34随机变量的独立性 利用两个事件相互独立的概念,我们自然引入 两个随机变量相互独立的定义: 定义1设X,Y是两个随机变量,如果对任意二 实数集S,T,由{X∈S}与{Y∈T}构成的可能事件相互 独立,则称这两个随机变量是相互独立的,简称是 独立的 设F(x)及F(x),Fy()分别是随机变量X与Y 的联合分布函数和边缘分布函数则不难证明,关 于两个随机变量相互独立有如下两个等价定理 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 定义1 设X,Y是两个随机变量, 如果对任意二 实数集S,T, 由 与 构成的可能事件相互 独立, 则称这两个随机变量是相互独立的, 简称是 独立的. 3.4 随机变量的独立性 利用两个事件相互独立的概念, 我们自然引入 两个随机变量相互独立的定义 ： 设F(x,y)及FX(x),FY (y)分别是随机变量X与Y 的联合分布函数和边缘分布函数.则不难证明,关 于两个随机变量相互独立有如下两个等价定理. { } X S { } Y T
定理1对二维离散型随机变量,有下面等价关系: 在(X,1)的所有可能取值点x,),有 PX=x;,r=y;)=PX=xi)PY=Di3 随机变量X与 对任意二实数,y,有 Y相互独立 等价 F(x, y)=Fx(x)Fr(y) 对任意二实数第,T:在(X,)的所有可能取值点 PX∈S,Y∈T} Pir=y, Ix=xi)=Pir=y; j P{X∈SP∈TPX=x1Y=y}=PX=x} 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 定理1 对二维离散型随机变量, 有下面等价关系： { | } { } { | } { } ( , ) : i j i j i j P X x Y y P X x P Y y X x P Y y X Y = = = = = = = = 在 的所有可能取值点 { , } { } { } ( , ) ( , ), i j i j i j P X x Y y P X x P Y y X Y x y = = = = = 在 的所有可能取值点 有 { } { } { , } , : P X S P Y T P X S Y T S T = 对任意二实数集 ( , ) ( ) ( ) , , F x y F x F y x y = X Y 对任意二实数 有 相互独立 随机变量 与 Y X 等价
定理2对二维连续型随机变量,有下面等价关系: 在整个二维平面上有 ∫(x,y)=fx(x)/(y)(几乎) 随机变量X与 恐y 对任意二实数,y,有 Y相互独立 等价 F(x, y)=Fx(x)Fr(y) 对任意二实数第,T:在(X,Y)的所有可能取值点 PX∈S,Y∈T} fnx(y|x)=f(y)(几乎) PX∈S}PY∈T}fw(x|y)=fx(x)(几乎) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 定理2 对二维连续型随机变量, 有下面等价关系： ( | ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( , ) : | | 几 乎 几 乎 在 的所有可能取值点 f x y f x f y x f y X Y X Y X Y X Y = = ( , ) ( ) ( ) ( ) , 几 乎 在整个二维平面上有 f x y f x f y = X Y { } { } { , } , : P X S P Y T P X S Y T S T = 对任意二实数集 ( , ) ( ) ( ) , , F x y F x F y x y = X Y 对任意二实数 有 相互独立 随机变量 与 Y X 等价
例1在3.1节例1中定义的X与Y是否相互独立? 解在3.1节和32节已求得 Y 001/4 1/81/8001/4 1/21/211201/4 1/161/161/161/161/4 P 25 13 3 48 48 48:48 由于P{X=2}P{Y=3}=448P(x=2,Y=3}=0 所以,X与Y不是相互独立的 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 解 例1 在3.1节例1中定义的X与Y是否相互独立？ 在3.1节和3.2节已求得 P{X = 2,Y = 3} = 0 48 7 4 1 由于 P{X = 2}P{Y = 3} = 所以, X与Y 不是相互独立的. j 1 p• 48 25 48 13 48 7 48 3 pi • 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 X Y 1/ 4 1/ 8 1/12 1/16 0 1/ 8 1/12 1/16 0 1/12 1/16 0 0 1/16 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0
例2在31节例2中定义的X与Y是否相互独立? (2x+y 解由31节知f(x,y) 2e ,x>0,y>0 其它 由3.2节知∫x(x)= 2e-,x>0, fy(= e",y>0 0,x≤0, 0,y≤0 由于对任意的(x,y)(x>0,y>0),都有 f(x()=2e e =f(x,y) 而在其它点,都有 fx(x)f(y)=0·0=f(x,y) 所以,X与Y是相互独立的 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 解 例2 由3.1节知 = − + 0, 其它 2e , 0, 0 ( , ) (2 ) x y f x y x y = − 0, 0, 2e , 0, ( ) 2 x x f x x X = − 0, 0 e , 0 ( ) y y f y y 由3.2节知 Y 在3.1节例2中定义的X与Y是否相互独立？ 由于对任意的(x, y) (x>0, y>0), 都有 所以, X与Y 是相互独立的. f X (x) f Y ( y) = − x − y 2e e 2 = f (x, y) 而在其它点, 都有 f X (x) f Y ( y) = 00= f (x, y)
例3讨论32节例3中定义的X与Y的独立性 解由3.2节原题知 eXp 1「(x-1)2_2n(x-Xy-2)(y-A2)2 2(1-p2) f(x, y) 2102V1-p 由32节知 2 e 2兀σ1 (x-1)2-(y-1)210 ex 当且仅当p=0 f(x,y) 2丌0, 102 所以,X与Y是相互独立的充要条件是P=0 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 例3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp ( , ) σ σ ρ σ y μ σ σ x μ y μ ρ σ x μ ρ f x y − − + − − − − − − = 讨论3.2节例3中定义的X与Y的独立性. f X (x) f Y ( y) = 2 1 2 1 2 ( ) 1 e 2 1 σ x μ σ − − 由3.2节知 解 2 2 2 2 2 ( ) 2 e 2 1 σ y μ σ − − 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 1 exp σ σ σ y μ σ x μ − + − − = f ( x, y) 当且仅当 = 0 由3.2节原题知 所以, X与Y 是相互独立的充要条件是 = 0
例4设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维 随机变量(X,Y联合分布律及关于X和关于Y的边缘 分布律中的部分值,试将其余数填入表中的空白处 解 x y2 y3 PX=x; 1 24 1—838 12 1-43 2 8 Pt=y 2 3 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 解 设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维 随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘 分布律中的部分值, 试将其余数填入表中的空白处. 例4 { } P X = xi { }j P Y = y 8 1 1 x 2 x 1 y 2 y 3 y 8 1 6 1 4 3 X Y 24 1 4 1 2 1 8 3 12 1 3 1 4 1 1
