§11.3第二类曲面积分 第二类曲面积分的定义 二、第二类曲面积分的计算 三、第二类曲面积分的性质
§11.3 第二类曲面积分 一、第二类曲面积分的定义 二、第二类曲面积分的计算 三、第二类曲面积分的性质
第二类曲面积分的定义 曲面分两类 单侧曲面 双侧曲面 莫比鸟斯带 内侧和外侧 左侧和右侧 上侧和下侧 指定了侧的双侧曲面叫做有向曲面 其方向可用法向量n=(c0sa,cosB,cosy)反映 高等数学(ZYH) △
高等数学（ZYH） 一、第二类曲面积分的定义 • 曲面分两类 莫比乌斯带 内侧和外侧 左侧和右侧 上侧和下侧 其方向可用法向量 • 指定了侧的双侧曲面叫做有向曲面 反映 双侧曲面 单侧曲面
引例设稳定不可压缩流体的速度场为 ( P(x,y,2), Q(x,y, z),R(x,y, 2)) 求单位时间流过有向曲面的流量 AS 1)分割:任意分∑为n片小曲面 AS24S2,…,ASn 2)近似:任取(k,k25k)∈4S 则1k≈V(5k,7k,5k)(5,725k)S 3)求和:O=∑M0∑(5,n2),形(5,n,5)S 4)取极限:=lm∑7(5,m,5k),(5,D,)S 其中=mx{D(AS)} 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 引例 1) 分割：任意分Σ 为 n 片小曲面 S S Sn , , , 1 2 2) 近似：任取 k k k Sk ( , , ) 3) 求和： 4) 取极限： max ( ) 1 k k n D S 其中 = 设稳定不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . n V Sk n Sk
有向曲面面元投影的规定 设向曲面的单位法向量为=(cosa,cosB,cosy) 则对有向曲面的面元4S,定义 (4a),当cosa>0时(称为前侧) (4S)==4 Scos a=-(4),当cosa0时(称为右侧) (4S)2x= AS coS B={-(4)当cosB0时(称为上侧) (4S)=4 Scor=1-(40)当cosy<o时(称为下侧) (称为4S在xy面的投影 cosy≡0时 其中(4o)2(o)x(4)分别为4S在相应坐标面上投影的面积 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 则对有向曲面的面元△S, (S) yz = S cos = 定义 (称为△S在 yz 面的投影) ( ) , yz ( ) , − yz 0 , 当cos 0时（称为前侧） 当cos 0时（称为后侧） 当cos 0时 有向曲面面元投影的规定 (S)zx = S cos = (称为△S在 zx 面的投影) ( ) , zx ( ) , − zx 0 , 当cos 0时（称为右侧） 当cos 0时（称为左侧） 当cos 0时 (S)xy = S cos = (称为△S在 xy 面的投影) ( ) , xy ( ) , − xy 0 , 当cos 0时（称为上侧） 当cos 0时（称为下侧） 当cos 0时 其中 ( ) yz,( )zx ,( )xy 分别为△S在相应坐标面上投影的面积 设向曲面 的单位法向量为
积分定义 ∑7(5,7,5)n(5,5)AS 记作(x,y9)(x,y:ds 向量型第一类面积分 lim LP(Sk, k, sk)cos ak+o(5k, nk, 5k)cosB+R(Sk, k, Sk)cosy Sk 记作 IP(xy,=)c0+Q(x,y2)0s+R( x,y, z)cos ydS第一类面积分 lim ZlP(k, k 5k ASk)+o(5k, 7k, 5k)(Sk)-+R(Sk, k, 5k(ASk)I A→>0 记作「P(xy,)yd+Q(x,y,)dxd+R(x,y,)ddy第二类曲面积分 士m∑P[x(m25),72ko 记作 ±Px(y,),y,ydz x=x(,2 k=1 (y,z)∈D (前+后-) 士m∑Q[B,y(5k25)5k4o) 土qx,y(=,x)2dxy=y(x) )∈D (右+左-) 士mn∑[,n,=(5,n)4o ±fREx,y,=(x,y)dxd z=z(x,y) (上+下-) 二重积分(x,y)∈D 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 积分定义 = → = + + n k k k k k k k k k k k k k k P Q R S 1 0 lim ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos V(x, y,z) n (x, y,z)dS 0 + + P(x, y,z)dydz Q(x, y,z)dxdz R(x, y,z)dxdy + + P(x, y,z)cos Q(x, y,z)cos R(x, y,z)cos dS = → = + + n k k k k k yz k k k k xz k k k k xy P S Q S R S 1 0 lim ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) = → = n k k k k k k yz P x 1 0 lim ( , ), , ( ) Dyz P[x( y,z), y,z]dydz = → n k k k k k k z x Q y 1 0 lim , ( , ), ( ) Dz x Q[x, y(z, x),z]dzdx = → n k k k k k k xy R z 1 0 lim , , ( , ) ( ) Dxy R[x, y,z(x, y)]dxdy 记作 记作 记作 第二类曲面积分 记作 : x = x( y,z) Dyz ( y,z) x Dzx (z, ) : y = y(z, x) : z = z(x, y) Dxy (x, y) 第一类面积分 向量型第一类面积分 二重积分 （前+后-） （右+左-） （上+下-）