线性方程组的相容性定理 (项晶菁宫春梅 教学目标与要求 通过学习,使学生进一步掌握高斯消元法解线性方程组,掌握线性方程组的相容性定理 ●教学重点与难点 教学重点:线性方程组的相容性定理 教学难点:线性方程组的相容性定理的推导。 ●教学方法与建议 本节首先通过回顾高斯消元法、初等变换等概念并具体应用高斯消元法的例子使得线性 方程组的相容性定理的引入变得自然而易于接受。 ●教学过程设计 1.高斯消元法 设一般线性方程组为 b Jarr + ax b2 ax1+ax十 则称矩阵 12 a1 为方程组(1)的系数矩阵。 b 称矩阵B=(4,) b2
线性方程组的相容性定理 （项晶菁 宫春梅） ⚫ 教学目标与要求 通过学习，使学生进一步掌握高斯消元法解线性方程组，掌握线性方程组的相容性定理。 ⚫ 教学重点与难点 教学重点：线性方程组的相容性定理。 教学难点：线性方程组的相容性定理的推导。 ⚫ 教学方法与建议 本节首先通过回顾高斯消元法、初等变换等概念并具体应用高斯消元法的例子使得线性 方程组的相容性定理的引入变得自然而易于接受。 ⚫ 教学过程设计 1. 高斯消元法 设一般线性方程组为 则称矩阵 为方程组(1)的系数矩阵。 称矩阵 ( ) = = m m mn m n n a a a b a a a b a a a b B A,b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a =
为方程组(1)的增广矩阵, 当b=0(=1,2,…,m)时齐次方程组 a211+a21X2+ ( inn 十an,x十 +ax.=0 称为方程组(1)的导出组,或称为(1)对应的齐次线性方程组 定义:线性方程组的初等变换 (1)用一非零的数乘某一方程 (2)把一个方程的倍数加到另一个方程 (3)互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换,所得到的新的线性方程组与原方程组同解, 对一个方程组进行初等变换,实际上就是对它的增广矩阵做初等行变换 B=(4,b) b 化为行阶梯 00 r,r+1 00 0 0 t 00 00 00 0
为方程组(1)的增广矩阵。 当 b (i , , ,m) i = 0 = 1 2 时,齐次方程组 称为方程组（1）的导出组，或称为（1）对应的齐次线性方程组。 定义：线性方程组的初等变换 （1） 用一非零的数乘某一方程; （2） 把一个方程的倍数加到另一个方程; （3） 互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解， 对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵做初等行变换 ( ) = = m m mn m n n a a a b a a a b a a a b B A,b 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 11 12 1 1, 1 1 1 22 1 2, 1 2 2 , 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r n r r n rr r r rn r r s s s s s t s s s s t s s s t t + + + + ⎯⎯⎯⎯→ 化为行阶梯 矩阵 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 (2) 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + =
,r+1 C1 01…0 酱00…1cm 00.00 0 00.0 0 00 00.00 00 则以矩阵(3)为增广矩阵的方程组与方程组(1)同解 由矩阵(3)可讨论方程组(1)的解的情况 1)若d,+1≠0,则方程组无解 2)若d+1=0,则方程组有解, H有唯一解; r<n有无穷解 3)特别地,方程组(1)的导出组,即对应的齐次线性方程组一定有解。 当 n有唯一零解 r<n有无穷多解,即有非零解 举例说明消元法具体步骤: 2x, x,+3 例:解线性方程组14x1 5 2 解 (4,b) 25 0 00-12 000 最后一行有0x3=1,可知方程组无解。 2x,+3x3-4x1=1 例2:解线性方程组 x,+3x,-3x,=1 7x,+3x2+x,=0
1, 1 1 1 2, 1 2 2 , 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 (3) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r n r r rn r r c c d c c d c c d d + + + + ⎯⎯⎯⎯→ 化为行最 简形矩阵 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 ，则方程组无解; 2) 若 则方程组有解， 当 有唯一解; 有无穷解。 3) 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组一定有解。 当 有唯一零解; 有无穷多解,即有非零解. 举例说明消元法具体步骤： 解： 最后一行有 可知方程组无解。 例 2：解线性方程组 dr+1 0 1 0, dr+ = r n r n = 2 1 3 1 ( , ) 4 2 5 4 2 1 4 0 A b − = − − 2 1 3 1 0 0 1 2 0 0 1 1 − → − − − − → 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 3 1 0 1, x3 = r n r n = 例1：解线性方程组 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 4 2 5 4 2 4 0 x x x x x x x x x − + = − + = − + = − + + = + − = − + = − + − = 7 3 0 3 3 1 0 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x x
解 1-23-41 01 (A4,b)= 130-31 0-7310 1-23-41(1-23-41 01-11001-110 002-40 20 00 80)(0 000 1-2021(1000|1 010-10 001-20 00000 00000 对应的方程组为{x2-x4=0 2 2x,=0 所以一般解为 (k为任意常数) 2k 2.齐次线性方程組xm1=0m(2) 齐次线性方程组(2)有解的条件 定理1:齐次线性方程组Amxm=0m有非零解→R(A)R(4)=n 即|A|≠0,即系数矩阵A可逆 例3:求下列齐次方程组的通解。 x +2 0 (1)2x1+4x2+8x3+x=0 3x1+6x,+2 0
解： 对应的方程组为 即 所以一般解为 ( k 为任意常数) 2 .齐次线性方程组 齐次线性方程组（2）有解的条件 定理 1：齐次线性方程组 Amn xn1 =0m1 有非零解 定理 2：齐次线性方程组 只有零解. 推论：齐次线性方程组 只有零解 即 , 即系数矩阵 A 可逆。 例 3 : 求下列齐次方程组的通解。 (A,b) = 1 2 3 4 1 0 1 1 1 0 0 0 2 4 0 0 0 4 8 0 − − − → − − 1 2 0 2 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 − − ⎯⎯→ − 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 − ⎯⎯→ − 1 2 4 3 4 1 0 2 0 x x x x x = − = − = 1 2 4 3 4 1 2 x x x x x = = = 1 2 3 4 1 2 x x k x k x k = = = = 1 1 0 (2) A x m n n m = R A n ( ) 1 1 0 A x m n n m = A x n n n n 1 1 = 0 = R A n ( ) |A| 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 4 0 (1) 2 4 8 0 3 6 2 0 x x x x x x x x x x x + + + = + + + = + + = − − − − − 0 1 0 1 0 7 3 1 1 3 0 3 0 1 1 1 1 2 3 4 − − − − → 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 2 3 4
解: +00-10-3→001 0000 行最简形矩阵对应的方程组为 2X2 2 即 x,=O 10 2,x4是自由未知量 先求通解,再求基础解系 令 1 10 c1C2为任意常数
解： 行最简形矩阵对应的方程组为 即 是自由未知量 先求通解，再求基础解系 令 则 即: 为任意常数。 1 1 2 0 5 1 2 4 1 3 0 0 10 3 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 − ⎯⎯⎯→ − − → 初等行 变换 1 2 4 1 2 4 8 1 3 6 2 0 A = 1 2 4 3 4 1 2 0 5 3 0 10 x x x x x + − = + = 1 2 4 3 4 1 2 5 3 10 x x x x x = − + = − 2 1 4 2 x c x c = = , 1 1 2 2 1 3 2 4 2 1 2 5 3 10 x c c x c x c x c = − + = − = = 1 2 1 2 3 4 1 2 5 1 0 0 3 0 10 1 x x c c x x − = + − 2 4 x x ， 1 2 c c
.t? 3 (2) 3x1+6x2+10x3=0 2x1+5x2+7x3=0 I 123 2652 3610初等行变换、01 00 000 100 000 2100 010 001 000 R(4)=3=B,所以只有零解。 3.非齐次性线性方程组 Ax1=bn(1)有解的条件 定理3:非齐次线性方程组 Ax=bm有解sR(4)=k(4,b) 并且,当R(4)=R(4,b) 时,有唯一解 R(4)=R(,)<n时,有无穷多解 例4:求解非齐次方程组 x1+5x2-X3-X4=-1 x1-2x2+X3+3x4=3 3x1+8x2-x3+x4=1 x1-9X2+3x3+7x4=7 解: (4,b)= 131 8 1000 7
解： 所以只有零解。 3. 非齐次性线性方程组 有解的条件 定理 3：非齐次线性方程组 有解 并且，当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解。 例 4 : 求解非齐次方程组 解： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 0 3 6 10 0 (2) 2 5 7 0 2 4 0 x x x x x x x x x x x x + + = + + = + + = + + = 1 2 3 3 6 10 2 5 7 1 2 4 A = 1 2 3 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ⎯⎯⎯⎯→ 初等行变换 R A n ( ) = = 3 ， 1 1 (1) A x b m n n m = 1 1 A x b m n n m = = R A R A b ( ) ( , ) R A R A b n ( ) = = ( , ) R A R A b n ( ) = ( , ) 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 2 3 3 3 8 1 1 2 3 4 1 2 3 4 9 3 7 7 x x x x x x x x x x x x x x x x + − − =− − + + = + − + = − + + = 1 5 1 1 1 1 2 1 3 3 ( , ) 3 8 1 1 1 1 9 3 7 7 A b −−− − = − 1 5 1 1 1 0 7 2 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −−− − ⎯⎯→ → → 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1
31313 01 00 00000 令 C2,则 133 3 4 133 13 (c1;c2为任意常数)。 例5 之 5 18-5k 问k取何值时有唯一解,无穷多解或无解,有无穷多解时求出通解 解 32kl18-5k A,b)=32k18-5k k11 012 012
令 , 则 即: 为任意常数）。 例 5： 问:k 取何值时有唯一解,无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解。 解一： 13 3 13 1 3 4 7 7 7 4 2 4 2 3 4 7 7 7 x x x x x x = − − =− + + 3 1 4 2 x c x c = = , 1 1 2 2 1 2 3 1 4 2 13 3 13 7 7 7 4 2 4 7 7 7 x c c x c c x c x c = − − = − + + = = 1 2 ( , c c 1 2 3 1 2 3 2 3 5 3 2 18 5 2 2 kx x x x x kx k x x + + = + + = − + = ( ) 1 1 5 , 3 2 18 5 0 1 2 2 k A b k k = − 3 2 18 5 1 1 5 0 1 2 2 k k k − ⎯⎯→ → − − − 0 0 7 4 7 13 0 0 0 0 0 0 0 0 7 4 7 2 0 1 7 13 7 3 1 0
18-5k k 001 -2+k5-(18-5k)-211-2k 01 32 18-5k 01 14 00k一-k k+3 )k-3k2-1#0时即k≠1且k≠3时,()=(4)=m=3有唯一解 (2)k=1时,(4)=R(4,)=2<3有无穷解 (3)k=3时,R(4)≠R(4,b)无解 解二:利用 Cramer法则 3 k-1)(k-3) 当D≠0时,即k≠1且k≠3时,方程组有唯一解。 当k=1时 (4,b)=32 13 000|0 =3+x 有无穷多解,{x2=2-2x,即 当k=3时 5 (A,b)=3233→ 01
(1) 1 0 3 1 3 4 2 k − k − 时,即 k 1 且 k 3 时, R(A) = R(A,b) = n = 3 ,有唯一解; (2) k = 1 时, R(A) = R(A,b) = 2 3,有无穷解; (3) k = 3 时, R(A) R(A,b),无解. 解二：利用 Cramer 法则 当 时，即 k 1 且 k 3 时，方程组有唯一解。 当 k = 1 时， 有无穷多解， 即 当 k = 3 时， ( ) 2 3 2 18 5 4 2 0 0 1 2 5 18 5 2 1 3 3 3 3 0 1 2 2 k k k k k k k − − − + − − − − → 1 1 3 2 ( 1)( 3) 0 1 2 k D k k k = = − − − D 0 = 0 1 2 2 3 2 1 13 1 1 1 5 (A,b) − → 0 0 0 0 0 1 2 2 1 0 1 3 = − = + 2 3 1 3 2 2 3 x x x x + − = 1 2 1 0 2 3 3 2 1 c x x x = 0 1 2 2 3 2 3 3 3 1 1 5 (A,b) → − 0 0 0 4 0 1 2 2 3 1 1 5 − + − − − → 3 3 14 3 5 2 18 5 1 3 1 3 4 0 0 0 1 2 3 2 2 2 k k k k k k
R(4)≠R(4,b),所以方程组无解
R(A) R(A,b) , 所以方程组无解