行列式的定义及性质 张俊敏 ●教学目标与要求 通过学习,使学生理解n阶行列式的定义,熟练掌握二、三阶行列式性质,能运用 性质求行列式的值 教学重点与难点 教学重点:n阶行列式的定义及性质 教学难点:n阶行列式定义的理解 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式,了解行列式及其应用,在此基础上引 出一般意义上的n阶行列式定义。要特别指出:行列式是一种运算,其结果是一个数 其意义在于在由数组成的形式(方阵)与数域之间建立了一种联系,使得我们可以通过 数来研究形式的东西,同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 引出 二阶、三阶行列式 (二元线性方程组a1x+mx2=b anx1+a2=b,当an42-a1241≠0时,可用消元法求得解为: b. a b , b2 21a2
行列式的定义及性质 （张俊敏） ⚫ 教学目标与要求 通过学习，使学生理解 n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用 性质求行列式的值。 ⚫ 教学重点与难点 教学重点：n 阶行列式的定义及性质。 教学难点：n 阶行列式定义的理解。 ⚫ 教学方法与建议 通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引 出一般意义上的 n 阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数； 其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过 数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。 ⚫ 教学过程设计 1.问题的提出 求解二、三元线性方程组 （二元线性方程组 + = + = 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 a x a x b a x a x b ，当 a11a22 − a12a21 0 时，可用消元法求得解为： 21 22 11 12 2 22 1 12 11 22 12 21 1 22 12 2 1 a a a a b a b a a a a a b a a b x = − − = 引出 二阶、三阶行列式
b )二阶与三阶行列式 b2 a2 1.二阶行列式:(回顾高中时的二阶与三阶行列式) 2.方多%3/=a1a2-a2a1,其中A为方程组的系数矩阵。 det(a) n22a2 a22a2 +a1 a31 (32 a3 注:(1)这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算 出来也是一个数。 (2)三阶行列式也是方形矩阵上定义的一种运算。 2.n阶行列式的定义 a22a23 23 an? a n阶行列式中去掉元素an所在行所在列的元素后,得到的n-1阶行列式叫做a 的余子式,记作Mn,即M2(4 +1,J+1 并称D=(-)M为a的代数余子式。引入这两个记号则可将(24)式简记为 det=a1M1-a2M2+…+(-1)anMn=∑(-1)a1kMk (2.5)
2 22 11 12 21 22 11 1 11 22 12 21 11 2 1 21 2 b a a a a a a b a a a a a b b a x = − − = ）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式） 11 12 11 22 12 21 21 22 det( ) a a A a a a a a a = = − ，其中 A 为方程组的系数矩阵。 2. 三阶行列式： 31 32 21 22 13 31 33 21 23 12 32 33 22 23 11 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − + 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。三阶行列式算 出来也是一个数。 (2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。 2. n 阶行列式的定义： 11 12 1 22 23 2 21 23 2 21 22 2 11 12 2 3 1 3 1 2 21 22 2, 1 1 1 1 2 , 1 ( 1) n n n n n n nn n n nn n n nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a − + − = = − + + − n 阶行列式中去掉元素 ij a 所在行所在列的元素后，得到的 n−1 阶行列式叫做 ij a 的余子式，记作 Mij ，即 11 1, 1 1, 1 1 1,1 1, 1 1, 1 1, 1,1 1, 1 1, 1 1, 1 , 1 , 1 j j n i i j i j n n ij i i j i j i n n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a a a a a − + − − − − + − + + − + + + − + = 并称 ( 1)i j D M ij ij + = − 为 ij a 的代数余子式。引入这两个记号则可将(2.4)式简记为 1 1 11 11 12 12 1 1 1 1 1 det ( 1) ( 1) k n n n n k k k A a M a M a M a M + + = = − + + − = − （2.5）
或detA=a1D1+ a1212+…+anD (2.6) 式(2.4)(2.5)和(2.6)统称为n阶行列式按第一行的展开式。 注:1记阶行列式a|=a,但注意不要将其与绝对值概念混淆 2一些特殊的行列式(下三角行列式,上三角行列式,对角型行列式) 0 41 其中一类很好求值的行列式一一上三角行列式 例 0 (1) (2) =42… 3行列式的性质 行列式运算从本质上讲,是由数组成的一种形式上定义的运算,但随着形式的改变, 行列式的值有那些变化呢?下面性质就解决了这些问题 性质1行列式与它的转置行列式相等。 注性质1表明行列式中行与列具有同等的地位,也就是说:行列式对行成立的性质 对列也同样成立,反之亦然 性质2互换行列式的两行(列),行列式变号 推论若行列式中有两行元素完全相同,则行列式为零 性质3用数k乘行列式某一行中所有元素,等于用数k乘此行列式。 换句话叙述此性质即是 推论某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。 性质4若行列式中有两行元素对应成比例,则行列式为零 性质5若行列式某行的元素是两数之和,则行列式可拆成两个行列式的和
或 11 11 12 12 1 1 1 1 1 det n n n k k k A a D a D a D a D = = + + + = （2.6） 式（2.4）（2.5）和（2.6）统称为 n 阶行列式按第一行的展开式。 注：1 记一阶行列式 a a = ，但注意不要将其与绝对值概念混淆。 2 一些特殊的行列式（下三角行列式，上三角行列式，对角型行列式） n n nn a a a a a a 1 2 21 22 11 0 0 0 nn n n a a a a a a 0 0 0 22 2 11 12 1 n 2 1 n 2 1 其中一类很好求值的行列式——上三角行列式。 例 1 （1） 11 22 21 22 11 11 22 2 1 2 0 0 0 nn n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a = = = （2） 1 2 1 2 n n = 3.行列式的性质 行列式运算从本质上讲，是由数组成的一种形式上定义的运算，但随着形式的改变， 行列式的值有那些变化呢？下面性质就解决了这些问题。 性质 1 行列式与它的转置行列式相等。 注 性质 1 表明行列式中行与列具有同等的地位，也就是说：行列式对行成立的性质， 对列也同样成立，反之亦然。 性质 2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。 推论 若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。 性质 3 用数 k 乘行列式某一行中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 换句话叙述此性质即是 推论 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。 性质 4 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。 性质 5 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和
性质6行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍,则行列式的值不变。 注性质2、性质3、性质6对应行列式的三种运算,复杂行列式运算均可通过这 三种运算的组合运算化为简单行列式运算,然后利用简单行列式(如例21)的结果算出 复杂行列式的值 2三种运算分别记为 ①互换j两行(列):分r(c分c) 性质2: 2第行(列)提取公因数k×是(c1× 性质3的推 ③将第j行(列的k倍加到第i行(列)上去:r+k,(c+kc)一—性质6 举例 例2计算D=/aa+ba+b+ca+b+c+d a 2a+b 3a+26+c 4a+36+2c+d b 6a+36+c 10a+66+3c+d A-ho aa+b a+b+cr-o aa+b a+b+ -n0a2a+b3a+2b+ch-200 a+b b ra-B0 aa+b a+b+d 00a +b 000 a 注1注意运算中次序有时不能颠倒还要注意运算+(加到第/行上去与+F 的区别 2算法不是唯一的,如也可有解法二
性质 6 行列式某一行元素加上另一行对应元素的 k 倍，则行列式的值不变。 注 性质 2、性质 3、性质 6 对应行列式的三种运算，复杂行列式运算均可通过这 三种运算的组合运算化为简单行列式运算，然后利用简单行列式（如例 2.1）的结果算出 复杂行列式的值。 2.三种运算分别记为： ① 互换 i、j 两行(列)： ( ) i j i j r r c c ———— 性质 2； ② 第 i 行(列)提取公因数 k： ) 1 ( 1 k c k ri i ———— 性质 3 的推论； ③ 将第 j 行(列)的 k 倍加到第 i 行(列)上去： ( ) i j i j r + kr c + kc ————性质 6 4.举例 例 2 计算 a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a a b a b c a b c d a b c d D + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 3 6 3 10 6 3 2 3 2 4 3 2 . 解一： a a b a b c a a b a b c a a b a b c a b c d D r r r r r r + + + + + + + + + ===== − − − 0 3 6 3 0 2 3 2 3 2 0 4 3 2 1 a a b a a b a a b a b c a b c d r r r r + + + + + ===== − − 0 0 3 0 0 2 4 3 0 3 2 4 0 0 0 0 0 2 0 4 3 a a a a b a a b a b c a b c d r r = + + + + ===== − . 注 1 注意运算中次序有时不能颠倒；还要注意运算 i j r r + (加到第 i 行上去)与 j i r + r 的区别。 2 算法不是唯一的，如也可有解法二： 解二：
+b+ 3a+2b4a+3b+2c4 0 a atb a+b+ 例3设D D=det(ay) D2=det(bi)= b 证明:(分析:对D1作行运算,相当于对D的前k行作相同的行运算,且D的后n行 不变;对D2作列运算,相当于对D的后n列作相同的列运算,且D的前k列不变。) 对D1作适当的运算r+kr,可将D1化为下三角形:同理作适当的列运算 c+kc;,可将D2化为下三角形,分别设为 P1 0 D, PuPA 故对D的前k行作上述行运算,和对D的后n列作上述列运算后,D可化为 D P1…pkq1…qm=D1D2 qn……q, 注这个例题有很深刻的意义:行列式可进行某种分块运算,且关于块的运算同于行 列式的运算
2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 2 3 3 4 0 0 0 0 2 2 3 2 4 3 2 0 0 0 0 3 7 3 3 6 3 10 6 3 0 0 2 0 0 0 0 r r r r r r r r r r r r a b c d a b c d a a b a b c a b c a a b D a a b a b c a b a a a b a b c a a b a b c d a a b abc a a b a a − − − − − − + + + + + + ===== ====== + + + + + + + + + + + ===== = + . 例 3 设 n nn n n nk k k kk k b b b b c c c c a a a a D 1 11 1 1 11 1 1 11 1 0 = ， k kk k ij a a a a D a 1 11 1 1 = det( ) = ， n nn n ij b b b b D b 1 11 1 2 = det( ) = ， 证明: D = D1D2 . 证明： (分析：对 D1 作行运算，相当于对 D 的前 k 行作相同的行运算，且 D 的后 n 行 不变；对 D2 作列运算，相当于对 D 的后 n 列作相同的列运算，且 D 的前 k 列不变。) ∵ 对 D1 作适当的运算 i j r + kr ，可将 D1 化为下三角形；同理作适当的列运算 i j c + kc ，可将 D2 化为下三角形，分别设为 kk k kk p p p p p D 11 1 11 1 0 = = = ， nn n nn q q q q q D 11 1 11 2 0 = = ， 故对 D 的前 k 行作上述行运算，和对 D 的后 n 列作上述列运算后，D 可化为 11 11 1 2 1 11 1 11 1 1 11 0 p p q q D D q q q c c c c p p p D kk nn n nk n nn k k kk = = = 注 这个例题有很深刻的意义：行列式可进行某种分块运算，且关于块的运算同于行 列式的运算
