节目录 第八章参数估计 8.1参数的点估计 82估计量的评价标准 83参数的区间估计 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 节目录 8.1 参数的点估计 8.2 估计量的评价标准 第八章 参数估计 8.3 参数的区间估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的 某些参数或者参数的某些函数如: 估计新生儿的平均体重 估计湖 中鱼数 A 参数估计有点估计法和区间估计法两种: 点估计就是要构造一个统计量来估计未知参数,如 6=b(X1,X,,…,X, 25 区间估计则要构造两个统计量2=(X1,X2,…,Xn)(i=1,2) 估计未知参数e,并给出估计的概率 p{∈(,x,…,X,X,…,x,)=1-a 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的 某些参数或者参数的某些函数.如： 参数估计 估计新生儿的平均体重 估计湖 中鱼数 点估计就是要构造一个统计量来估计未知参数, 如 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) = X X X n 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) (i=1,2) , i i n X X X 区间估计则要构造两个统计量 = 估计未知参数 并给出估计的概率: ( 1 1 2 2 1 2 ) ˆ ˆ ( , , , ), ( , , , ) 1 P X X X X X X = − n n 参数估计有点估计法和区间估计法两种:
81参数的点估计 矩估计法 二、极大似然估计法 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 8.1 参数的点估计 一、矩估计法 二、极大似然估计法
、矩估计法 矩估计法是英国统计学家K皮尔逊最早 提出的.其基本思想是用样本矩估计总体矩 理论依据:大数定律 设X1,X2,…X是来自总体X的样本则由辛 钦大数定律知:当总体的k阶原点矩存在时,有 K皮尔逊 样本k阶矩A=∑X-"→EX(n→ 由此可得矩估计法: 设61,O2,…O是总体分布的r个参数则可建立矩估计方程: EX(k=1,2 解之得e的矩估计量:日=8(X1,X2,…Xn)(k=1,2,…,r) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） K.皮尔逊 一、矩估计法 提出的. 其基本思想是用样本矩估计总体矩. 理论依据: 矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早 大数定律 1 2 , , X X X X n k 设 是来自总体 的样本,则由辛 钦大数定律知：当总体的 阶原点矩存在时,有 样本 k 阶矩 1 1 ( ) n k k P k i i A X EX n n = = ⎯⎯→ → 由此可得矩估计法： 1 2 , , , r 设 是总体分布的r个参数,则可建立矩估计方程： ( 1, 2, , ) k A EX k r k = = 解之得 i 的矩估计量： 1 2 ˆ ˆ , , ) ( 1,2, , ) k k n = = （X X X k r
例1灯泡厂从某天生产的一大批灯泡中随机抽取10只 进行寿命检查测得数据如下(单位:小时) 1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200 试估计该日生产的该批灯泡的寿命均值及寿命标准差 解设该批灯泡的寿命为X,则由矩估计法知 X=M=EX, M2=EX=DX+(Ex) 解之得EX与DX的矩估计量: EX=M1=X=1∑x,Dx=M2-x=4∑(x,-X) 将10个数据代入,可知EX与DX和DX的矩估计值分别为 EX=×(1050+1100+…+1200)=1147 DX=x(972+472+…+532)=6281,√DX=√6281=7925 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 10 , 灯泡厂从某天生产的一大批灯泡中随机抽取 只 进行寿命检查 测得数据如下（单位：小时） 例1 解 2 2 1 2 X M EX M EX DX EX = = = = + ， ( ) 解之得EX DX 与 的矩估计量： 1 1 1 , n i i EX M X X n = = = = 1050,1100,1080,1120,1200,1250,1040,1130,1300,1200 试估计该日生产的该批灯泡的寿命均值及寿命标准差. 设该批灯泡的寿命为X, 则由矩估计法知 2 2 2 2 1 1 ( ) n i i DX M X X X n = = − = − 将10个数据代入,可知EX DX DX 与 和 的矩估计值分别为： 1 (1050 1100 1200) 1147 10 EX = + + + = 1 2 2 2 (97 47 53 ) 6281, 10 DX = + + + = DX = = 6281 79.25
例2设总体X在0,0上服从均匀分布,其中的>0是未知 参数,若取样本为X1,2,…,Xn,求日的矩估计 解由X在0,上服从均匀分布知 EX= 2 故由矩估计法知 X=M=EX= 所以0的矩估计量为 6=2X 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 1 2 [0, ] , 0 , , , , , . n X X X X 设总体 在 上服从均匀分布 其中 是未知 参数 若取样本为 求 的矩估计 例2 解 由X 在[0, ] 上服从均匀分布知 1 2 X M EX = = = 所以的矩估计量为 1 2 ˆ 2 n i i X X n = = = 2 EX = 故由矩估计法知
例3设总体X~N(,a2),其中和a2均为未知参数,若 抽取的样本观察值为x1,x2…,xn,求和a2的矩估计值 解由矩估计法知 M=EX =u M=EX= DX +(EX)=0+A 解之得和a2的矩估计量为 =M1=X,G2=M2-X2=M2 从而p和a2的矩估计值为 ∑x,a2=m2-x2=m2=∑(x1-x 从解题过程可知,本题无需假设总体服从正态分布N(A,a2) 只要总体的均值与方差a2存在即有本题的结论 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 2 2 2 1 2 ~ ( ), , , , , , . n X N x x x 设总体 , 其中 和 均为未知参数 若 抽取的样本观察值为 求 和 的矩估计值 例3 解 由矩估计法知 1 2 2 2 2 2 ( ) M EX M EX DX EX = = = = + = + 2 解之得 和 的矩估计量为 2 2 1 2 2 ˆ = = = − = M X M X M ， ˆ 2 从而 和 的矩估计值为 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ˆ ˆ ( ) n n i i i i x x m x m x x n n = = = = = − = = − ， N( ) 2 2 从解题过程可知，本题无需假设总体服从正态分布 , ， 只要总体的均值 与方差 存在即有本题的结论
二、极大似然估计法 极大似然法是在总体分布已知情况 下使用的一种参数估计方法.它首先是 由德国数学家高斯 在1821年提出的, 然而,这个方法常 归功于英国统计学 家费歇 G auss 费歇在1922年重新发现了这一方 Fi Isher 法,并首先研究了该方法的一些性质 下面分别就离散型和连续型分布讨论极大似然法 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 二、极大似然估计法 极大似然法是在总体分布已知情况 Gauss 下使用的一种参数估计方法. 它首先是 费歇在1922年重新发现了这一方 法, 并首先研究了该方法的一些性质. 由德国数学家高斯 在 1821年提出的 , 然而，这个方法常 归功于英国统计学 家费歇 . 下面分别就离散型和连续型分布讨论极大似然法. Fisher
对离散型随机变量:设总体X的分布律为 P{X=x=p(x;6,日2,日) 其中(a,B,…,)是未知参数x1,x2,…,x是总体X的一个 样本观测值,则(x,X2…,X)在(x1,x2,…,x)取值的概率为 PX1=x,X2=x,,XKn=xn}=1PX=x}=L(1,02,…) i=1 其中L(2,B,…,0)=Ⅱp(x;0,B,…,)称为似然函数 由于(x1,x2,…xn)作为样本的一次观测值已经出现,故根据 实际推断原理,日1,B2,…的选取就应使似然函数L(日,a2,…,)取最大 亦即,B1,O2,…,的估计值,B2,…,O(称为极大似然估计值应满足 L(61,B,…,6)=max(,2,…,) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 对离散型随机变量： 1 2 { } ( ; , , , ) P X x p x = = r 其中 ( 1 2 , , , r ) 是未知参数， 1 2 ( , , , ) n x x x 是总体 X 的一个 其中 样本观测值，则 ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 , , , ; , , , n r i r i L p x = = 称为 1 2 ( , , , ) X X X n 1 2 ( , , , ) n 在 x x x 取值的概率为 1 1 2 2 1 { , , , } { } n n n i i i P X x X x X x P X x = = = = = = = L( 1 2 , , , r ) 1 2 ( , , , ) n 由于 x x x 作为样本的一次观测值已经出现,故根据 1 2 1 2 , , , , , , 实际推断原理, r r 的选取就应使似然函数L( )取最大. 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ , , , , , , r r 亦即, 的估计值 (称为极大似然估计值)应满足 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ , , , max , , , L L r r ( )= ( ) 似然函数. 设总体X的分布律为
由于似然函数L(61,02,…,0)与1nL(,02,…,)的最大值点相同 故L(B,B2,…,)的最大值点可从下面取极值的必要条件解出: lnL(,B2,…,6)=0(k=1,2,…,r)(称为对数似然方程) 对连续型随机变量,可用完全类似的方法构造极大似然估计, 这只需用分布密度f(x;,2…,0)替换似然函数中的分布律即可即令 2)=/(x:a,a,…,) 由于极大似然估计值B,B2,…0与样本观测值有关,故记作 15~25 )(k=1,2,…r) 与之相应的极大似然估计量为 6(X1,X2…,Xn)(k=1,2,…r) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 对连续型随机变量, 1 2 ˆ ˆ ˆ , , , r 由于极大似然估计值 与样本观测值有关,故记作 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) ( 1,2, ) k k n = = x x x k r 与之相应的极大似然估计量为 1 2 ˆ ˆ ( , , , ) ( 1,2, ) k k n = = X X X k r 1 2 1 2 , , , , , , L L r r 由于似然函数 ( ) 与ln ( )的最大值点相同 1 2 , , , L r 故 ( ) 的最大值点可从下面取极值的必要条件解出： 1 2 ln , , , 1,2, , r k L k r = ( )=0（ ） 可用完全类似的方法构造极大似然估计, （称为对数似然方程） 1 2 ( ; , , , ) , r 这只需用分布密度 f x 替换似然函数中的分布律即可 即令 ( 1 2 1 2 ) ( ) 1 , , , ; , , , n r i r i L f x = =