1.3古典概型与几何概型 、古典概型 二、几何概型 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 1.3 古典概型与几何概型 一、古典概型 二、几何概型
、古典概型 回忆11节的试验,E1,E3,E4有共同特性: ①(有限性)试验的样本空间2中仅含有限个样本点: 1902,9 ②〔等可能性)每个基本事件{o发生的可能性相同: P({4)=P({a29)=…=P({n} 具有以上两个特性的试验大量存在.我们把满足上述 两个特性的试验称为等可能试验.这种试验是概率论发展 初期研究的主要对象,被称为古典概型 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 回忆1.1节的试验，E1 ,E3 ,E4 有共同特性： 一、古典概型 ①（有限性）试验的样本空间Ω中仅含有限个样本点： ②（等可能性）每个基本事件{ωi }发生的可能性相同: { , , , } = 1 2 n 具有以上两个特性的试验大量存在. 我们把满足上述 两个特性的试验称为等可能试验. 这种试验是概率论发展 初期研究的主要对象,被称为古典概型. ({ }) ({ }) ({ }) P 1 = P 2 == P n
定理1设是等可能试验E的样本空间,它包含n个样本 点,A为E的包含k个样本点的随机事件,则事件A的概率为 kA中样本点的个数 nΩ中样本点的个数 称此公式为古典概型的概率计算公式或定义) 证由P({a1})=P({a2} P({on})知 l=P(2)=P({a1})+P({(2》)+…+P({on})=nP({a1 所以P({a1})=P({a2)=…=P({an)=1/n 从而P(4)=PC∑{on}) n 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 设Ω是等可能试验E的样本空间, 它包含n个样本 点, A为E的包含k个样本点的随机事件,则事件A的概率为 中样本点的个数 中样本点的个数 Ω A n k P(A) = = 称此公式为古典概型的概率计算公式(或定义) 定理1 证 由 ({ }) ({ }) ({ }) P 1 = P 2 == P n 1 ( ) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) = P = P 1 + P 2 ++ P n = nP 1 知 所以 P({1 }) = P({2 }) == P({n }) = 1/n 从而 n k P A P k i ni = = = ( ) ( { }) 1
古典概型计算所需的知识: 排列:从n个不同元素中任取m个排成一列,其不同的 排列数为P"=-h,=m(n-1)-(n-m+1) n-m 组合:从n个不同元素中任取m个组成一组,其不同的 组合数为Cm nn(n-1)…(n-m+1) n(1-m ) 加法原理:做一件事件有k类做法,第i类有n;种做 法,则总共有n1+m2+…+n种不同的做法 乘法原理:做一件事件有k个阶段,第i个阶段有n;种 做法,则总共有n1n2…n种不同的做法 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 排列：从n个不同元素中任取m个排成一列,其不同的 古典概型计算所需的知识： 组合：从n个不同元素中任取m个组成一组,其不同的 ( 1) ( 1) ( )! ! P = − − + − = n n n m n m m n n !( )! ! ! ( 1) ( 1) ! P C m n-m n m n n n m m m m n n = − − + = = 排列 数为 加法原理：做一件事件有 k 类做法，第 i 类有ni 种做 法，则总共有n1+n2+···+nk 种不同的做法. 乘法原理：做一件事件有k个阶段，第i个阶段有ni种 做法，则总共有n1·n2···nk种不同的做法. 组合 数为
古典概型举例 (1)抽球问题 例1袋内有3个白球和2个黑球,现从袋中任取2个球, 求取出的2个球都是白球的概率 解参看第1节例1,若按(a)法理解,则不是古典概型, 不会计算;若按(b)法理解,则是古典概型,这时样本空间 的样本点数为10,而事件 A={两个白球}={a12,a3,O23} 所包含的样本点有3个,故所求概率为 P(4≈3 =0.3 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 古典概型举例 例1 袋内有3个白球和2个黑球, 现从袋中任取2个球, 求取出的2个球都是白球的概率. 解 参看第1节例1，若按(a)法理解，则不是古典概型， 不会计算；若按(b)法理解，则是古典概型，这时样本空间 的样本点数为10，而事件 所包含的样本点有3个，故所求概率为 A= {两个白球} { , , } = 12 13 23 0.3 10 3 P(A) = = (1) 抽球问题
例2袋内有a个白球与b个黑球,现从袋中任取a+B个球, 求取出的球恰好有a个白球与B个黑球的概率 解这是例1的一般情形,这时样本点总数为C+ 取出的球恰好有a个白球与个黑球的事件所包含 的样本点个数为CCB B 故所求概率为P=(+ 注:其中的“白球,黑球”可换作“甲物乙物”或“合格品, 次品 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 袋内有a个白球与b个黑球, 现从袋中任取α+β个球, 求取出的球恰好有α个白球与β个黑球的概率. 解 这是例1的一般情形,这时样本点总数为 故所求概率为 Ca b + + 取出的球恰好有α个白球与β个黑球的事件所包含 的样本点个数为 C Ca b C C C a b a b p + + = • ••• •• 1 2 ··· α 1 2 ··· β Ca Cb Ca b + + 注：其中的“白球,黑球”可换作“甲物,乙物”或“合格品, 次品” 例2
例3袋内有a个白球与b个黑球,每次从袋中任取一个 球,取出的球不再放回去,接连取k(ka+b)个球,求第k次 取得的是白球的概率 解这时取球是有顺序的,样本点总数为Pb,第k个球 取自a个白球,有a种取法,其余k-1个球取自其它a+b-1个 球,其取法种数为P 故所求概率为 k-1 k k-1 a+b-1 a+b +b-1 (抽签原理) 1+b a+b 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） P k a b + 袋内有a个白球与b个黑球, 每次从袋中任取一个 球, 取出的球不再放回去, 接连取 k (k≤a+b) 个球, 求第k次 取得的是白球的概率. 解 这时取球是有顺序的,样本点总数为 故所求概率为 P k a b + 取自a个白球, 有 a 种取法, 球, 其取法种数为 1 P 1 P k a b k a b a a p a b − + − + = = + • •• • •• 1 2 ··· k 1 P 1 k a b − + − a 1 P 1 k a b − + − (抽签原理) 例3 , 第 k 个球 其余 k-1个球取自其它a+b-1个
(2)随机取数问题 例4从1,2,…,10共10个数字中任取7个(可以重复) 求下列各事件的概率: A:取出的7个数字全不相同; B:取出的7个数字中不含1与10; C:取出的7个数字中恰好出现两次10 解P(A) 10×9×8×7×6×5×4 0.0605 10 8 12345678910 P(B) =0.2097 10 抓格填数|10 C2.9 P(C) 0.1240 7 10 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 7 抓格填数 10 例4 从1,2,···,10共10个数字中任取7个（可以重复）， 求下列各事件的概率： A：取出的7个数字全不相同； B：取出的7个数字中不含1与10； C：取出的7个数字中恰好出现两次10. 解 (2) 随机取数问题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 ··· 7 0.0605 10 10 9 8 7 6 5 4 ( ) 7 = P A = 0.2097 10 8 ( ) 7 7 P B = = 0.1240 10 9 ( ) 7 2 5 7 = = C P C
(3)分房问题 例5有n个人每个人都以同样的概率1N被分配在N(r≤N 间房中的每一间,求下列各事件的概率: A:某指定n间房中各有1人; B:恰有n间房,其中各有1人; C:某指定房间中恰有m(mxn)人 解P(Am(n-1)…21_n! N 23 n P(B)= N 抓人分房N P(C)= Cn(N-1)"M-me N 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 抓人分房 例5 有n个人,每个人都以同样的概率1/N被分配在N(n≤N) 间房中的每一间,求下列各事件的概率： A：某指定n间房中各有1人； B：恰有n间房,其中各有1人； C：某指定房间中恰有m(m≤n)人. 解 (3) 分房问题 1 2 3 n 1 2 ··· N n N n n N n N n n P A ( 1) 2 1 ! ( ) = − = n n N N n P B C ! ( ) = n m n m n N N P C − − = C ( 1) ( )
分房问题的演变: 在上述分房问题中,若令N=365,n=30.,m=2,则可演化为 生日问题即对一个含30人的班级,有下面结果: (1)在某指定30天每天恰有一学生生日的概率为 30 C365:30 (2)全班生日各不相同的概率为 36530=0.294 364 (3)某指定日恰为某二人生日的概率为3650 由(2)知,在全班30人中至少有2人 生日相同的概率为1-0.294=70.6% 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 分房问题的演变: 在上述分房问题中，若令N=365,n=30,m=2,则可演化为 生日问题. 即对一个含30人的班级, 有下面结果： (1) 在某指定30天,每天恰有一学生生日的概率为 (2) 全班生日各不相同的概率为 (3) 某指定日恰为某二人生日的概率为 30 30! 365 1− 0.294 = 70.6% 30 2 30 365 28 C 364 0.294 365 C 30! 30 30 365 = 由(2)知, 在全班30人中至少有2人 生日相同的概率为