§7.6高阶线性微分方程 二阶线性微分方程举例 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构
§7.6 高阶线性微分方程 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例
二阶线性微分方程举例 例1质量为m的物体悬挂在一端固定的弹簣上, 若用手下拉物体使它离开平衡位置后放开, 物体将在弹性力、阻力及外千扰力的作用 下运动,设弹簧的弹性系数为c,阻力的大 小与运动速度成正比,方向相反,比例系数 为外干扰力F=Hmpm试建立位移x↑n L30 满足的微分方程 CX 解取平衡时(此时重力与弹力抵消) 物体位置为坐标原点,建立坐标系如图 设t时刻物体位移为x()则x满足(ma=F) F=H sn pt 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 一、二阶线性微分方程举例 例1 质量为m 的物体悬挂在一端固定的弹簧上, 物体将在弹性力、阻力及外干扰力的作用 解 若用手下拉物体使它离开平衡位置后放开, 取平衡时（此时重力与弹力抵消） 物体位置为坐标原点，建立坐标系如图. 设t 时刻物体位移为x(t).则 x 满足 下运动, 设弹簧的弹性系数为c , 阻力的大 小与运动速度成正比, 方向相反, 比例系数 (ma = F) 为μ, 外干扰力 . 试建立位移 x 满足的微分方程. F扰 = H sin pt x(t) x o cxv F扰 = H sin pt
Hsin pt-u cx tr 记2n=,h2Ch H (称n为阻尼系数,为阻力系数,c为弹性系数 则方程可化为标准形式 d d 2+2n+k x= hsin pt d t (1)无阳尼自由振动方程 +k2x=0 d t (2)有阻尼自由振动方程 dt2 +2n dr d +k2x=0 d t (3)无阻尼强迫振动方程 d-x dt2+ x=hsin pt (4)有阻尼强迫振动方程:x+2n+k2x=hsmn 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） , 2 m c 2 , k = m n 记 = (2) 有阻尼自由振动方程： k x h pt t x n t x sin d d 2 d d 2 2 2 + + = (3) 无阻尼强迫振动方程： , H m h = k x h pt t x n t x sin d d 2 d d 2 2 2 + + = (1) 无阻尼自由振动方程： （称 n为阻尼系数, μ 为阻力系数, c 为弹性系数） 则方程可化为标准形式： (4) 有阻尼强迫振动方程： 0 d d 2 2 2 + k x = t x 0 d d 2 d d 2 2 2 + + k x = t x n t x k x h pt t x sin d d 2 2 2 + =
解的叠加原理 解的叠加原理设y(x)(k=12)分别是线性方程 y"+P(x)y+Q(x)y=f(x)(k=1,2) 的解,则y=(11(x)+C2y2(x)(1,C2为任意常数) 必为下方程的解 y+P(x)y+o(x)y=Cf(x)+C2(x) 证将y=C1y(x)+C2y2(x)代入方程左边得 [C1y+C2y2]+P(x)C1y+C2y2]+g(x)C1n1+C2y2] =ClLy+P(x)y+o(x)y]+c2ly2+P(x)y2+o(x)y2l C1f1(x)+C2f2(x)
高等数学（ZYH） ( )[ ] + P x C1y1 + ( )[ ] + Q x C1y1 + 二、解的叠加原理 y (x) (k =1,2) 设 k 分别是线性方程 的解, 必为下方程的解 证 ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x +C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1y1 + 2 2 C y 2 2 C y 2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y + P x y + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 +C y + P x y + Q x y ( ) ( ) 1 1 2 2 则y = C y x +C y x 解的叠加原理 y + P(x) y +Q(x) y = f (x) (k =1,2) k ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y + P x y +Q x y =C f x +C f x ( ) ( ) 1 1 2 2 =C f x +C f x
定理1的结论称为解的叠加原理,且可推广到一般 解的叠加原理设y2(x)(k=1,2,…,m)分别是方程 +a(x)yn1)+…+an(x)y=f(x)(k=1,2,…,m) 的解则y=∑Cyk必是下方程的解 +a(x)y+…+an(x)y=∑Cf(x) 说明由叠加原理知,若η(x),y2(x)是方程 y+P(x)y+o(xy=0 的两个解,则y=C1n(x)+C2y2(x)也是该方程的解 但它并不一定是通解.为此需引入线性相关的概念 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 解的叠加原理 分别是方程 的解,则 必是下方程的解： (k =1, 2, , m) 定理1的结论称为解的叠加原理，且可推广到一般 由叠加原理知, 若 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是方程 y + P(x)y + Q(x) y = 0 的两个解, ( ) ( ) 也是该方程的解. 1 1 2 2 则y = C y x +C y x 但它并不一定是通解. 为此需引入线性相关的概念. 说明
线性方程解的结构 齐次线性方程解的结构若y,y2,…,ym是齐次方程 +a1()1 +…+an1(x)y+an(x)y=0 的n个线性无关解,则方程的通解为 y=C1y+C2y2+…+Cnyn(C为任意常数) 例如方程y+y=0有特解 y=cosx,y2=sinx,且=nx年常数 故方程的通解为 coSx+ sInx 高等数学(ZYH)
高等数学（ZYH） 例如, 方程 有特解 且 常数 故方程的通解为 齐次线性方程解的结构 是齐次方程 的 n 个线性无关解, 则方程的通解为 ( ) y = C1 y1 +C2 y2 ++Cn yn Ck 为任意常数 x y tan 2 = 1y 三、线性方程解的结构