§10.2二重积分的计算 利用直角坐标计算二重积分 利用极坐标计算二重积分
§10.2 二重积分的计算 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
利用直角坐标计算二重积分 在直角坐标系下微元由在点(x,y)给增量(d,dhy) 产生(如图),因此面积元素为da=dxdy 故二重积分常记作 do=dx du ∫(xy)da=/(x,y)dxdy 同样,三重积分也常记作 f(x, y, z)dxdydz X 这样,平面薄片的质量可表示为m=p(x,y)dxdy 曲顶柱体的体积可表示为P=』0( x, y)dxd 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 一、利用直角坐标计算二重积分 d = dxd y 故二重积分常记作 = D D f (x, y)d f (x, y)dxd y 产生（如图）， 在直角坐标系下微元由 同样，三重积分也常记作 f (x, y,z)dxd y d z 这样，平面薄片的质量可表示为 = D m (x, y)dxd y 曲顶柱体的体积可表示为 = D V f (x, y)dxd y y O x x y 因此面积元素为
曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱体的底为x型域 f(x, y) y=92(x 1(x)≤y≤02(x) D=(x, y a<x≤b Dy=p(x) 求曲顶柱体(如图)的体积 o a x bx 按元素法当x∈a,b]时,微元[x,x+1y=(x) 对应的体积为 D dv= A(x).dx f(x, y)dy dx dx 1(x) o a x bx 故=∫ q2(x) 记作 q2(x) aOi(r) f(,y)dy dx=dx./(x,y)dy 高等数学(ZYH) 因宮可
高等数学（ZYH） 曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱体的底为x-型域 = a x b x y x D x y ( ) ( ) ( , ) 1 2 按元素法,当 故 对应的体积为 x D 求曲顶柱体(如图) 的体积V. z x y o a b ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x z = f (x, y) ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x x y o a b D x dx
二重积分的计算方法(曲顶柱体体积的计算方法具有普遍性) 若二重积分域为x型 q(x)≤y≤(2(x) D <x<b 则二重积分可化为二次积分 q1(x) q2(x) o a bx f(x, y)dxd f(x, y)d D 若二重积分域为y型 x=v2(y) v1(y) D=(xy(y)≤x≤yy D y 则二重积分可化为二次积分 v2(x) f(r, y)dxdy= dy f(r, y)dx O JUI(x) 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） y d c o x ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D y D ( ) 2 y = x ( ) 1 y = x x y o a b D x = c y d y x y D x y ( ) ( ) ( , ) 1 2 若二重积分域为x-型 二重积分的计算方法 = a x b x y x D x y ( ) ( ) ( , ) 1 2 则二重积分可化为二次积分 若二重积分域为y-型 则二重积分可化为二次积分 （曲顶柱体体积的计算方法具有普遍性）
说明:(1)若积分区域既是x-型区域又是y-型区域 则有f(xy)dxdy yy=02( D x=yI(y x=y2(y dx f(x, y)dy 1(x) D (y) y=01( d f(, y)dx y1(y) bx 为计算方便,可以选择积分次序, 必要时还可以交换积分次序 (2)若积分域较复杂,可将它分成 若干个x-型域或y-型域,则 D1 ∫=」∫+∫+∫ D 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） o x y D 说明： D f (x, y)dx d y 为计算方便, 可以选择积分次序, ( ) 2 y = x o x y D a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 ( ) 1 y = x f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1 = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1 = d c d y (2) 若积分域较复杂, D1 D2 D3 若干个x -型域或y -型域 , = + + D D1 D2 D3 则 (1) 若积分区域既是 x -型区域又是 y -型区域 , 必要时还可以交换积分次序. 可将它分成
例1计算=×yda,其中D是直线y=1,x=2,及 y=x所围的闭区域 解法1将D看作X型区城,则 ∫d3y=[x2ax x ld 8 解法2将D看作Y型区域,则 I=f dylxydx=512x2y1'dy=[l2y-2y ]dy=g 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） x y 2 1 1 y = x o 2 = 2 1 dy 例1 计算 d , = D I x y 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1 将D看作X–型区域, 则 I = 2 1 d x xyd y = 2 1 d x = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 = 1 2 2 1 x xy 解法2 将D看作Y–型区域, 则 I = xyd x 2 1 d y y x y 2 2 2 1 = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2