积分
消去变量 得一垂直于 面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在 面的投影区域就是该柱面在 面上所围成的区域 2、列出体积计算的表达式 3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算 而 由 , 的对称性有 所求立体的体积为 二、利用极坐标计算二重积分
1、变换公式 按照二重积分的定义有 ∫f(x,y)da=lm∑∫(;,n)Aσ D b=b.+△O 6=b 6= + 现研究这一和式极限在极坐标中的形式 用以极点0为中心的一族同心圆P=常数以及从极点出发的一族射线 6=常数,将D剖分成个小闭区域 除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域△G:的面积可如下计算 △a=(+△)△ △a2=2+A:△△6 2 n+G+A) A△a2=r△:△63 2 其中,r表示相邻两圆弧半径的平均值 (数学上可以证明:包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零,因 此,这样的一些小区域可以略去不计) 头,在小区域△G上取点(r,日),设该点直角坐标为(5,7),据直角坐标与极 标的关系有 =nC0s日1,=Sin日 于是 lim∑f(2,7;)a;=lim∑f(rcos;, ri sin)ri△n△ A→>0 ∫∫(x,y)do=∫∫( rcos 6,rsinθ)rdhd0
1、变换公式 按照二重积分的定义有 现研究这一和式极限在极坐标中的形式. 用以极点 为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将 剖分成个小闭区域. 除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域 的面积可如下计算 其中, 表示相邻两圆弧半径的平均值. (数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因 此, 这样的一些小区域可以略去不计) 在小区域 上取点 ,设该点直角坐标为 ,据直角坐标与极 坐标的关系有 于是 即
∫(x,yd ∫f(x,y)ady 由于D 也常记作D ,因此,上述变换公式也可以写成更 富有启发性的形式 ∫(x,y)=』∫( rcos e,rsin)rdhd (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中 rdd就是极坐标中的面积元素 (1)式的记忆方法 → rcos e f(xy)中 y>sing f(c8rimr dkds-ordrde 2、极坐标下的二重积分计算法 极坐标系中的二重积分,同样可以化归为二次积分来计算 【情形一】积分区域D可表示成下述形式 ≤θ≤Bg(的sr≤q2(6 其中函数q(O),q2()在[a,]上连续 r=2(6) g1(6) x 092(9 ff(rcos8, rsin B)rdrd8= de f(rcos e, rsin O)rdr 【情形二】积分区域D为下述形式 F=( 显然,这只是情形一的特殊形式()=0(即极点在积分区域的边界上) ∫∫(rcosθ, sine)rardθ=jde∫f( rcos e,rsin 故 【情形三】积分区域D为下述形式
由于 也常记作 , 因此,上述变换公式也可以写成更 富有启发性的形式 (1) (1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中, 就是极坐标中的面积元素. (1)式的记忆方法: 2、极坐标下的二重积分计算法 极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算. 【情形一】积分区域 可表示成下述形式 其中函数 , 在 上连续. 则 【情形二】积分区域 为下述形式 显然,这只是情形一的特殊形式 ( 即极点在积分区域的边界上 ). 故 【情形三】积分区域 为下述形式
r=p(6 x r=p(6) g(6) 显然,这类区域又是情形二的一种变形(极点包围在积分区域D的内部),D可剖分 成D与D2,而 D1:0≤≤x,0≤Psg(的D2:丌≤θ≤2x,0≤r≤g(6 故D:0≤≤2x,0≤P≤g 29() Jf(cosa,rsin)rlrl=∫ae∫f(cosa,rsne)rdr 则D 0 由上面的讨论不难发现,将二重积分化为极坐标形式进行计算,其关键之处在 于:将积分区域D用极坐标变量r,6表示成如下形式 a≤6≤,φ1()srs2(6) 下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、D1:x2+y≤2y R≤x≤R,R≤y≤R+√R2-x x+ys E先画出区域的简图,据图确定极角的最大变化范围[a月 E再过[a月内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用 极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围[1(),2(6) =2 l● R R y
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域 的内部 ), 可剖分 成 与 ,而 故 则 由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在 于: 将积分区域 用极坐标变量 表示成如下形式 下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、 2、 Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围 ； Ë再过 内任一点 作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用 极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围
【解1】用极角射线去扫描区域,得到6 的转角为[0,x],在[O,z]内作一射线 穿过区域D,与边界有两个交点,这两点 P2(0)=2sin 8 的极径长为 1(6)=0 将直角坐标方程x2+y2=2y化极坐 q(6)=0 标方程 (rcos 0)+(rsin 0)=2rsin 6 in6,从而有=g2(6)=2s 故D1:0≤6≤丌,0≤F≤2sn6 37 【解2】6从一转到一可以扫描完整个的区域 44 y=R化成极坐标方程 y R rsin 6=R 2(6)=2Rsin6 sin g y=R+√R-x2化成极坐标方程 P1 R x"+y4=2Ry (rcos 8)+(rsin 6)=2Rrsin8,r=2 Rrsin e r=2Rsin g 37 R 日≤ r≤2Rsin 4sin日 【解3】 D:0≤8≤ 丌 ,0≤/≤ sin 8+ cos 0 1 y=1x+y= ≤日≤x、0≤r≤ sin g-cos e ≤6≤3z,0≤r≤ sin 8+ cos e 3丌 ≤e≤2m,0≤r≤ cos t- sin x-y=1 x-y