§10.1二重积分的概念与性质 二重积分的定义 二、二重积分的性质
§10.1 二重积分的概念与性质 一、二重积分的定义 二、二重积分的性质
二重积分的定义 1.回忆曲边梯形的面积 1)分割:a=x0<x<x<…<x2=b(4Axk=xk-xk-1) 2)近似:任取5∈x1,x则AAk≈f(5)Axk 3)求和: y=f(x) A=∑A4k≈∑f(5k)4x 4)取极限: bx A=im∑f(5)Axk其中=max(x} 1<k<n 当f(x)为杆的线密度时该极限代表杆a,b的质量m 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 1 x k x k 1 x a − y o 一、二重积分的定义 0 1 lim ( ) n k k k A f x → = = 1) 分割： a x x x x b = 0 1 2 n = 1 [ , ] k k k x x 2) 近似： 任取 − ( ) ，则 A f x k k k k 3) 求和： 1 n k k A A = = 1 ( ) n k k k f x = 4) 取极限： 1 ( ) k k k x x x = − − 1. 回忆曲边梯形的面积 y = f (x) 当f ( x) 为杆的线密度时该极限代表杆 [a, b] 的质量m
2.平面薄片的质量 有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,其面密 度为4(x,y)∈C计算该薄片的质量M 若(x,y)≡(常数),设D的面积为则 M=p·a 若(x,y)非常数,仍可用 B 分割、近似、求和、取极限 解决. 1)分割 X 用任意曲线网分D为n个小区域A1A2…,AOn 相应把薄片也分为小区域 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M = 若 非常数 , 仍可用 其面密 分割、近似、求和、取极限 解决. 1) 分割 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , , 1 2 n 相应把薄片也分为小区域 . D y x
2)近似 在每个△k中任取一点(5k21k)则第k小块的质量 △Mk≈p(k,k)AOk(k=1,2,…,n) 3)求和 M=∑Mk∑(,m)Aok 4)取极限 X 令A=max{2(△ak) (5k,7k)△ok 10 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 2) 近似 在每个 k 中任取一点 ( , ), k k 3) 求和 = n k k k k 1 ( , ) 4) 取极限 max ( ) 1 k k n = 令 → = = n k M k k k 1 0 lim ( , ) k ( , ) k k 则第 k 小块的质量 y x
定义:设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数 将区域D任意分成n个小区域Aak(k=1,2,…,m) 任取一点(5k,)∈△σk,若存在一个常数1,使 =lim2f(5k,nk)An2个 f(x,y)dσ 入->0 则称f(xy)可积,称/为f(x,y)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 f(x,do D x,y称为积分变量 积分域被积函数面积元素 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 定义: 设 f (x, y) 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 则称 f (x, y) 可积 , 称I为 f (x, y) 在D上的二重积分. x, y称为积分变量 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数
如果f(x,y)在D上可积,可用平行坐标轴的直线来划 分区域D,这时△ok= ArkAy,因此面积元素da也常 记作dxdy,二重积分记作 J,f(x,y)dxdy 定理1若函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,则 f(x,y)在D上可积 定理2若有界函数∫(x,y)在有界闭区城D上除去有 限个点或有限个光滑曲线外都连续,则f(x,y)在D上可 积 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 如果 f (x, y) 在D上可积, 也常 dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y 分区域D , 这时 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 若函数 定理2 定理1 在D上可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有
二、二重积分的性质 1D/(xy)7=kD/(x,da(k为常数 2.f(x,y)±g(x,y) D ∫D/(x)da士D(x,y)d7 ∫D f(, yodo=r f(x, do+ f(x,do D D=D1∪D2,D1,D2无公共内点) 4若在D上f(x,y)≡1,为D的面积则 a=l do=odo 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 二、二重积分的性质 D 1. k f (x, y)d ( k 为常数) = + 1 2 3. ( , )d ( , )d ( , )d D D D f x y f x y f x y = = D D 1 d d 为D 的面积, 则 = D k f (x, y)d
5若在D上f(x,y)≤q(x,y),则 ∫JD/(x,y)dasD(x,y)dσ 特别,由于-f(x,y)≤f(x,y)sf(x,y) 5./(x, y)dosSI f(x,y)do 6.设M=maxf(x,y),m=minf(x,y),D的面积为 D D 则有 mo=JJD f(x,y)da≤Mo 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 特别, 由于 − f (x, y) f (x, y) f (x, y) D f (x, y)d 则 D f (x, y) d D (x, y)d 5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , D f (x, y) d 6. 设 D 的面积为 , m f x y M D 则有 ( , )d