32边缘分布 二维随机变量分布函数F(x,y)=P(X≤x,y≤y (xY)作为一个整分布律P1=PX=x,Y=y 体,具有联合概 分布密度∫(x,y) a F(x, y) 率分布 axon 」问题 其中的X作为单 分布函数F(x)=P{X≤x} 变量,也是一维 =x 随机变量,也应 →分布律=PX dF(x) 写法 有它的概率分布 分布密度f(x) dx 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 3.2 边缘分布 二 维 随 机 变 量 (X,Y )作为一个整 体, 具有联合概 率分布 分布函数F(x, y) = P{X x,Y y} { , } i j i j 分布律 p = P X = x Y = y 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y = 分布密度 其中的X作为单 变量, 也是一维 随机变量, 也应 有它的概率分布 分布函数F(x) = P{X x} { } 分布律 pi = P X = xi = x F x f x d d ( ) 分布密度 ( ) 问题 写 法
设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y 则F(x)=P(XSx}=PXSx,Y<+叫=F(x,+)<x的 F(y)=P{Ysy}=P(X<+aYsy=F(+∞y)<Y的」 设二维离散型随机变量的联合分布律为 P;=P{X=x,Y=y}(i,j=1,2,…) d Pi i=P(X=x)=PX=x;,r<+ooy X的分布律 ∑P{X=x,Y=y}=∑P;(t=1,2,) P=P{Y=y}=P{X<+,Y=y;} Y的分布律 ∑ PX y=}=∑P1 L= 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） F(x, y) = P{X x,Y y} 设二维 则 F ( x) = P{X x} = F(x,+ ) F ( y) = P{Y y} = F(+ , y) X Y p = P{X = x ,Y = y } (i, j = 1,2, ) i j i j 设二维离散型随机变量的联合分布律为 i 则 p { } = P X = xi = = j 1 pi j (i = 1,2, ) = = = = 1 { , } j i j P X x Y y { }j = P Y = y = = i 1 pi j ( j = 1,2, ) = = = = 1 { , } i i j P X x Y y = P{X x,Y + } = P{X + ,Y y} = P{X = x ,Y + } i { , }j p j = P X + Y = y 随机变量(X,Y )的联合分布函数为 X 的 Y 的 Y 的分布律 X 的分布律
(X,Y)的分布律:PX=x}=P=∑P/(i PX=x) 11 Pie 21 22 2● i2 ● ●1 ●2 P PY=y}=p=∑P(j=1,2,…) 一边缘分布律 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） X Y y1 y2 y j xi x x 2 1 p1 1 p12 p1 j p21 p2 2 p2 j pi1 pi 2 pi j (X,Y )的分布律： = = = • = 1 { } j P X xi pi pi j = = = • = 1 { } i j j i j P Y y p p P{Y = y j } { }i P X = x 1 边缘分布律 p1• p2• pi• p•1 p•2 p• j ( j = 1,2, ) (i = 1,2, )
设二维随机变量X,Y的联合分布函数为F(x,y) 则F(x)=P{X≤x}=F(x,+∞) 边缘分布函数 F(y)=P{Y≤y=F(+∞,y) 设二维离散型随机变量的联合分布律为P 则 PX=x}=∑P/( 边缘分布律 }=∑P 设二维连续型随机变量的联合密度为∫(x,y) 则f(x)-。f(xy)dy 边绿分布密度 f(y)=」(x,dx 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） F( x, y) 设二维离散型随机变量的联合分布律为 则 i p { }i = P X = x = = j 1 pi j (i = 1,2, ) { }i = P Y = y = = i 1 pi j ( j = 1,2, ) p j 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 pi j f ( x, y) 则 f X (x) = + − f (x, y)d y f Y ( y) = 设二维连续型随机变量的联合密度为 边缘分布律 + − f (x, y)d x 边缘分布密度 边缘分布函数 则 F ( x) = P{X x}= F(x,+ ) F ( y) = P{Y y} = F(+ , y) X Y
边缘分布密度的几何解释 z=f(,y) fy(y (面积) ∫x(x)=」f(x,y)dy(面积) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 边缘分布密度 y x + − f x = f x y y X ( ) ( , )d f ( y) Y (面积) x 的几何解释 (面积) V = 1 z = f (x, y) O z
例1求上节例1中定义的(X,Y)的边缘分布律 解ⅹ 14 上节 已得2 1818 1/4 联合3121121/12 分布 161/4 边绿 25 13 7 3 分布 48 48 48 48 注意联合分布 边缘分布 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） i • p j p• 注意 联合分布 边缘分布 解 1 求上节例1中定义的(X,Y )的边缘分布律. 48 25 48 13 48 7 48 3 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4 X Y 1/ 4 1/ 8 1/12 1/16 0 1/ 8 1/12 1/16 0 1/12 1/16 0 0 1/16 1 2 3 4 1 2 3 4 0 0 例1 上节 已得 联合 分布 边缘 分布
例2求上节例2中定义的(XY)的边缘分布密度 解上节已求得∫(x,y) e(2x+y),x>0,y>0 其它 对y积分便得(XY关于X的边缘分布密度 P+0 (-r(x,)dy= n2c=22,x>0 0 ,x≤0 对x积分便得(X,Y)关于Y的边缘分布密度 fr (y)=f(,y)dx= o 2e(2x+dx=e ,y>0 + +oO 0 y≤0 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） = , 0 , 0 y y 解 例2 求上节例2中定义的(X,Y )的边缘分布密度. 上节已求得 对y 积分便得(X,Y )关于X 的边缘分布密度 = − + 0, 其它 2e , 0, 0 ( , ) (2 ) x y f x y x y 对x 积分便得(X,Y )关于Y 的边缘分布密度 + − f x = f x y y X ( ) ( , )d , 0 , 0 x x = 2 x 2e − = + − f Y ( y) = f (x, y)d x + − + 0 (2 ) 2e d x x y − y = e + − + 0 (2 ) 2e d y x y 0 0
例3设二维随机变量(X,)的概率密度为 exp 1|(x-A)_,n(x-A1(y-H2)(y-2 ∫(x,y)= 2G121-p 其中的1,P2,O1,O2,p都是常数且σ1>0,a2>0pk1 称此(X,)是服从参数为1,P2,01,G2,P的二维正态分布 记作N(x1,H2,2,2,p),求此(x,Y)的边缘分布密度 注意联合分布密度可改写成 (y-2)n(x-1)(x-1) exp P f∫(x,y) 2丌G10, 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) (1 ) 1 2 1 exp ( , ) σ σ ρ σ x μ ρ σ y μ ρ f x y − − − − − − = 注意 例3 设二维随机变量(X,Y )的概率密度为 ,求此 (X,Y ) 的边缘分布密度. 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 ( )( ) ( ) 2 ( ) 2(1 ) 1 exp ( , ) σ σ ρ σ y μ σ σ x μ y μ ρ σ x μ ρ f x y − − + − − − − − − = , , , , , 0, 0,| | 1. 其中的μ1 μ2 σ1 σ2 ρ都是常数 且σ1 σ2 ρ 称此(X,Y)是服从参数为μ1 , μ2 ,σ1 ,σ2 , ρ的 二维正态分布. 记作 联合分布密度可改写成 2 1 2 1 2 ( ) σ x − μ − ( , , , , ) 2 2 2 1 2 1 N μ μ σ σ ρ
(y-P2)(x-A)L(x-1) ex 2(1-p 2 ∫(x,y)= 2兀0102 d 解作替换 1(-2)_n(x-A) J =dt + +oO Sx(x)=f(x,y d y=vcor d-co exp- (2(x=)7dr 20; (x-1) e e 2 dt e 2丌G 2丌 √2丌G1 同理0)=。(x,dx= 27二维正态分布的两边 √2丌G, 缘分布都是一维正态 亦即x~NA,G1,Y~N,a)分布且都与无关 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 解 作替换 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) 1 2 1 exp ( , ) σ σ ρ σ x μ σ x μ ρ σ y μ ρ f x y − − − − − − − − = t σ x μ ρ σ y μ ρ = − − − − 1 1 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 ,则 + − f x = f x y y X ( ) ( , )d + − − = − − t σ t x μ σ d 2 ( ) 2 exp 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 e 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 = − − σ x μ σ 2 1 2 1 2 ( ) 1 e 2 1 σ x μ σ − − = + − f y = f x y x 同理 Y ( ) ( , )d 2 2 2 2 2 ( ) 2 e 2 1 σ y μ σ − − = ~ ( , ) 2 Y N 2 2 ~ ( , ), 2 亦即 X N 1 1 二维正态分布的两边 缘分布都是一维正态 分布,且都与ρ无关. + − − t t e d 2 2 2 t t ρ y d 1 d 2 2 = −
二维正态分布的图形(1) 11=2=0,41=02=1,p=0 0.15 0.1 0.05 2 0 0 2 0 2 2 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 二维正态分布的图形(1)