西安建筑科技大学：《线性代数》课程教学设计_克莱姆法则

矩阵及基本运算 (杜丽英) 教学目标与要求 使学生理解矩阵的概念。熟练掌握矩阵加法、数乘、乘法及逆矩阵的定义及它们满足的 算算律 ●教学重点与难点 教学重点:矩阵的乘法运算;逆矩阵定义 教学难点:矩阵的乘法。 ●教学方法与建议 在引入矩阵的概念时,通过几个引例说明矩阵在生产实践和日常生活中有广泛的应用 在讲矩阵的基本运算时使学生看到,有些运算与数的运算一致,有些则不然 用学生熟悉的变量替换引入矩阵的乘法会使其定义更直观,便于学生理解,对于矩阵乘 法不满足交换律、消去律除举例说明外,还需进一步说明有些幂指算律不成立,有零因子等。 ●教学过程设计 1.矩阵概念的引入 x,+a,x,+…+a,x=b, 引例1:线性方程组{anx1+a2x2+…+a2x,=b2 amK,+amx+.+ammxn=b 的解取决于系数an(i=1,2,…,mj=1,2,…,m)和常数项b(i=1,2,…,m),线性方程组的 系数和常数按原位置可排为一个数表a2nan bb… 引例2:某航空公司在A,B,C,D四个城市之间开辟了若干条航线,如图所示表示了 四个城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接AB

矩阵及基本运算 ( 杜丽英 ) ⚫ 教学目标与要求 使学生理解矩阵的概念。熟练掌握矩阵加法、数乘、乘法及逆矩阵的定义及它们满足的 运算算律。 ⚫ 教学重点与难点 教学重点：矩阵的乘法运算；逆矩阵定义。 教学难点：矩阵的乘法。 ⚫ 教学方法与建议 在引入矩阵的概念时，通过几个引例说明矩阵在生产实践和日常生活中有广泛的应用。 在讲矩阵的基本运算时使学生看到，有些运算与数的运算一致，有些则不然。 用学生熟悉的变量替换引入矩阵的乘法会使其定义更直观，便于学生理解，对于矩阵乘 法不满足交换律、消去律除举例说明外，还需进一步说明有些幂指算律不成立，有零因子等。 ⚫ 教学过程设计 1. 矩阵概念的引入 引例 1：线性方程组      + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 的解取决于系数 a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) i j =  =  和常数项 b (i 1,2, ,m) i =  ，线性方程组的 系数和常数按原位置可排为一个数表             m m mn m n n a a a b a a a b a a a b         1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 引例 2：某航空公司在 A，B，C，D 四个城市之间开辟了若干条航线，如图所示表示了 四个城市间的航班图，如果从 A 到 B 有航班，则用带箭头的线连接 AB， 某航空公司在 A,B,C,D 四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示 了四城市间的航班图,如果从 A 到 B 有 A B C D

四个城市间的航班图情况也可用表格来表示,其中1表示有航班,0表示没有航班 D D 0 0 0 引例3:甲、乙两人玩石头、剪子、布游戏,下面的表格反映甲的赢得情况,其中甲胜得1 甲输得-1:两人相同为 石头 剪子 布 石头 0 2.矩阵的定义 (1)定义1:由mm个数an(i=1,2,…,m;j=1,2,…,m)排成m行n列的数表 用括号将其括起来,称为m×n矩阵,并用大写字母表示,即 简记为A=(a4)=m ①a称为A的i行j列元素④m=n称A为方阵 ②a∈R称A为实矩阵 ⑤m=1,n>1称A为行矩阵或行向量 ③a∈C称A为复矩阵 ⑥m>1,n=1称A为列矩阵或列向量 (2)几个特殊矩阵 零矩阵:所有元素都是0的矩阵.即0 0 0 单位矩阵E,=910:数量矩阵kEn=9k

甲 乙 四个城市间的航班图情况也可用表格来表示，其中 1 表示有航班，0 表示没有航班。某航 空公司在 A,B,C,D 四城市 之间开辟了若 干航线 ,如图所 示表示了四城 市间的航班图 ,引例 3：甲、乙两人玩石头、剪子、布游戏，下面的表格反映甲的赢得情况，其中甲胜得 1； 甲输得 –1；两人相同为 0。 2. 矩阵的定义 (1)定义 1：由 mn 个数 a (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n) ij =  =  排成 m 行 n 列的数表 m m mn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 用括号将其括起来, 称为 m n 矩阵, 并用大写字母表示, 即           = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 , 简记为 A = aij mn ( ) . ① ij a 称为 A 的 i 行 j 列元素 ④ m = n 称 A 为方阵 ② aij R 称 A 为实矩阵 ⑤ m = 1, n  1 称 A 为行矩阵或行向量 ③ aij C 称 A 为复矩阵 ⑥ m  1, n = 1 称 A 为列矩阵或列向量 (2)几个特殊矩阵 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵. 即           = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0        单位矩阵           = 0 0 1 0 1 0 1 0 0        En ；数量矩阵           = k k k kEn        0 0 0 0 0 0 A B C D A 0 1 1 0 B 1 0 1 0 C 1 0 0 1 D 0 1 0 0 石头 剪子 布 石头 0 1 -1 剪子 -1 0 1 布 1 -1 0

对角矩阵A= λ2 00 λn 上三角形矩阵A a2n:下三角形矩阵A 例1:设变量y1,y2,…,yn可由变量x,x2…,xn表示为 V1=ur1++.+aunt y2=a21x1+a222+……+a2nCn 称之为由变量x,x2,…,xn到变量y,y2…,ym的线性变换,它与矩阵A=(a)m是 对应的 3.矩阵的基本运算 定义同型矩阵:指行数相等、列数相等的矩阵 矩阵相等:设A=(a)mn,B=(b)mm, 若a=b(i=12,…,m;j=1,2,…,m),称A=B (1)线性运算:A=(an)m,B=(b,)mm 加法:A+B=(a4+b)mm kau k 数乘:kA=(kan)mn 负矩阵:-A=(-1)4=(-an)mn b 减法:A-B=(an-b 算律:设A,B,C为同阶矩阵,k,为常数,则有 ①A+B=B+A ⑤1A=A ②(A+B)+C=A+(B+C)⑥(kD)A=k(l4) ⑦(k+l)A=kA+lA ④A+(-4)= ⑧k(A+B)=kA+kB 例2设A B 满足2A+X=B-2X,求X B-2A 222 (2)矩阵乘法 引入:设有两个线性变换 y1=a11+a121x2+a133 y2=a211+a212+a2yx

对角矩阵           =  n          0 0 0 0 0 0 2 1  上三角形矩阵           = nn n n n a a a a a a A        0 0 0 22 2 11 12 1 ；下三角形矩阵           = n n nn n a a a a a a A        1 2 21 22 11 0 0 0 例 1： 设变量 m y , y , , y 1 2  可由变量 x x xn , , , 1 2  表示为      = + + + = + + + = + + + m m m mn n n n n n y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x     1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 称之为由变量 x x xn , , , 1 2  到变量 m y , y , , y 1 2  的线性变换, 它与矩阵 A = aij mn ( ) 是一一 对应的． 3. 矩阵的基本运算 定义 同型矩阵：指行数相等、列数相等的矩阵． 矩阵相等：设 A = aij mn ( ) , B = bij mn ( ) , 若 aij = bij (i = 1,2,  ,m; j = 1,2,  ,n), 称 A = B . （1）线性运算： A = aij mn ( ) , B = bij mn ( ) 加法：         + + + + + = +  = m m mn mn n n ij ij m n a b a b a b a b A B a b     1 1 11 11 1 1 ( ) 数乘：         =  = m mn n ij m n k a k a k a k a kA k a     1 11 1 ( ) 负矩阵： − A = − A = −aij mn ( 1 ) ( ) 减法：         − − − − − = −  = m m mn mn n n ij ij m n a b a b a b a b A B a b     1 1 11 11 1 1 ( ) 算律：设 A, B, C 为同阶矩阵, k, l 为常数, 则有 ① A+ B = B + A ⑤ 1A = A ② (A+ B) + C = A+ (B + C) ⑥ (kl)A = k(l A) ③ A + O = A ⑦ (k + l)A = kA+ lA ④ A+ (−A) = O ⑧ k(A+ B) = kA+ kB 例 2 设     − = 4 3 5 1 2 0 A ,     = 5 3 4 8 2 6 B 满足 2A+ X = B − 2X , 求 X ． 解     − − − = − = 1 1 1 2 2 2 ( 2 ) 3 1 X B A （2） 矩阵乘法： 引入：设有两个线性变换    = + + = + + 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 y a x a x a x y a x a x a x （Ⅰ）

b,t,+ (Ⅱ) b3f1+ bbb 2f2 若想求出从t1,t2到y1,y2的线性变换,需将(Ⅱ)代入(I),整理得 y1=(a1b1+a12b21+a13b31M1+(a1b12+a12b2+a3b (ⅢI) b21+a23b3)t1+(a21b2+a2b2+a23b2 分别比较(I)、(Ⅲ)、(Ⅲ)式的矩阵 A B=lb. b a1b1+a12b21+a13b31a1b12+a12b2+a13b2 b1+a23b31a2b2+a2b2 线性变换(Ⅲ)称为线性变换(Ⅰ)与(Ⅱ)的乘积,相应的矩阵C称为矩阵A与B的乘 积,即C=AB,或 bu bur 11+a1b a, anbm+anbn+aba 2b2+a2b2 定义:设A=(an)m,B=(b)m AB 其中元素cn=lna2 13=a,b,,+a,b ··+a (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) [注]A的列数=B的行数 AB的行数=A的行数;AB的列数=B的列数 A与B的先后次序不能改变 q 则PQ=P1q1+p2q2+…+Pnqn 41P1 11p, qiN QP4,P192P2 g2P qnP, np qnP. 例4A=0-3,B=0: 0:1:-1 AB=0630 [注]BA无意义 例5A 2 B B4= 00 [注]AB≠BA;A≠,B≠O,但是BA=O

    = + = + = + 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 x b t b t x b t b t x b t b t （Ⅱ） 若想求出从 1 2 t , t 到 1 2 y , y 的线性变换，需将（Ⅱ）代入（Ⅰ），整理得    = + + + + + = + + + + + 2 21 11 22 21 23 31 1 21 12 22 22 23 32 2 1 11 11 12 21 13 31 1 11 12 12 22 13 32 2 ( ) ( ) ( ) ( ) y a b a b a b t a b a b a b t y a b a b a b t a b a b a b t （Ⅲ） 分别比较（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）式的矩阵       = 21 22 23 11 12 13 a a a a a a A ，           = 31 32 21 22 11 12 b b b b b b B ，       + + + + + + + + = 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b C 线性变换（Ⅲ）称为线性变换（Ⅰ）与（Ⅱ）的乘积，相应的矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘 积，即 C=AB，或       21 22 23 11 12 13 a a a a a a           31 32 21 22 11 12 b b b b b b =       + + + + + + + + 21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32 11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 定义：设 A = aij ms ( ) , B = bij sn ( )         = m ms s a a a a AB     1  11 1         s sn n b b b b     1 11 1         = m mn n c c c c     1 11 1 其中元素   ij ai ai ais c = 1 2              sj j j b b b  2 1 = ai1b1 j + ai 2b2 j ++ aisbsj (i =1,2,  ,m; j =1,2,  ,n) [注] A 的列数 = B 的行数。 AB 的行数 = A 的行数； AB 的列数 = B 的列数． A 与 B 的先后次序不能改变． 例3 设   P1n = p1 p2  pn ,            = n n q q q Q  2 1 1 则 PQ= p1q1 + p2q2 ++ pnqn             = n n n n n n q p q p q p q p q p q p q p q p q p QP        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 例 4         − = 1 0 0 3 3 1 A ,     − = 0 2 1 0 1 0 1 1 B ,         − − − = 1 0 1 1 0 6 3 0 3 2 2 3 AB [注] BA 无意义． 例 5     = 1 2 1 2 A ,     − − = 1 1 1 1 B     − − = 1 1 1 1 AB ,     = 0 0 0 0 BA [注] AB  BA ； A  O , B  O , 但是 BA = O ．

算律:①结合律:(An,B,n)Cn=A(BC) ②分配律:An,(B,n+Cmn)=AB+AC AC + BC k(A B)=(kA)B=A(kB) LA=A, AI=A b 应用:设A b 线性方程组的矩阵形式Ax=b 线性变换的矩阵形式y=Ax (3)方阵的幂:Ann,k,l为正整数,A=A,A=AA(k=1,2,) 算律:①AA=AH1 注]一般(AB)≠AB 例6A 求A(k=23,…) 02 102101103 43=A2A 10k 可以验证:A (4)逆矩阵 定义:对于A,若有B满足AB=BA=I,则称A为可逆矩阵,并把B称为A的逆 矩阵 性质:①若A为可逆矩阵,则A的逆矩阵唯一.并且记A的逆为A ②(A4)2=A ③k≠0,则(kA)k ④A与B都可逆,则AB可逆,且(AB)=BA. 一般有( )=An1…42A 规定:A可逆,定义A°=I,A=(4)(k=1,2,),则有 AA=A,(4)=A*1(k,l为整数 010 001 例7验证:A=001与B=100互为逆矩阵 100 010 010(001)(100 解:由于AB=001100=010 100八010(001

算律： ① 结合律: (A B )C A(BC) ms sn nl = ② 分配律: A ms (B sn + Csn ) = AB + AC (A ms + B ms )Csn = AC + BC ③ k(A B ) (kA)B A(kB) ms sn = = ④ I m A mn = A, A mn I n = A 应用：设           = m m mn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ,           = xn x x x  2 1 ,           = bm b b b  2 1 ,           = m y y y y  2 1 线性方程组的矩阵形式 Ax = b 线性变换的矩阵形式 y = Ax （3）方阵的幂： A nn , k , l 为正整数， A = A 1 , ( 1,2, ) A k+1 = A k A k =  算律： ① k l k l A A A + = ② k l k l (A ) = A [注] 一般 k k k (AB)  A B 例 6         = 1 2 0 1 0 1 A , 求 A (k = 2,3, ) k ． 解：         =                 = 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 1 2 2 A         =                 = = 1 2 0 1 0 3 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 2 3 2 2 3 A A A 可以验证：         = 1 2 0 1 0 k k k A （4）逆矩阵 定义：对于 A nn , 若有 B nn 满足 AB = BA= I , 则称 A 为可逆矩阵, 并把 B 称为 A 的逆 矩阵。(或 性质：① 若 A 为可逆矩阵, 则 A 的逆矩阵唯一．并且记 A 的逆为 −1 A ② A = A −1 −1 ( ) ． ③ k  0 , 则 1 1 1 ( ) − − = A k kA ． ④ A 与 B 都可逆，则 AB 可逆, 且 1 1 1 ( ) − − − AB = B A ． 一般有 1 1 1 2 1 1 1 2 ( ) − − − − A A A n = A n A A 规定： A 可逆, 定义 A = I 0 , ( ) ( 1,2, ) A −k = A −1 k k =  , 则有 k l k l A A A + = , k l k l (A ) = A ( k , l 为整数) 例 7 验证：         = 1 0 0 0 0 1 0 1 0 A 与         = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 B 互为逆矩阵 解： 由于         =                 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 AB

BA 00001 10八(100 100 那么A与B互逆 例8求解方程组Ax=b,其中 A=0 100 001 解:由例7知,A1=100 010 0 001 1(1)(0 即方程组的解为x1=0,x2=x3=1 例9设方阵A与B满足A+B=AB,试证A-I可逆。 证:由A+B=AB,有AB-A=B,即A(B-D)=B A(B-D)-I=B-I E A(B-D)-(B-D)=I 于是(A-D)(B-D)=则A-I可逆,且(A-D)=B- 例10证明当a-be≠0时,A=(a自可逆,并且A d-b ad-bc 那么,BA 0 ad-bc 同理AB=I,因此A可逆,并且A d -b ad-bcc a 应用:(1)n阶线性方程组求解Ax=b,若A可逆,则x=Ab (2)求线性变换的逆变换y=Ax,若A可逆,x=A"y (3)矩阵方程求解设An可逆,Bnn可逆,且Cmn已知,则 AX=C→X=A-C XB=C→X=CB- AXB=C→X=A-CB

        =                 = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 BA 那么 A 与 B 互逆 例 8 求解方程组 Ax = b ，其中 解：由例 7 知，         = − 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 A 于是         =                 = = − 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 x A b 即方程组的解为 x1 = 0, x2 = x3 = 1 例 9 设方阵 A 与 B 满足 A+ B = AB ，试证 A − I 可逆。 证：由 A+ B = AB ，有 AB − A= B ，即 A(B − I) = B A(B − I) − I = B − I 或 A(B − I) − (B − I) = I 于是 (A− I)(B − I) = I 则 A − I 可逆，且 A− I = B − I −1 ( ) 例 10 证明当 ad − bc  0 时，       = c d a b A 可逆，并且       − − − = − c a d b ad bc A 1 1 证： 因 ad − bc  0 ，令       − − − = c a d b ad bc B 1 那么， I a d bc a d bc a d bc c d a b c a d b a d bc BA  =      − − −  =            − − − = 0 1 1 0 同理 AB = I ，因此 A 可逆，并且       − − − = − c a d b ad bc A 1 1 应用： (1) n 阶线性方程组求解 A nn x = b ， 若 A 可逆，则 x A b −1 = (2) 求线性变换的逆变换 y = A nn x ， 若 A 可逆， x A y −1 = (3) 矩阵方程求解 设 A nn 可逆, B nn 可逆, 且 C mn 已知, 则 AX = C X A C −1  = XB = C −1  X = CB AXB = C −1 −1  X = A CB         =           =         = 0 1 1 , , 1 0 0 0 0 1 0 1 0 3 2 1 b x x x A x