1.2事件的频率与概率 事件的频率 二、概率的公理化体系 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 1.2 事件的频率与概率 一、事件的频率 二、概率的公理化体系
、事件的频率 定义1在相同条件下,进行n次试验,在n次试验中, 事件A发生的次数n称为事件A发生的频数比值4称为 事件A发生的频率记作f(A) 频率满足下述三条基本性质: 1°(非负性)对任一事件4,有fn(4)≥0 2(规范性)对必然事件_2,有fn(2)=1 3(有限可加性)对两两互斥事件41,A2,…A,有 川∑4=∑f(4) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） , , , , ( ) 1 . . A A n n n n A n A n A f A 在相同条件下 进行 次试验 在 次试验中 事件 发生的次数 称为事件 发生的频数 比值 称为 事件 发生的频率 记作 定义 一、事件的频率 频率满足下述三条基本性质： 1（非负性） 对任一事件A,有f n (A) 0 2 , ( ) 1 n （规范性） 对必然事件 有 f = 1 2 3 , , , （有限可加性） 对两两互斥事件A A Ak 有 = = = k i n i k i fn Ai f A 1 1 ( )
例1将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍, 观察正面出现的次数及频率. 试验 n=5 n=50 n=500 序号 na f(A) fn(4) 4|fn(4 2 0.4 nMM 2510.502 3 在处波动较大2490.498 3 042 2560512 5 随n的增大频率∫呈现出稳定性6 在处波动较小 0.48 2510.502 0.4 21 0.42 波动最小p 7 0.8 18 0.36 2440.488 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 将一枚硬币抛掷5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 例1 nA f (A) n 试验 序号 nA f (A) n nA n = 5 n = 50 n = 500f (A) n 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 22 25 21 25 24 21 18 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 251 249 256 253 251 246 244 在 处波动较大 2 1 在 处波动较小 2 1 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性
著名试验 蒲丰 试验者 f,(a) 德摩根2048 1061 05181 蒲丰4040 2048 0.5069 皮尔逊12000 6019 0.5016 皮尔逊24000 12012 0.5005 ∫,(4)m的增大1 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 试验者 德摩根 蒲 丰 皮尔逊 皮尔逊 n nA f (A) n 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 f (A) n n的增大 2 1 著名试验 蒲丰
从上述数据不难看出,频率具有如下特性 (1)随机波动性当n较小时,频率∫(4)在0-1之间随机 波动,其幅度较大,即使对同样的n,所得的频率∫(4)也不尽 相同; (2)统计规律性随n的增大,频率fn(4)呈现出稳定性, 逐渐稳定于某个常数p(如0.5).因此,用频率的这个稳定值 来表示事件发生的可能性大小是合适的 故把频率的这个稳定值p作为事件发生的可能性大小 的度量,称之为事件4的概率,记作P(4即有 概率的统计定义P(A)=p≈fn(A)(无法计算) 频率的稳定性和基本性质启示我们给出如下的公理化定义 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 从上述数据不难看出，频率具有如下特性 (2) 统计规律性 随n的增大, 频率fn (A)呈现出稳定性, 逐渐稳定于某个常数 p (如0.5). 因此, 用频率的这个稳定值 来表示事件发生的可能性大小是合适的. 故把频率的这个稳定值 p 作为事件发生的可能性大小 的度量,称之为事件A的概率,记作P(A). 即有 概率的统计定义 (1) 随机波动性 当n较小时, 频率 fn (A)在0~1之间随机 波动, 其幅度较大, 即使对同样的n, 所得的频率 fn (A)也不尽 相同； ( ) ( ) P A p f A = n （无法计算） 频率的稳定性和基本性质启示我们给出如下的公理化定义
概率的公理化体系 柯尔莫哥洛夫 1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公 理化体系,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速发展 定义2设为试验E的样本空间,的子集A是随机事 件,称实值函数P(4)为A的概率,如果P(4)满足下述三条 公理 1°(非负性)对任一事件,有P(4)≥0 2(规范性)对必然事件2有P(2)=1 3(完全可加性)对两两互斥事件列A,A2,…,有 oo ∑4=∑P(4) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公 理化体系, 给出了概率的严格定义, 使概率论有了迅速发展. 二、概率的公理化体系 柯尔莫哥洛夫 定义2 设Ω为试验 E 的样本空间, Ω 的子集 A 是随机事 件, 称实值函数 P(A) 为 A 的概率，如果 P(A) 满足下述三条 公理 1（非负性） 对任一事件A,有P(A) 0 2（规范性） 对必然事件,有P() = 1 3（完全可加性） 对两两互斥事件列 A1 , A2 , ,有 = = = 1 1 ( ) i i i P Ai P A
上述定义称为概率的公理化定义,由此定义容易推得 定理1(概率的基本性质)满足上述三条公理的概率 P(4)具有下列基本性质: 1°对不可能事他,有P()=0 2(有限可加性)对两两互斥的事件A1,A2,…A,有 ∑ ,P(4) 3设A,B是任意两个随机事件若AcB,则有 P(B-A=P(B)-P(A), P(B)2P(A) 4对任一随机事件4,有 P(4)≤1,P(A)=1-P(A) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 定理1（概率的基本性质） 2（有限可加性） 对两两互斥的事件A1 , A2 , Ak ,有 = = = k i i k i P Ai P A 1 1 ( ) 1 对不可能事件,有 P() = 0 3 设A,B是任意两个随机事件,若A B,则有 P(B− A) = P(B)− P(A), P(B) P(A) 4 对任一随机事件A,有 P(A) 1, P(A) = 1− P(A) 上述定义称为概率的公理化定义，由此定义容易推得 满足上述三条公理的概率 P (A) 具有下列基本性质：
性质的证明 1对不可能事他,有P()=0 证由=!+⑦++…及概率的完全可加性得 P(2)=P()+P()+P(x)+ 将P(2)=1代入知0=P(∞)+P(∞)+ 再由P()≥0知P()=0 2(有限可加性)对两两互斥的事件A1,42,…4,有 ∑4=∑P(4) 证令A42=(>k),则由公理1与公理3得 4|=P24=∑P(4)=∑P(4) i=1 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 证 由 = + + + 及概率的完全可加性得 P( ) = P( ) + P() + P() + P() = 0 将P() = 1代入知 0 = P() + P() + 再由P() 0知 1 对不可能事件,有 P() = 0 性质的证明 2（有限可加性） 对两两互斥的事件 A1 , A2 , Ak ,有 = = = k i i k i P Ai P A 1 1 ( ) 令Ai = (i k), 则由公理1与公理3得 = = = = = = = k i i i i i i k i P Ai P A P A P A 1 1 1 1 ( ) ( ) 证
3设4,B是任意两个随机事件若AcB,则有 P(B-A=P(B)-P(A), P(B)2P(A) 证由B=A+(B-A)及性质2知 P(B)=P(A)+P(B-A B A 于是P(B-A)=P(B)-P(A) 又因P(B-A)≥0,故P(B)≥P(A) 4对任一随机事件4,有P(4)≤1,P(A)=1-P(A) 证因为4∪A=2,A∩A=,P()=1, 所以1=P(2)=P(AUA)=P(A)+P(A4) 从而P(A)=1-P(A4) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 证 B A 由B = A+ (B− A)及性质2 知 P(B) = P(A) + P(B − A) 又因 P(B − A) 0, 于是 P(B − A) = P(B) − P(A). 3 设A,B是任意两个随机事件,若A B,则有 P(B− A) = P(B)− P(A), P(B) P(A) 故 P(B) P(A) 因 为 A A = , A A = , P() = 1, 从而 P A P A ( ) 1 ( ) = − 证 所 以1 = P( ) = P(A A) = P(A) + P(A) 4 对任一随机事件A,有 P(A) 1, P(A) = 1− P(A)
加法定理对于任意二事件A,B有 P(A∪B)=P(A)+PB)-P(AB)(加法公式 证由A∪B=A+(B-AB)及性质得 P(aUB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB) 加法公式的推广 P(41∪A2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2)-P(42A3)-P(A143)+P(4142A3) P(41∪42U…∪A)=∑P(4)-∑P(44) lsi< isI +∑P(44,4)+…+(-1)P(A142…A) l≤i<j<k≤n 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 对于任意二事件A,B 有 证 由 A B = A+ (B − AB) P(A B) = P(A) + P(B − AB) P(A B) = P(A) + P(B) − P(AB) 加法定理 (加法公式) 及性质得 = P(A) + P(B) − P(AB) 加法公式的推广 ( ) P A1 A2 A3 = P(A1 )+ P(A2 )+ P(A3 )− ( ) ( ) ( ) ( ) − P A1 A2 − P A2 A3 − P A1 A3 + P A1 A2 A3 ( ) P A1 A2 An = = − i j n i j n i P Ai P A A 1 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 2 1 1 n n i j k n P Ai Aj Ak P A A A − + + + −
