矩阵的特征值与特征向量 (王梦婷) 教学目标与要求 通过学习,使学生理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质:会求矩阵的特征值和特 征向量 教学重点与难点 教学重点:特征值与特征向量的概念及求法。 教学难点:特征值与特征向量的概念的引入及其求法 教学方法与建议 在引入特征值与特征向量的概念之前,告诉学生特征值与特征向量在工程技术中具有实 际的物理意义。比如在振动问题和稳定性问题中,常可归结为求一个方程的特征值和特征向 量的问题;在数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题,也都要用到特征值的理论。使 学生一开始就充分认识到特征值与特征向量的重要性,也避免了引入概念时学生的茫然与不 理解 ●教学过程设计 1.定义的提出 特征值与特征向量在工程技术中具有实际的物理意义。比如在振动问题和稳定性问题中, 常可归结为求一个方程的特征值和特征向量的问题;在数学中诸如方阵的对角化及解微分方 程组等问题,也都要用到特征值的理论 定义:设A为n阶方阵,如果数λ和n维非零向量x使Ax=Ax成立,则称数 λ为方阵A的特征值,非零向量x称为方阵A的对应于特征值元的特征向量 定义中的Ax=Ax又可以写成 =0,这个齐次线性方程组有非零解的充要 条件是 A 0 上方程称为方阵A的特征方程.方程的左边称为方阵A的特征多项式 2.特征值的性质 设A为n阶矩阵,气,A2,…,λn为特征方程的根即A的n个特征值,那 ()4=λ2… (2)r(4)=1+λ2+…+ 3.特征值和特征向量的求法及一些结论 求特征值、特征向量的步骤: (求出方程-4=0的根,即得A的特征值
矩阵的特征值与特征向量 (王梦婷) ⚫ 教学目标与要求 通过学习,使学生理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质；会求矩阵的特征值和特 征向量。 ⚫ 教学重点与难点 教学重点: 特征值与特征向量的概念及求法。 教学难点: 特征值与特征向量的概念的引入及其求法。 ⚫ 教学方法与建议 在引入特征值与特征向量的概念之前,告诉学生特征值与特征向量在工程技术中具有实 际的物理意义。比如在振动问题和稳定性问题中,常可归结为求一个方程的特征值和特征向 量的问题;在数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组等问题,也都要用到特征值的理论。使 学生一开始就充分认识到特征值与特征向量的重要性,也避免了引入概念时学生的茫然与不 理解。 ⚫ 教学过程设计 1. 定义的提出 特征值与特征向量在工程技术中具有实际的物理意义。比如在振动问题和稳定性问题中, 常可归结为求一个方程的特征值和特征向量的问题;在数学中诸如方阵的对角化及解微分方 程组等问题,也都要用到特征值的理论。 定义: 设 A 为 n 阶方阵,如果数 和 n 维非零向量 x 使 Ax = x 成立,则称数 为方阵 A 的特征值,非零向量 x 称为方阵 A 的对应于特征值 的特征向量. 定义中的 Ax = x 又可以写成 (I − A)x = 0,这个齐次线性方程组有非零解的充要 条件是: 上方程称为方阵 A 的特征方程.方程的左边称为方阵 A 的特征多项式. 2. 特征值的性质 设 A 为 n 阶矩阵, 为特征方程的根.即 A 的 n 个特征值,那么: ⑴ ; ⑵ . 3. 特征值和特征向量的求法及一些结论 求特征值、特征向量的步骤： ⑴求出方程 I − A = 0 的根，即得 A 的特征值; 0 1 2 21 22 2 11 12 1 = − − − − − − − − − − = n n nn n n a a a a a a a a a I A n 1 ,2 , , A = 12 n ( ) A n tr = 1 + 2 ++
2)求齐次线性方程组(-4)x=0的非零解x即为特征向量,一般只要求得该 方程组的基础解系即可得所有特征向量 例题1:求4= 20 的特征值和特征向量. 解:特征方程为 (-2)-4)=0 所以A的特征值A=4,λ2=2 对A=4由4r-4x=0,得基础解系为P=(0 对2=2由(2-)x=0,得基础解系为P2=(2.y 从而分别得特征向量AP=(01),k≠0P2=(2,1)y,1≠0 注:特征向量不能由特征值唯一确定,反过来,对不同的特征值,有下列定理。 定理:方阵A的对应于不同特征值的特征向量是线性无关的 例题2:求A=230的特征值和特征向量 202 解:特征方程为 A+12 0 0|=(4-1)(x-2)=0 20元-2 所以A的特征值λ1=A2=1,A3=2 对=2=1由(-x=0,得基础解系为P=(-1,1,2 对λ=2由2-x=0,得基础解系为P2=(0,0,y 从而可得对应的特征向量。 222 例题3:求A=020 的特征值和特征向量 213 解:特征方程为 a-A4=0x-20=(x1x-2)2=0 所以A的特征值1=-1,A2=13=2 对1=-1由(-A)x=0,得基础解系为P=(2,0
⑵ 求齐次线性方程组 (I − A)x = 0 的非零解 x 即为特征向量，一般只要求得该 方程组的基础解系即可得所有特征向量. 例题 1: 求 的特征值和特征向量. 解:特征方程为: 所以 A 的特征值 对 由 ,得基础解系为 对 由 ,得基础解系为 从而分别得特征向量 注:特征向量不能由特征值唯一确定,反过来,对不同的特征值，有下列定理。 定理:方阵 A 的对应于不同特征值的特征向量是线性无关的. 例题 2: 求 − − = 2 0 2 2 3 0 1 2 0 A 的特征值和特征向量. 解:特征方程为: 所以 A 的特征值 对 由 ，得基础解系为 对 由 ，得基础解系为 从而可得对应的特征向量。 例题 3: 求 的特征值和特征向量. 解:特征方程为: 所以 A 的特征值 对 由 ，得基础解系为 − = 1 4 2 0 A ( 2)( 4) 0 1 4 2 0 = − − = − − − = I A 1 = 4 ,2 = 2 1 = 4 (4I − A)x = 0 ( ) T P1 = 0 ,1 2 = 2 (2I − A)x = 0 ( ) T P2 = 2 ,1 1 2 0 2 0 2 2 3 0 1 2 0 2 = − − = − − − − + I − A = ( ) ( ) 1 = 2 = 1 ,3 = 2 1 = 2 = 1 (I − A)x = 0 ( ) T P1 = −1 ,1 ,2 3 = 2 (2I − A)x = 0 ( ) T P2 = 0 ,0 ,1 − − = 2 1 3 0 2 0 2 2 2 A ( 1)( 2) 0 2 1 3 0 2 0 2 2 2 2 = + − = − − − + − − − = I A 1 = −1 ,2 = 3 = 2 1 = −1 (− I − A)x = 0 ( ) T P1 = 2 ,0 ,1 kP1 = ( 0 ,1 ) ,k 0 T lP2 = (2 ,1 ) ,l 0 T
对石2=13=2由(21-4)x=0,得基础解系为 P2=(1,2,0)y,B=(10,2) 从而得特征向量。 由这两个例子可见,方阵对应于它的重特征值的线性无关的特征向量的最大个数不多于 重特征值的重数 定理:设A0是n阶矩阵A的k重特征值则对应于的线性无关的特征向量 最大个数I≤k 对于有些n阶矩阵,对应于每个重特征值的线性无关的特征向量的个数等于重特征 值的重数,这种矩阵称为非亏损矩阵;而对于有些n阶矩阵,对应于某个重特征值的线性无 关的特征向量的个数小于重数从而它没有n个线性无关的特征向量,这种矩阵成为亏损 矩阵
对 由 ，得基础解系为 从而得特征向量。 由这两个例子可见,方阵对应于它的重特征值的线性无关的特征向量的最大个数不多于 重特征值的重数. 定理：设 0 是 n 阶矩阵 A 的 k 重特征值,则对应于 0 的线性无关的特征向量 最大个数 l k 。 对于有些 n 阶矩阵,对应于每个重特征值的线性无关的特征向量的个数等于重特征 值的重数,这种矩阵称为非亏损矩阵;而对于有些 n 阶矩阵,对应于某个重特征值的线性无 关的特征向量的个数小于重数.从而它没有 n 个线性无关的特征向量,这种矩阵成为亏损 矩阵。 2 = 3 = 2 (2I − A)x = 0 ( ) ( ) T T P2 = 1 ,2 ,0 ,P3 = 1 ,0 ,2
