克莱姆法则 (赵颖洁) ●教学目标与要求 通过学习,使学生了解克莱姆法则,能够利用克莱姆法则判断方程组的解,并且求出方程组的 教学重点与难点 教学重点:利用克莱姆法则求方程组的惟一解 教学难点:克莱姆法则的证明 教学方法与建议 通过增加方程组的未知数个数和所含方程的个数,由此引出问题:n个未知数n个方程的线性 方程组能否象二元线性方程组一样有公式解?何时有解? 克莱姆法则正好解答了这个问题,然后给出其证明.最后通过举例说明如何利用克莱姆法则求方 程组的解,使学生更好的理解他们的作用. 教学过程设计 1.问题的提出 引例1解方程组 x2=2 2x,=2 引例2解方程组: 4x1+2x,+5x2=4 x1+2x2 7 3x2=1 引例3解方程组 2x1-x2+x2-4x4=3 X4 3x,-3x,+x2+ 6
克莱姆法则 （赵颖洁） ⚫ 教学目标与要求 通过学习，使学生了解克莱姆法则，能够利用克莱姆法则判断方程组的解，并且求出方程组的 惟一解. ⚫ 教学重点与难点 教学重点：利用克莱姆法则求方程组的惟一解. 教学难点：克莱姆法则的证明. ⚫ 教学方法与建议 通过增加方程组的未知数个数和所含方程的个数，由此引出问题： n 个未知数 n 个方程的线性 方程组能否象二元线性方程组一样有公式解？何时有解？ 克莱姆法则正好解答了这个问题，然后给出其证明.最后通过举例说明如何利用克莱姆法则求方 程组的解，使学生更好的理解他们的作用. ⚫ 教学过程设计 1. 问题的提出 引例 1 解方程组: 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x + = − = 引例 2 解方程组： 1 2 3 1 2 1 2 3 4 2 5 4 2 7 2 3 1 x x x x x x x x + + = + = − + = 引例 3 解方程组: 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1 2 3 4 2 4 3 4 3 4 5 3 3 6 x x x x x x x x x x x x x x − + − = + − + = − − = − + + =
观察以上三个例子,已知引例1、引例2都有公式解,随着未知数个数和方程个数的增加,引 例3有公式解吗?进一步对于n个未知数n个方程的线性方程组 a,x,+a,x,+. +a,x= b 有公式解吗?如果有如何求解? 2.克莱姆( Cramer)法则 定理:若n阶线性方程组Ax=b的系数行列式D=detA≠0,则方程组有惟一解 D 其中 b2 n2J+1 分析:这个定理的结论包括两点:一是在D≠0时方程组一定有解(解的存在性),二是这个解 只能是x.=-(解的惟一性).以下就按这两点证明 证明:首先证明存在性 a b1:a1 设 6: an =0(∵F=F+) Intr 第1行中元素an的代数余子式为 nI 1,j-1 b
观察以上三个例子，已知引例 1、引例 2 都有公式解，随着未知数个数和方程个数的增加，引 例 3 有公式解吗？进一步对于 n 个未知数 n 个方程的线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ( ) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 有公式解吗？如果有如何求解？ 2. 克莱姆（Cramer）法则 定理：若 n 阶线性方程组 Ax b = 的系数行列式 D A = det 0 ，则方程组有惟一解 1 1 D x D = ， ， j j D x D = ， ， n n D x D = 其中 11 1, 1 1 1, 1 1 21 2, 1 2 2, 1 2 1 , 1 , 1 ( 1,2, , ) j j n j j n j n n j n n j nn a a b a a a a b a a D j n a a b a a − + − + − + = = . 分析：这个定理的结论包括两点：一是在 D 0 时方程组一定有解（解的存在性），二是这个解 只能是 j j D x D = （解的惟一性）. 以下就按这两点证明. 证明：首先证明存在性 设 1 1 1 1 1 11 1 1 1 ~ + = i n n nj nn i i ij i n j n i i ij i n r r b a a a b a a a b a a a b a a a D 0 ( ) = 1 = i+1 r r 第 1 行中元素 ij a 的代数余子式为 n n n j n j n n j j n j i j b a a a a b a a a a A 1 , 1 , 1 1 11 1, 1 1, 1 1 1 ( 1) ( 1) ~ − + − + + + = − ( ) 1 , 1 , 1 1 1 1, 1 1 1, 1 1 2 1 ( 1) ( 1) j n n j n n j nn j j n j j D a a b a a a a b a a = − − = − − + − + + −
将D按第1行展开可得 bD+a1(-D)+…+a2(-D)+…+an(-D")=0 因为D≠0,所以 Du D n 故方程组有解x O(=1,2,…,n) 其次证明解的惟一性 设方程组还有解x1,x2 则 a xD a1(a1x+…+a1x a, an1x1+…+anx;+…+a baH1…an 同理可得x,D=D 于是xD=xD→x=x1(=12,…m) 3.举例 例1解线性方程组: x2+x x1+x2=x3+x4 +x4=6 解:D-1+201-370:方程组有解 030
将 D ~ 按第 1 行展开可得 ( ) ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) + 1 − + + − + + − = n in j biD ai D aij D a D 因为 D 0, 所以 1 1 ( 1,2, , ) j n i ij in i D D D a a a b i n D D D + + + + = = 故方程组有解 ( 1,2, , ) j j D x j n D = = 其次证明解的惟一性 设方程组还有解 * * 2 * 1 , , , n x x x , 则 x jD = * n n j nj j n j n n j j j j n a a a x a a a a a x a a , 1 * 1 , 1 1, 1 1 * 11 1, 1 1 − + − + n n j n n j j n n n n j n n j j j n n j n a a a x a x a x a a a a a x a x a x a a , 1 * * * 1 , 1 1 1 1, 1 1 * 1 * 1 * 1 1 1, 1 1 1 1 ( ) ( ) − + − + + + + + + + + + = 11 1, 1 1 1, 1 1 1 , 1 , 1 j j n j n n j n n j nn a a b a a D a a b a a − + − + = = 同理可得 j j x D D= 于是 j j j j x D = x D x = x * * ( j = 1,2, ,n) 3. 举例 例 1 解线性方程组： 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 1 2 3 4 2 4 3 4 3 4 5 3 3 6 x x x x x x x x x x x x x x − + − = + − + = − − = − + + = 解： 2 1 1 4 1 4 2 0 37 0 0 3 0 4 3 3 1 1 D − − − = = − − − 方程组有惟一解
530-4|=-148D2=|1-420 111, 050一 6-311 D 74,D, 035-4 3-361 因此由克莱姆法则得:x1 D D2=3,x3=D =2,x4-D 例2解线性方程组: x1-x2+x2+2x4=0 x1+x2-x3+x4 5x1=5 x1-x2+x3+ 解: 方程组有惟一解 3215 52 9,D2 1-102 D=3 27,D 3215 因此由克莱姆法则得:2 D X= D X4
又 1 3 1 1 4 4 4 2 0 148 5 3 0 4 6 3 1 1 D − − − − = = − − − , 2 2 3 1 4 1 4 2 0 111 0 5 0 4 3 6 1 1 D − − = = − − ， 3 2 1 3 4 1 4 4 0 74 0 3 5 4 3 3 6 1 D − − − − = = − − − , 4 2 1 1 3 1 4 2 4 37 0 3 0 5 3 3 1 6 D − − − = = − − 因此由克莱姆法则得： 1 1 4 D x D = = , 2 2 3 D x D = = , 3 3 2 D x D = = , 4 4 1 D x D = = 例 2 解线性方程组： 解： 1 1 1 2 2 1 1 1 9 0 3 2 1 5 1 1 1 1 D − − = = − − 方程组有惟一解 又 1 0 1 1 2 0 1 1 1 9 5 2 1 5 1 1 1 1 D − − = = − − , 2 1 0 1 2 2 0 1 1 18 3 5 1 5 1 1 1 1 D − = = − − ， 3 1 1 0 2 2 1 0 1 27 3 2 5 5 1 1 1 1 D − = = −−− , 4 1 1 1 0 2 1 1 0 9 3 2 1 5 1 1 1 1 D − − = = − − − − 因此由克莱姆法则得： 1 1 1 D x D = = , 2 2 2 D x D = = , 3 3 3 D x D = = , 4 4 1 D x D = = − 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 0 2 0 3 2 5 5 1 x x x x x x x x x x x x x x x x − + + = + − + = + + + = − − + + = −
