西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（习题课）第6章 大数定律与中心极限定理

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第六章 大数定律与中心极限定理 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 返回

61为了确定事件4的概率,进行了100 次的重复独立试验.试用切比雪夫不等式估计: 用A在10000次试验中发生的频率作为概率的近似 值时,误差小于0.01的概率 解答 6.2利用切比雪夫不等式估计随机变量X与 其期望的差不小于3倍标准差的概率 解答返回

为了确定事件A的概率p, 进行了10000 次的重复独立试验. 试用切比雪夫不等式估计: 用A在10000次试验中发生的频率作为概率的近似 值时, 误差小于0.01的概率. 6.1 6.2 利用切比雪夫不等式估计随机变量 X与 其期望的差不小于3倍标准差的概率. 解答 返回 解答

63设在每次试验中事件A发生的概率 p=0.75,试用下面两种方法估计m取多大时才能 以90%的把握保证n次重复独立试验中A发生的 频率在074~076之间: (1)利用切比雪夫不等式估计; (2)利用中心极限定理估计 解答返回

设在每次试验中事件 A 发生的概率 p=0.75, 试用下面两种方法估计n取多大时才能 以90％的把握保证n次重复独立试验中A发生的 频率在0.74~0.76之间: 6.3 (1) 利用切比雪夫不等式估计; (2) 利用中心极限定理估计. 解答 返回

64已知一本300页的书中每页印刷错误的 个数服从泊松分布P(0.2),求这本书的印刷错误不 多于70个的概率 解答 6.5某单位设计一台电话总机,共200个分机 设每个分机有5%的时间要使用外线通话,并且每个 分机使用外线与否是相互独立的.问该单位至少需 要多少根外线才能保证每个分机要用外线时可供使 用的概率达到90%? 解答返回

已知一本 300 页的书中每页印刷错误的 个数服从泊松分布P(0.2), 求这本书的印刷错误不 多于70个的概率. 6.4 6.5 某单位设计一台电话总机, 共200个分机. 设每个分机有5％的时间要使用外线通话, 并且每个 分机使用外线与否是相互独立的. 问该单位至少需 要多少根外线才能保证每个分机要用外线时可供使 用的概率达到90％？ 解答 返回 解答

6.1为了确定事件A的概率p,进行了10000 次的重复独立试验.试用切比雪夫不等式估计: 用A在1000试验中发生的频率作为概率的近似 值时,误差小于0.01的概率 解如果用X,X2,…,X10010000次重复 独立试验的各次试验中事件A发生的次数,则事件 A在10000次试验中发生的频率为 X1+X2+…+X1000 10000

如果用X1 , X2 , … , X10000表示10000次重复 独立试验的各次试验中事件A发生的次数, 则事件 A在10000次试验中发生的频率为 为了确定事件A的概率p, 进行了10000 次的重复独立试验. 试用切比雪夫不等式估计: 用A在10000次试验中发生的频率作为概率的近似 值时, 误差小于0.01的概率. 6.1 解 1 2 10000 10000 X X X X     

且满足 10000 10000 EX ∑ ∑ P=p 10000 =1 10000 10000 10000 DX= DX 10000 ∑ k ∑1-p) k=1 10000 k=1 10000 于是,由切比雪夫不等式得 PX-<0)=PX-Ex<001=1-P(X-EX2009 DX 3 ≥1 1-p(1-p)=(p 0.01 3

且满足 10000 10000 1 1 1 1 10000 10000 k k k E X EX p p        10000 10000 2 2 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 10000 10000 10000 k k k p p DX DX p p          于是, 由切比雪夫不等式得 P{X p 0.01} P{XEX 0.01}1P{XEX 0.01} 2 2 1 3 1 1 (1 ) ( ) 0.01 2 4 DX     p  p  p   3 4 

62利用切比雪夫不等式估计随机变量 X与其期望的差不小于3倍标准差的概率 解因为 PX-EX≥3DX/sDX (3√DX)29 所以随机变量X与其期望的差不小于3倍 标准差的概率为1/9

利用切比雪夫不等式估计随机变量 X与其期望的差不小于3倍标准差的概率. 6.2 解 因为   2 1 3 (3 ) 9 DX P X EX DX DX     所以随机变量 X与其期望的差不小于3倍 标准差的概率为1/9

63设在每次试验中事件4发生的概率p=075, 试用下面两种方法估计m取多大时才能以90%的把 握保证次重复独立试验中A发生的频率在074070 之间: (1)利用切比雪夫不等式估计; (2)利用中心极限定理估计 解如果用X1,X2,…,Xn表示n次重复独立试验 的各次试验中事件A发生的次数,则 X1+X2+…+Xn~B(n,0.75) 于是事件A在n次试验中发生的频率为 X=x1+x2++xn

如果用X1 , X2 , … , Xn表示n次重复独立试验 的各次试验中事件A发生的次数, 则 设在每次试验中事件A发生的概率p=0.75, 试用下面两种方法估计n取多大时才能以90％的把 握保证n次重复独立试验中A发生的频率在0.74~0.76 之间: 6.3 (1) 利用切比雪夫不等式估计; (2) 利用中心极限定理估计. 解 于是事件A在n次试验中发生的频率为 1 2 ( ,0.75) X  X  Xn  B n X1 X2 X n X n     

且满足EX=p=075,DX=P=-P=0135 n2 (1)利用切比雪夫不等式得 P074<X<0.76=PX-EX<00 =1-PX-EX≥001} DX 1875 0.01 故要以90%的把握保证n次重复独立试验中A发 生的频率在0740.76之间,即P{0.74<X<0.76}≥0.9 1875 只需1 ≥0.9,或n≥18750

且满足 2 (1 ) (1 ) 0.1875 0.75, np p p p EX p DX n n n        (1) 利用切比雪夫不等式得 故要以90％的把握保证n次重复独立试验中A发 生的频率在0.74~0.76之间, 即P{0.74  X  0.76} 0.9 1875 1 0.9, n 18750 n 只需   或  P{0.74  X  0.76}  P{ X  EX  0.01}  1 P{ X  EX  0.01} 2 1875 1 1 0.01 DX n    

(2)根据棣莫佛一拉普拉斯中心极限定理,近 似地有 p(1-p)/n 从而P074<x<076=Px-100g X .oNn=p √p(1-p)/n√(1-p) 1875 ≈2Φ 1875 故要以90%的把握保证n次重复独立试验中A发 生的频率在0.740.76之间,即 P{0.74<X<0.76}≥0.9

根据棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理, 近 似地有 (2) (0,1) (1 )/ X p N p p n    从而 P{0.74  X  0.76}  P{ X  p  0.01} 0.01 (1 )/ (1 ) (1 )/ 1875 X p n X p n P P p p n p p p p n                             2 1 1875 n          故要以90％的把握保证n次重复独立试验中A发 生的频率在0.74~0.76之间, 即 P{0.74  X  0.76} 0.9