83参数的区间估计 、一个正态总体参数的区间估计 二、非正态总体均值的区间估计 三、两个正态总体参数的区间估计 四、非正态总体均值差的区间估计 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 8.3 参数的区间估计 四、非正态总体均值差的区间估计 三、两个正态总体参数的区间估计 二、非正态总体均值的区间估计 一、一个正态总体参数的区间估计
区间估计的定义 设X是以为未知参数的总体,X1,X2,…,X,是来自总体的 样本,如果对于小概率a(一般取a为01,0.05等),存在统计量 G1=1(X1,X2,…,Xn)和品2=B2(X1,X2…,Xn),使 P{61≤6≤62}=1-a 则称(1,O2)是6的置信区间称和2分别为置信下限和置信上限, 称1-a为置信度(或置信水平) 区间估计的本质含义: 以置信度1-a保证所求的置信区间(,日,)(随机区间)包含 真值θ(非随机数),这时,置信度1-a反映了区间估计的可靠性,而 置信区间的长度2-1则反映了区间估计的精度 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 1 2 , , , , , ( 0.1, 0.05 ), X X X X n 设 是以 为未知参数的总体 是来自总体的 样本 如果对于小概率 一般取 为 等 存在统计量 区间估计的定义 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , 1 . − 则称( )是 的置信区 称 和 分别为 和 称 为 间 置信下限 置信上限 置信度（或置信水平） 1 2 ˆ ˆ P{ } 1 = − 1 1 1 2 2 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ( , , , ) ( , , , ) , = = X X X X X X n n 和 使 区间估计的本质含义： 1 2 2 1 ˆ ˆ 1 , , , 1 , ˆ ˆ − − 以置信度 保证所求的置信区间( )（随机区间）包含 真值 （非随机数）这时 置信度 反映了区间估计的可靠性 而 置信区间的长度 - 则反映了区间估计的精度
、一个正态总体参数的区间估计 设X1,X2…,Xn是来自总体X~N(a2)的样本,X,S2分别 是样本均值和样本方差则由73节的抽样分布知 U计法(已知) x-μ~N( 2 2 故对于给定的置信度1-a,有 PlUkuo3=1-a PUU<uo=l-a apPxFMn<RX+Fas=1-a Px-F<u<+005=1-a 这样,我们就获得了的一个置信度为1-a的置信区间 LL,+0 √n u,X+ √n n 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 一、一个正态总体参数的区间估计 2 2 1 2 , , , ~ ( , ) , , . .3 设 X X X X N X S n 是来自总体 的样本 分别 是样本均值和样本方差 则由7 节的抽样分布知 （ 2 已知） 这样, 1 我们就获得了 的一个置信度为 − 的置信区间 / 2 / 2 P X u X u 1 n n − + = − U估计法 ~ (0,1) / X U N n − = / 2 P U u {| | } 1 = − 故对于给定的置信度1-, 有 − / 2 + / 2 , u n u X n X 2 2 即 P X u 1 n − + = − P U u { } 1 = − X u , n − +
例1包糖机某日开工包了12包糖,称得重量(单位:克)分 别为506,500,495488,504,486,505,513,521,520,512,485.假设 重量X服从正态分布且标准差为σ=10,试求糖包的平均重量 μ的置信度为0.95的置信区间 解因为a=10已知故用U估计法,由 N(0,1) a/√n 得的置信度为1-a的置信区间为 附表3 X-7a/2,X+-=la/2 √n 将a=0.05,m-12,x=50292,ln2=l10a3=196 代入可得的置信度为095的置信区间为(49726,50858) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 包糖机某日开工包了12包糖,称得重量 (单位:克) 分 别为 506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485 . 假设 例1 ~ (0,1) / X U N n − = 得 的置信度为 1 − 的置信区间为 解 因为 = 10 , 已知 故用U估计法,由 502.92, x = 10, 0.95 . X 重量 服从正态分布且标准差为 = 试求糖包的平均重量 的置信度为 的置信区间 附表3 − / 2 + / 2 , u n u X n X / 2 0.025 u u = = 代入可得的置信度为 0.95 的置信区间为（497.26, 508.58） 将 = 0.05, =12, n 1.96
个正态总体参数的区间估计表(置信度为1-a) 估计法待估参数抽样分布G(P(G)=1-a)置信区间 (双侧) UK (X± U法 a/2 (a2已知 H(单侧)U N(0,1) Ux12a(0.,(n-1)S2/x 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 一个正态总体参数的区间估计表 X u n / 2 ( / ) U法 ~ (0,1) / X U N n − = / 2 | | U u U u 估计法 抽样分布 G P G ( ( ) 1 - ) = 置信区间 2 ( 已知) 待估参数 ( ) 双侧 ( ) 单侧 ( ) 单侧 U u − ( , / ) X u n − + T法 ~ ( 1) / X T t n S n − = − ( ) 双侧 ( ) 单侧 ( ) 单侧 2 法 2 2 2 2 / 2 1 / 2 ( 1) ( 1) ( , ) n S n S − 2 2 2 − − 1 / 2 / 2 − / 2 | | T t T t T t − 2 2 2 2 ( 1) ~ ( 1) n S n − = − 2 2 ( ( 1) / , ) n S − + X u n ( / ,+ ) − X St n / 2 ( / ) ( , / ) X St n − + X St n − ( / ,+ ) 2 2 1 (0, ( 1) / ) n S − − 2 2 0 2 2 1− 2 ( ) 单侧 2 ( ) 单侧 2 ( ) 双侧 2 ( 未知) （置信度为1 −）
例1续包糖机某日开工包了12包糖称得重量(单位:克)分 别为506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485假设 重量X服从正态分布量标准差为e=G试求糖包的平均重量 的置信度为0.95的置信区间 解因为a未已知故用T估计法由A X ct(n S/ 得的置信度为1-a的置信区间为 F、S S tX+ 附表4 将a=0.05,n=-12,x=50292,tan2=tua3(11)=2201,S=1250 代入可得置信度为0.95的置信区间为(49726,50858) (50292±794) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 包糖机某日开工包了12包糖,称得重量 (单位:克) 分 别为 506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485 . 假设 例1续 ~ (0,1) / X U N n − = 得 的置信度为 1 − 的置信区间为 解 因为 = 10 , 已知 故用U估计法,由 502.92, x = 10, 0.95 . 重量X服从正态分布且标准差为 = 试求糖包的平均重量 的置信度为 的置信区间 − / 2 + / 2 , u n u X n X u / 2 = u0.025 = 代入可得的置信度为 0.95 的置信区间为（497.26, 508.58） 将 = 0.05, =12, n 1.96 未已知,故用T ~ ( 1) / X T t n S n − = − / 2 / 2 , S S X t X t n n − + / 2 0.025 t t (11) = （502.92 7.94 ） = 2.201, 12.50 S = 附表34
例2从某批灯泡中抽取5只做寿命试验,其寿命(单位:小 时)为1050,1100,1120,1250,1280.设寿命服从正态分布求 其均值p的置信度为095的置信下限 解因为σ未知,故用T估计法,由 T r(n-1) 附表4 S/√n 得的置信度为1-a的单侧置信下限为 S 将a=0.05,n=5,x=1160,s=975,tn=tos(4)=2132 代入可得的置信度为0.95的单侧置信下限为1065(小时) S 的置信度为1-a的单侧置信区间为X 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 从某批灯泡中抽取5只做寿命试验,其寿命 (单位:小 时)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280 . 设寿命服从正态分布,求 例2 的置信度为 1 − 的单侧置信区间为 得 的置信度为 1 − 的单侧置信下限为 解 因为未知,故用T估计法,由 1160, x = 其均值 0.95 . 的置信度为 的置信下限 附表4 代入可得的置信度为 0.95 的单侧置信下限为 将 = = 0.05, 5, n ~ ( 1) / X T t n S n − = − S X t n − 0.05 t t (4) = 1065 S = 99.75， = 2.132 S X t n − + ， (小时)
例3为确定某种溶液的甲醛浓度,取样得4个独立测定值的 平均值x=834%样本标准差s=0.03%设被测总体X~N(pa2) 求参数山a2及o的置信度为095的置信区间 解x=8.34%s=0.03%再由n=4,a=005查表可知 ta/2=t02563)=3.182,xa/2=xa05(3)=9.35,x1-a2=x0953)=0.216 故由T法知的置信度为095的置信区间为 (X-Stn2/Vm,x+St2/Vm)=(:2902%,8388% 而由x2法知的置信度为0.95的置信区间为 n-1)s(m-1)S2 0.000290.0125 1-a/2 1000010000 c/2 从而得o的置信度为0.95的置信区间为 (√0.00029/1000,(y0.0125/10000)=(0.017%0.112%) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 2 , 4 8.34%, 0.03%, ~ ( , ), , 0.95 . x s X N = = 2 为确定某种溶液的甲醛浓度 取样得 个独立测定值的 平均值 样本标准差 设被测总体 求参数 及 的置信度为 的置信区间 例3 / 2 / 2 ( , ) 8.292%,8.388% X St n X St n − + = / / （ ） 解 x s n = = = = 8.34%, 0.03%, 4, 0.05 再由 查表可知 故由T法知的置信度为 0.95 的置信区间为 2 2 2 2 / 2 0.025 / 2 0.025 1 / 2 0.975 = (3)=3.182, = (3)=9.35, = (3)=0.216 t t − 0.95 而由 2 2 法知 的置信度为 的置信区间为 从而得的置信度为 0.95 的置信区间为 2 2 2 2 / 2 1 / 2 ( 1) ( 1) 0.00029 0.0125 ( , ) ( , ) 10000 10000 n S n S − − − = ( 0.00029 /10000, 0.0125 /10000 ) (0.017%,0.11 = 2%)
、非正态总体均值的区间估计 如果X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本,EX=,DX=a2, 但总体不服从正态分布,则由中心极限定理知 近似 N(0,1)(当n较大时) /√ 故对大样本Gn较大),仍可用U估计法,这时置信区间仍为 (X±an2/m)或(∞,+omn/m)或(x-omn/m,+o) 如果a2未知则可用样本方差2或样本二阶中心距M2代替 例4设来自总体X的容量为100的样本均值为5,样本方差 为1,求总体均值的置信度为0.95的置信区间 解用U估计法,将n=100=5,≈S=1,ln=n=1.96代入 (X土oun2/m)可得的置信度为95的置信区间为4.80,5196) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 二、非正态总体均值的区间估计 2 1 2 , , , , , , 如果 X X X X EX DX n 是来自总体 的样本 = = 但总体不服从正态分布,则由中心极限定理知 ~ (0,1) ( ) / X U N n n − = 近似 当 较大时 故对大样本(n较大), 仍可用U估计法,这时置信区间仍为 2 2 , S M 如果 2 未知 则可用样本方差 或样本二阶中心距 代替. X u n / 2 ( / ) ( , / ) X u n 或 − + X u n 或 ( / ,+ ) − 解 0.05 U n x S u u 100, 5, 1, = =1.96 用 估计法 = = = ,将 代入 可得的置信度为0.95 的置信区间为 100 5, 1, 0.95 . 4 X 设来自总体 的容量为 的样本均值为 样本方差 为 求总体均值 的置信度为 的置信区间 例 (4.804,5.196). X u n / 2 ( / )
两个正态总体参数的区间估计 设样本X1,X2,…,X和Y1,H2,…,Fn是来自总体X~N(A1,G12) 和Y~N(2,2),并且相互独立,它们的样本均值分别为X,,样本 方差分别为S2,S2则由73节的抽样分布知 X-Y-(H1-p2) N(0,其中o=VG2/n1+a2/n T X-Y-(A--(m+2-2)(a2=a2时) 其中Q 1|(n1-1)S+(n2-1S2 (n1+n2-2) F=S102-F(n1-,n2-1 S2 与构造一个正态总体估计法的过程类似,由这三个抽样分布 出发,我们可构造两个正态总体均值差和方差比的区间估计法。 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 三、两个正态总体参数的区间估计 X X X Y Y Y X N n n Y N X Y S S 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 , , , , , , ~ ( , ) ~ ( , ), , , , . .3 设样本 和 是来自总体 和 并且相互独立,它们的样本均值分别为 样本 方差分别为 则由7 节的抽样分布知 1 2 ( ) ~ (0,1), X Y U N − − − = 1 2 1 2 ( ) ~ ( 2) X Y T t n n Q − − − = + − 2 2 （ 1 2 = 时） n S n S Q n n n n 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 ( 1) ( 1) ) ( 2) − + − = + + − 其中 2 2 其中 = + 1 1 2 2 n n 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 ~ ( 1, 1) S F F n n S = − − 与构造一个正态总体估计法的过程类似，由这三个抽样分布 出发，我们可构造两个正态总体均值差和方差比的区间估计法