第五节隐函数的求导公式 教学目的:掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式,熟练计算隐函数 的导函数。 教学重点:由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点:隐函数的高阶导函数的计算。 教学内容 个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程 f(x,y)=0 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法来 导出隐函数的导数公式 隐函数存在定理1设函数2F(x,y)在点P(x,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0,y0)=0,,2,(x0,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(xy0)的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有 dy F 公式(2)就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导 将方程(1)所确定的函数y=J(x)代入,得恒等式 F(x,f(x)=0 其左端可以看作是x的一个复合函数,求这个函数的全导数,由于恒等式两端求导后 仍然恒等,即得 aF aF dy ax ay dx 由于F连续,且2,(x0,y0)≠0,所以存在(x0yo)的一个邻域,在这个邻域内F≠0, 于是得 F 如果F(xy)的二阶偏导数也都连续,我们可以把等式(2)两端看作x的复合函数而 再一次求导,即得 a Fr, a Fray ax F ay Fx,+F
第 五 节 隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数 的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程 =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来 导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理1 设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数， 且 ，, ，则方程 =0在点 的某一邻域内恒能 唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数 ，它满足条件 ，并有 (2) 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数 代入，得恒等式 , 其左端可以看作是 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后 仍然恒等，即得 由于 连续，且 ，所以存在(x0 ,y0 )的一个邻域，在这个邻域内 ， 于是得 如果 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作 的复合函数而 再一次求导，即得
例1验证方程x+y2-1=0在点(01)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当x=0时,y=1的隐函数y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值 解设F(x,y) F=2 则 (0)=0,B(,1)=2≠ 此由定理1可知,方程x2+y-1=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当x=0时,y=1的隐函数y=f(x) 下面求这函数的一阶和二阶导数 中yF2xx X 隐函数存在定理还可以推广到多元函数既然一个二元方程()可以确定一个一元隐函 数,那末一个三元方程 F(x,y,2)=0 就有可能确定一个二元隐函数。 与定理1一样,我们同样可以由三元函数F(x,y,2)的性质来断定由方程F(x,y,2 =0所确定的二元函数z=(xy)的存在,以及这个函数的性质。这就是下面的定理。 隐函数存在定理2设函数F(x,y,2)在点P(x,y0,20)的某一邻域内具有连续的偏导 数,且(x0,y020)=0,2(x0,y0,20)≠0,则方程P(x,y,z)=0在点()0,z0)的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z=(x,y),它满足条 件20=f(x0,y0),并有 F az a= Fr @= F (4) 这个定理我们不证与定理1类似,仅就公式(4)作如下推导 由于 F(x,y, f(x,))=0 将上式两端分别对x和y求导,应用复合函数求导法则得 Fx+Fr x=o. F,+F a 因为连续,且F2(x0)y0,20)≠0,所以存在点(x,y0,20)的一个邻域,在这个邻域内 F≠0,于是得 az Faz ak= Fs. a= F 2 例2设x2+y2+22-4z=0,求O 解设F(x,y,2)=x2+y2+2-4z,则F=2x,F1=2z-4应用公式(4,得
例1 验证方程 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当 =0时， 的隐函数 ，并求这函数的一阶和二阶导数在 =0的值。 解 设 ，则 , .因 此由定理1可知，方程 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续 导数、当 =0时， 的隐函数 。 下面求这函数的一阶和二阶导数 = ， ; = 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函 数，那末一个三元方程 ( )=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。 与定理1一样，我们同样可以由三元函数 ( )的性质来断定由方程 ( )=0所确定的二元函数 = 的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。 隐函数存在定理2 设函数 ( )在点 的某一邻域内具有连续的偏导 数，且 ， ，则方程 ( )=0在点 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条 件 ，并有 = , = . (4) 这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导. 由于 ( , )≡0, 将上式两端分别对 和 求导，应用复合函数求导法则得 + =0, + =0。 因为 连续，且 ,所以存在点 的一个邻域，在这个邻域内 ≠0，于是得 = , = 。 例2 设 ，求 解 设 ( ) = ，则 =2 , = .应用公式(4)，得
az x ax=2 再一次x对求偏导数,得 (2-z) (2-z)+ 二、方程组的情形 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而 且增加方程的个数,例如,考虑方程组 F(x,y,x,y)=0, IG(x, J,u,2)=0 这时,在四个变量中,一般只能有两个变量独立变化,因此方程组(5)就有可能确定两个 二元函数。在这种情形下,我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组(5)所确定的两 个二元函数的存在,以及它们的性质。我们有下面的定理。 隐函数存在定理3设函数P(x,y,a,)、G(x,y,,1在点20(x,y0,x0,)的某 邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又F(x0,y0,40,0)=0,G(x,y0,0,)=0,且 偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比( jacobi)式) aFaF a(F, G)ac aG J= au, v)=lau av 在点B0(x0,y0,40)不等于零,则方程组F(x,y,4,)=0,G(x,y,a,=0在点 (和0,y0,x,V)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 =a(x,y),y=v(x,y),它满足条件40=(x0,y0),1=v(x,x),并有 a(F, G)FA F, a=7(x,1)GG F2 Ex J au, x)=_y 1 a(F,G) FF d(, v) G. G
= 。 再一次 对求偏导数，得 二、方程组的情形 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而 且增加方程的个数，例如，考虑方程组 (5) 这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个 二元函数。在这种情形下，我们可以由函数 、 的性质来断定由方程组(5)所确定的两 个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。 隐函数存在定理3 设函数 、 在点 的某一 邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 ， ,且 偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式): = 在点 不等于零，则方程组 ， 在 点 的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 ，并有 (6)
F a(F, 这个定理我们不证 例3设x-y=0.m+xy=1,求x,,改和 解此题可直接利用公式(6),但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后 种方法来做。 将所给方程的两边对x求导并移项,得 x2+y2≠0 的条件下 a y 将所给方程的两边对y求导,用同样方法在J=x2+y2≠0的条件下可得 xv-yu av xu+y y2’x2 小结 本节在前面已提出隐函数概念的基础上,根据多元复合函数的求导法导出隐函 数的求导公式,给出了隐函数存在定理1、2、3,使我们能够计算有一个方程 或方程组确定的隐函数的导数
这个定理我们不证. 例3 设 ，求 , , 和 . 解 此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后 一种方法来做。 将所给方程的两边对 求导并移项，得 在 的条件下， 将所给方程的两边对 求导，用同样方法在 的条件下可得 小结： 本节在前面已提出隐函数概念的基础上，根据多元复合函数的求导法导出隐函 数的求导公式，给出了隐函数存在定理1、2、3，使我们能够计算有一个方程 或方程组确定的隐函数的导数