93总体分布的假设检验 通常的处理方法是:先依据某种理由假设总体的一个 理论分布或分布形式,然后用获得的样本检验总体是否服从 这样的理论分布检验总体分布的方法很多,在这里我们仅 介绍分布函数的检验法 x2检验法的基本想法:假设X服从某一理论分布F(x),提出假设 Ho: F(x)=FoG)H,: F(x)* Folr) 若F(x)中包含有未知参数,可先利用极大似然法求得未知参数 的估计.然后在(-∞,+∞)内插入l-1个分点a1,a2,…,a11,构造 下面的总体分布假设检验表(一般取l=6~17) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 9.3 总体分布的假设检验 0 0 1 0 H F x F x H F x F x : ( ) : ( ) = ( ) ( ) 通常的处理方法是:先依据某种理由假设总体的一个 理论分布或分布形式,然后用获得的样本检验总体是否服从 这样的理论分布.检验总体分布的方法很多,在这里我们仅 介绍分布函数的检验法. X F x 0 2 检验法的基本想法：假设 服从某一理论分布 ( ),提出假设 0 1 2 1 ( , ) 1 6 ~ 17 l F x l a a a l − + − − = 若 ( )中包含有未知参数,可先利用极大似然法求得未知参数 的估计. 然后在 内插入 个分点 , , , ,构造 下面的总体分布假设检验表(一般取 )
总体分布假设检验表 区间划分 频数 (n12-P (=6~17) 概率 (n25)理论频数m (n1-1)2 P n 152 np 2 (n1-1-Pp1-1) l-2:l-1 1-1,+) n 合计 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 总体分布假设检验表 区间划分 2 ( ) i i i n np np − i 概率p 合计 频数ni 理论频数npi 1 (- , ] a 1 2 ( , ] a a 2 1 ( , ] l l a a − − 1 ( , ) l a − + 2 1 1 1 ( ) n np np − 2 2 2 2 ( ) n np np − 2 1 1 1 ( ) l l l n np np − − − − 2 ( ) l l l n np np − 2 1 p 2 p l 1 p − l p 1 n1 n2 nl−1 nl n np1 np2 npl−1 npl n 5 ni ( ) l = 6 ~ 17 ( )
皮尔逊证明了: 在n→∞时,样本观测值x1,x2,…,xn落入每一个区间的个 数n,n2,…,nn(即频数,一般要求n1≥5,不足5时可以合并区间) 与理论频数m,m2…m间的差异统计量x2=∑m (见上表)的分布趋于自由度为l-k-1的x2分布,其中l是划分 的区间个数,k是理论分布函数F(x)中需要利用极大似然法估计 的参数个数.亦即,对大样本(一般要求n≥50)有 (n2-m1) 近似 x2(-k-1) 故否定假设H0:F(x)=F(x)的拒绝条件(或拒绝域)为 x2=2 (n1-即) (-k-1) i=1 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 皮尔逊证明了： 2 2 1 ( ) l i i i i n np np = − = 1 2 1 2 , ( 5, 5 ) n n i n x x x n n n n → 在 时 样本观测值 , , , 落入每一个区间的个 数 , , , 即频数,一般要求 不足 时可以合并区间 0 1 ( 50) l k l k F x n − − 2 (见上表)的分布趋于自由度为 的 分布,其中 是划分 的区间个数, 是理论分布函数 ( )中需要利用极大似然法估计 的参数个数. 亦即,对大样本 一般要求 有 2 2 2 1 ( ) ~ ( 1) l i i i i n np l k np = − = − − 近似 0 0 故否定假设H F x F x : ( ) = ( )的拒绝条件(或拒绝域)为 2 2 2 1 ( ) ( 1) l i i i i n np l k np = − = − − 与理论频数 np np np 1 2 n , , , 间的差异统计量
例1某材料的抗断强度原来呈正态分布,今改变了配料 方案,做了66次抗断性强度试验,所得数据(单位:N/mm2)如下 20.0,13.7,191,11.3,15.3,18.2,138,218,24,9,13.9,26,9 14.5,168,23.5,194,19.8,16.3,20.7,17.1,177,193,156 194,13.7,15.7,18.2,22.1,16.3,192,19.4,10.9,13.9,135 16.1,20.5,15,1,14.9,22.6,178,20.7,16,4,19.0,193,12.0 157,14.0,13.8,18.2,13.1,16.1,16.3,17.1,22.3,11.9,15.7 18.1,19.0,20.1,16.9,17.1,23.7,20.5,156,17.2,23.1,191 试问这种建筑材料的抗断强度仍呈现正态分布吗(=0.05)? 解设抗断强度为X,问题化为检验假设H:X~N(2) 为求未知参数u,a2,用极大似然估计,得 x=17.558, (x1-x)2=3.133 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 某材料的抗断强度原来呈正态分布,今改变了配料 方案,做了66次抗断性强度试验,所得数据(单位:N/mm2 )如下： 例1 20.0, 13.7, 19.1, 11.3, 15.3, 18.2, 13.8, 21.8, 24.9, 13.9, 26.9 14.5, 16.8, 23.5, 19.4, 19.8, 16.3, 20.7, 17.1, 17.7, 19.3, 15.6 19.4, 13.7, 15.7, 18.2, 22.1, 16.3, 19.2, 19.4, 10.9, 13.9, 13.5 16.1, 20.5, 15.1, 14.9, 22.6, 17.8, 20.7, 16.4, 19.0, 19.3, 12.0 15.7, 14.0, 13.8, 18.2, 13.1, 16.1, 16.3, 17.1, 22.3, 11.9, 15.7 18.1, 19.0, 20.1, 16.9, 17.1, 23.7, 20.5, 15.6, 17.2, 23.1, 19.1 试问这种建筑材料的抗断强度仍呈现正态分布吗(α=0.05)? 2 0 2 , : ~ ( , ). , X H X N 设抗断强度为 问题化为检验假设 为求未知参数 ,用极 解 大似然估计,得 1 1 ˆ 17.558, n i i x n = = = 2 2 2 1 1 ˆ ( ) 3.133 n i i x x n = = − =
解设抗断强度为X问题化为检验假设H:X~N(mo2) 为求未知参数u,a2,用极大似然估计,得 ∑ x.=17.558 12 x.-x)2=3.,1332 n 这时由 X--M0,1)知理论分布函数为 X-1758x-17.558 Fo(=PXsx =P d/x-1.558 3.133 3.133 3.133 取分点14.0,15.9,16.7,18.0,19.5,21.0,将(-∞,+) 分为7个子区间,并计算x2值得总体分布假设检验表 由表中计算结果并查2分布表知 x2=4.8794<x2(-k-1)=x5(7-2-1)=949 故接受假设Hn,即认为改变配料方案后,X~N(17558,3.1332) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 2 0 2 , : ~ ( , ). , X H X N 设抗断强度为 问题化为检验假设 为求未知参数 ,用极大似然估计,得 解 1 1 ˆ 17.558, n i i x n = = = 2 2 2 1 1 ˆ ( ) 3.133 n i i x x n = = − = ~ (0,1) X N − 这时由 知理论分布函数为 0 17.558 17.558 17.558 ( ) { } 3.133 3.133 3.133 X x x F x P X x P − − − = = = 取分点14.0，15.9，16.7，18.0，19.5，21.0，将(- ,+ ) 分为 2 7个子区间,并计算 值得 总体分布假设检验表 由表中计算结果并查 2 分布表知 2 =4.8794 2 2 0.05 ( 1) (7 2 1) 9.49 l k − − = − − = 2 0 故接受假设H X N ,即认为改变配料方案后, ~ (17.558, 3.133 )
例2观察2880个婴儿出生时刻知0~24小时各时间间 隔(每间隔1小时)出生婴儿人数如下: 127,139,142,138,134,115,127,113,126,122,121,119 130,125,112,97,115,94,99,97,100,119,127,139 眼可以看出,出生人数更多地集中在夜间试问这种倾向 是否显著(α=0.05) 解设X表示婴儿出生的时刻则问题化为检验假设 H0:P1=P{-1<X≤}=,(i=1,2,…,24) 24 由假设知n2=2880/24=120,从而有 x2-∑-吗)= (n2-120)2 120 =40467≥x22(24-0-1)=352 故拒绝H,即认为出生时刻不均匀,而是更多地集中在夜间 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 观察2880个婴儿出生时刻知0～24小时各时间间 隔(每间隔1小时)出生婴儿人数如下: 例2 解 设X表示婴儿出生的时刻,则问题化为检验假设 127, 139, 142, 138, 134, 115, 127, 113, 126, 122, 121, 119 130, 125, 112, 97, 115, 94, 99, 97, 100, 119, 127, 139 一眼可以看出,出生人数更多地集中在夜间,试问这种倾向 是否显著(α=0.05)? 2880 / 24 120 npi 由假设知 = = ,从而有 0 1 : { 1 } ( 1,2, ,24) 24 H p P i X i i i = − = = 24 24 2 2 2 1 1 ( ) ( 120) 40.467 120 i i i i i i n np n np = = − − = = = 2 0.05 (24 0 1) 35.2 − − = 故拒绝 H0 ,即认为出生时刻不均匀,而是更多地集中在夜间