节目录 第五章随机变量的数字特征 5.1数学期望 52方差 53协方差与相关系数 54原点矩与中心矩 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 节目录 5.1 数学期望 5.2 方差 第五章 随机变量的数字特征 5.3 协方差与相关系数 5.4 原点矩与中心矩
在实际问题中,我们常对随机变量的某些特征 更为关注.例如,在检查一批灯泡的质量时,既需要 注意灯泡的平均寿命,又需要注意这批灯泡的稳定 性(即相对于平均寿命的偏离程度),平均寿命越长、 偏离程度越小,质量就越好.可见,与随机变量有 关的某些数字虽然不能完整地描述随机变量,但 能描述随机变量在某些方面的重要特征 这一章我们将介绍随机变量的几个常用的数 字特征 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 在实际问题中, 我们常对随机变量的某些特征 更为关注. 例如, 在检查一批灯泡的质量时, 既需要 注意灯泡的平均寿命, 又需要注意这批灯泡的稳定 性(即相对于平均寿命的偏离程度), 平均寿命越长、 偏离程度越小, 质量就越好. 可见, 与随机变量有 关的某些数字虽然不能完整地描述随机变量, 但 能描述随机变量在某些方面的重要特征. 我们将介绍随机变量的几个常用的数 字特征. 这一章
51数学期望 例1在检查一批灯泡的质量时,从中抽取了10 个灯泡,测得各灯泡的寿命(单位:小时)分别为 700,750,750,800,800,800,850,850,900,900 试求这些灯泡的平均寿命 解显然,这些灯泡的平均寿命为 出现频率 10-(700×1+750×2+800×3+850×2+900×2) 加权 平均 2 3 2 2 =700× 750×+800×850×+900 810 10 10 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 例1 在检查一批灯泡的质量时, 从中抽取了10 个灯泡, 测得各灯泡的寿命(单位: 小时)分别为 700, 750, 750, 800, 800, 800, 850, 850, 900, 900 试求这些灯泡的平均寿命. 解 5.1 数学期望 1 (700 1 750 2 800 3 850 2 900 2) 700 750 10 1 2 3 2 2 810 10 10 10 10 10 800 850 900 + + + + = + + + + = 显然, 这些灯泡的平均寿命为 出现频率 加权 平均
定义1对于离散型随机变量X,设其分布律为 P{X=}= (=1, 2, ... 则称级数xP(当该级数绝对收敛时)的和为X的数 k=1 学期望,简称期望,记为E(X)或EX,即EX=xPk k=1 对于连续型随机变量,设其分布密度为f(x), 则称积分xf(x)dx(当其绝对收敛时)的值为X的 数学期望,记为E(X)或EX,即EX=xf(x)dx ∞ 概率统计(ZYH)
概率统计（ZYH） 定义1 { } ( 1,2, ) P X x p k = = = k k 对于离散型随机变量X, 设其分布律为 1 , , ( ) , k k k x p X E X EX = 则称级数 (当该级数绝对收敛时)的和 数 学期 为 的 望 简称期望 记为 或 即 1 k k k EX x p = = 对于连续型随机变量X, 设其分布密度为f (x) , x f x x X ( )d ( − 则称积分 当其绝对收敛时)的值为 的 数学期望, ( ) , 记为E X EX 或 即 EX x f x x ( )d − =
例2甲、乙两人进行打靶,所得分 数分别记为X,Y设它们的分布律分别为 012 012 Y 0.10.60.3 0.40.20.4 试评定甲、乙两人成绩的好坏 解EX=0×0.1+1×0.6+2×0.3=12 EY=0×0.4+1×0.2+2×0.4=1.0 故乙的成绩不如甲 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 甲、乙两人进行打靶, 所得分 数分别记为X,Y.设它们的分布律分别为 试评定甲、乙两人成绩的好坏. 0 1 2 0 1 2 ~ , ~ 0.1 0.6 0.3 0.4 0.2 0.4 X Y 解 EX = 00.1+10.6+ 20.3 = 1.2 故乙的成绩不如甲. EY = 00.4+10.2+ 20.4 = 1.0 例2
说明:数学期望EX是一个实数,而非变量,它 是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上 体现了随机变量X取可能值的真正平均值 例3求泊松分布X~P(4)的数学期望EX 解泊松分布的分布律为 RIX=ky e k=0,1,2,… ! 故EX=∑k ! Ae∑ e k=0 k(k-1) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 说明：数学期望EX是一个实数, 而非变量,它 是一种加权平均, 与一般的平均值不同,它从本质上 体现了随机变量 X 取可能值的真正平均值. e , 0,1,2, ! { = } = = − k k P X k k 故 = − = 0 e ! k k k EX k = − − − = 1 1 ( 1)! e k k k = e e − = 求泊松分布X～P(λ)的数学期望EX. 解 泊松分布的分布律为 例3
例4求正态分布X~N(m2a2)的数学期望EX 解正态分布V(m02)的分布密度为 (x-) f(x) e202 <X<+0 √2o (x-H)2 #h ex= rf(x)dx=3-x tge 2o dx P+OO (+0)e2dt令x 2丌 ∫。 n,-∫e2dt+,-∫。e2dn 元 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 正态分布N(μ,σ 2 )的分布密度为 故 EX xf (x)d x + − = x σ x σ x μ e d 2 1 2 2 2 ( − ) + − − = = − t σ x μ 令 = − + − − x σ f x σ x μ e , 2 1 ( ) 2 2 2 ( ) 例4 求正态分布 ~ ( , ) 的数学期望EX. 2 X N μ σ 解 t t = μ σ μ t t t e d 2 e d 2 1 2 2 2 2 + − + − − − = + μ σt t t ( )e d 2 1 2 2 + − − = +
定理1设Fg(X)是随机变量X的连续函数,那么 (1)若X的分布律为 P{X=xk}=Pk,k=1,2,… 则函数￥=g(X的数学期望为 EY=E[g(X=∑(x)4(级数绝对收敛时) k=1 (2)若X的分布密度为f(x),则F=g(X)的期望为 EY=E(X)]-」g(x)(d(积分绝对收敛时) 定理1的重要意义:当我们求Eg(X)时不必 知道g(X的分布而只需知道X的分布就可以了 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 则函数Y=g(X)的数学期望为 定理1 设 Y=g(X)是随机变量X的连续函数, 那么 (1) 若X的分布律为 1 ( ) ( ) k k k EY E g X g x p = = = { } , 1,2, P X x p k = = = k k (2) 若X的分布密度为 f (x), 则Y=g(X)的期望为 EY E g X g x f x x ( ) ( ) ( )d − = = （级数绝对收敛时） （积分绝对收敛时） 定理1的重要意义：当我们求E[g(X)]时,不必 知道g(X)的分布而只需知道X的分布就可以了
定理2设Z=g(X,是二维随机变量(X,的连续 函数,那么 (1)若(X,Y)的分布律为 PX=x,Y=y}=P,i,=1,2, 则Z=g(X,的数学期望为 Ez=E[8X,Y=∑∑g(x1,y)n(级数绝对收敛时) (2)若(X,Y的密度为f(xy),则z=g(X,)的期望为 Ez=E[g(x, r]=_g(r,D)f(x,y)drdy (积分绝对收敛时) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 设Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的连续 函数, 那么 则 Z=g(X,Y) 的数学期望为 定理2 (1) 若( X,Y ) 的分布律为 1 1 ( , ) ( , ) i j ij i j EZ E g X Y g x y p = = = = { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i j ij (2) 若(X,Y)的密度为 f (x,y), 则Z=g(X,Y)的期望为 EZ E g X Y g x y f x y x y ( , ) ( , ) ( , )d d − − = = （级数绝对收敛时） （积分绝对收敛时）
例5设二维随机变量(X,Y)的分布密度为 x+y,0<x<1,0<y<1 f(x, y) 其它 试求XY的数学期望 解 E(Xr)= xyf(x,y)dxdy xdx, y(x+y)dy x+idx 3 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） E(XY) xyf (x, y)d xd y + − + − = , 0 1,0 1 ( , ) 0, x y x y f x y + = 其它 例5 设二维随机变量(X,Y )的分布密度为 解 3 1 = 试求XY 的数学期望. xd x y(x y)d y 1 0 1 0 = + ( ) = + 1 0 3 1 2 1 x x d x
