33条件分布 二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有联合概 率分布,其中的X或Y作为单个随机变量,具有边缘概 率分布. 有时,我们要考虑在其中一个随机变量取得(可 能的)固定值的条件下,6 另一随机变量的概率分 布.这样得到的X或Y的概 率分布叫做条件概率分 布,简称条件分布 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 3.3 条件分布 二维随机变量(X,Y )作为一个整体, 具有联合概 率分布,其中的X或Y作为单个随机变量, 具有边缘概 率分布. 能的) 固定值的条件下, 另一随机变量的概率分 布. 这样得到的X或Y的概 率分布叫做条件概率分 布, 简称条件分布． 有时, 我们要考虑在其中一个随机变量取得 (可
设二维离散型随机变量的联合分布律为 P{X=x,Y=y;}=P;(i,j=1,2,…) 则由条件概率计算公式可求得: 1)(X,在X=x;的条件下Y的条件分布律为 PW=VIX=x=- Px=xi r=y; PX=X, P (P;。>0,i=1,2,…) 2)(X,刀)在F=y的条件下X的条件分布律为 PX=x,r=y I PX (i=1,2 Pr=y P (P>0,j=1,2,…) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 条件分布律为 P{X = x ,Y = y } = p (i, j = 1,2, ) i j i j 设二维离散型随机变量的联合分布律为 则由条件概率计算公式可求得: { | } j i P Y = y X = x • = i i j p p (i = 1,2, ) ( j = 1,2, ) { } { , } i i j P X x P X x Y y = = = = { | } i j P X = x Y = y { } { , } j i j P Y y P X x Y y = = = = j i j p p • = 2) (X,Y)在Y＝yj 的条件下X 的条件分布律为 1) (X,Y)在X＝xi的条件下Y的 ( 0, = 1,2, ) • p j j ( 0, = 1,2, ) • p i i
各种分布律关系表 PIX=x lY=yi (X=x j 12 / p P2e|,/pj 联 :分布律 Pi pi2 P。‖P/p P{Y=y}p。p 边缘 分布律 PiY=y, IX=xi j 2 条件 i=1,2,… Pie pie P 分布律 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 联 合 分布律 边 缘 分布律 各种分布律关系表 i• i p p 1 i• i p p 2 i• i j p p j j p p 2 • j j p p 1 • i j j p p• { | } i j P X = x Y = y { | } j i P Y = y X = x p1• p2• pi• { }i P X = x P{Y = y j } p•1 p•2 p• j i = 1,2, j = 1,2, 条 件 分布律 X Y y1 y2 y j xi x x 2 1 p1 1 p12 p1 j p21 p22 p2 j pi1 pi 2 pi j
例1求31节例1中定义的(X,在X=3的条件下Y 的条件分布律以及在Y=3的条件下X的条件分布律 解XY Pi. P(X=i|Y=3] 001/4 0 白3 1/81/8 节知 1/121/121/201/44/7 1/161161161/161/43/7 白3.2 2513 7 节知 484848:48 在 Pr=jX=3 0 条件 3 3 分布律 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 解 求3.1节例1中定义的(X,Y)在X=3的条件下Y 的条件分布律以及在Y=3的条件下X的条件分布律. 例1 P{X = i |Y = 3} P{Y = j | X = 3} 3 1 3 1 3 1 0 4 / 7 3 / 7 0 0 j 1 p• 48 25 48 13 48 7 48 3 i • p 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 X Y 1/ 4 1/ 8 1/12 1/16 0 1/ 8 1/12 1/16 0 1/12 1/16 0 0 1/16 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 条 件 分布律 由3.1 节知 由3.2 节知 现 在
例1解的写法 解利用32节例1的联合与边缘分布律,可知 随机向量(X,在X=3的条件下Y的条件分布律为 1234 P=jX=3 随机向量(X,Y在Y=3的条件下X的条件分布律为 234 PX=iY=3}004/73/7 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 解 随机向量(X,Y)在X=3的条件下Y的条件分布律为 例1解的写法 P{X = i |Y = 3} P{Y = j | X = 3} 3 1 3 1 3 1 0 0 4 / 7 3 / 7 利用3.2节例1的联合与边缘分布律,可知 随机向量(X,Y)在Y=3的条件下X的条件分布律为 y j 1 2 3 4 0 xi 1 2 3 4
对于具有密度f(x,y)的连续型随机变量(X,H), 也有类似于离散型随机变量的条件分布: 1)在f(x)和f(x,y)的连续点二维随机变量 (X,Y)在X=x的条件下Y的条件分布密度为 fyx( x) f∫(x,y) f∫x(x) (fx(x)>0) 2)同样在f(y)利f(x,y)的连续点随机变量 (X,Y)在Y=y的条件下X的条件分布密度为 fxr(x y)= ∫(x,y) f1(y) (r(y)>0) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 对于具有密度 f (x, y) 的连续型随机变量 (X,Y), ( ) ( , ) ( | ) | f x f x y f y x X Y X = ( f ( x) 0) X 条件分布密度为 ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = ( f ( y) 0) Y 也有类似于离散型随机变量的条件分布： 1) 在f X (x)和f (x, y)的连续点,二维随机变量 (X,Y)在X = x的条件下Y的 2)同样,在f Y ( y)和f (x, y)的连续点,随机变量 (X,Y)在Y = y的条件下X的 条件分布密度为
与条件分布密度相应的有 1)(X,Y)在X=x的条件下Y的条件分布函数: Frx([x)=p(ysyX=x]=frx(lx)dy 2)(X,Y)在Y=y的条件下X的条件分布函数: Exr(xly=p(XsxY=y)=/xr(xlp)dx 联合分布、边缘分布、条件分布的关系 边缘分布 联合分布 联合分布 条件分布 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） − = = = y Y X Y X F ( y | x) P{Y y X x} f ( y | x)d y − = = = x X Y X Y F (x | y) P{X xY y} f (x | y)d x 与条件分布密度相应的有 1)(X,Y)在X = x的条件下Y的 条件分布函数： 2)(X,Y)在Y = y的条件下X的 条件分布函数： 联合分布、边缘分布、条件分布的关系： 联合分布 边缘分布 条件分布 联合分布
例2求3.1节例2中(X,在X=x(x>0)条件下Y的 条件分布密度和y(>0条件下X的条件分布密度 解由31节知f(x,y) 2 x>0,y>0 10,其它 x>0 由32节知∫x(x)= ∫y(y) e, y 0,x≤0 0,y≤0 e (2x+y) 故fnx(y e-,y>0 fx(x) 2e (x>0) (条件密度 0 y≤0 2e 2x fxr(xy) f(,y) 2e x>0 e ∫(y) (y>0 x≤0 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 解 求3.1节例2中(X,Y)在X=x(x>0)条件下Y的 条件分布密度和Y=y(y>0)条件下X的条件分布密度 例2 由3.1节知 = − + 0, 其它 2e , 0, 0 ( , ) (2 ) x y f x y x y = − 0, 0, 2e , 0, ( ) 2 x x f x x X = − 0, 0 e , 0 ( ) y y f y y Y ( ) ( , ) ( | ) | f x f x y f y x X Y X = ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = 故 = = − − − + 0, 0 e , 0 2e 2e 2 (2 ) y y y x x y = = − − − + 0, 0 2e , 0 e 2e 2 (2 ) x x x y x y ( x 0) ( y 0) 由3.2节知 (条件密度)