西安建筑科技大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（讲稿）第4章 随机变量的函数及其数值模拟 4.2 二维随机变量函数的分布

4,2二维随机变量函数的分布 设(Xy)是分布已知的二维随机变量,g(x,y)是 二元连续函数,那么z=g(X,就是一个一维随机变 量按定义,随机变量Z=g(XY)的分布函数应为 F2(x)=P{z≤=Pg(X,Y)≤ 本节讨论如何由已知的二维随机变量(X,Y的 分布去求它的函数Z=g(X,Y)的分布 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 本节讨论如何由已知的二维随机变量(X,Y)的 分布去求它的函数 Z＝g(X,Y)的分布． 设(X,Y )是分布已知的二维随机变量, g(x, y)是 二元连续函数, 那么Z＝g(X,Y)就是一个一维随机变 量. 按定义, 随机变量 Z＝g(X,Y)的分布函数应为 4.2 二维随机变量函数的分布 F (z) P{Z z} P{g(X,Y) z} Z =  = 

例1设X,的分布律 10 如右,求X+Y,max(X,Y) 0 0.10.20.2 与mn(X,Y)的分布律 0.10.10.3 解由X,Y的分布律可列对应表如下: 0.1 0.20.20.1 0.10.3 (X,Y)(0,-1)(0.0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1 X+y 0 max(X,r) 0 0 211 min(X,r) 0 0 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 例1 设(X, Y)的分布律 Y X －1 0 1 0 0.1 0.2 0.2 1 0.1 0.1 0.3 如右, 求X+Y, max(X,Y ) 与min(X,Y )的分布律. 解 由(X,Y)的分布律可列对应表如下: pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3 (X,Y) (0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) X+Y -1 0 1 0 1 2 max(X,Y ) 0 0 1 1 1 1 min(X,Y ) -1 0 0 -1 0 1

lJ 0.1 0.20.20.1 0.10.3 (X,Y)(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1) X+Y 0 0 2 max X,r) 0 0 1 min(X,r) 0 0 0 将函数的所有可能取值重排并概率即可得分布律 1012 X+Y 0.10.30.30.3 max(x,)/01 min(X,F)~/~101 0.30.7 0.20.503 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 分布律 pi j 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3 (X,Y) (0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) X+Y -1 0 1 0 1 2 max(X,Y ) 0 0 1 1 1 1 min(X,Y ) -1 0 0 -1 0 1      − 0.2 0.5 0.3 1 0 1  min( X,Y ) ~      0.3 0.7 0 1 max( X,Y ) ~      − + 0.1 0.3 0.3 0.3 1 0 1 2 X Y ~ 将函数的所有可能取值重排并概率即可得

例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为 3 Y 2 P。0.3 0.7 0.60.4 求随机变量Z=X+Y的分布律. 解因X与Y独立,所以P{X=x,Y=y}=PP PX=x,Y=J}0.180.120.42028 (X,Y) (3,2)(3,4) Z=X+r 5 所求分布律: X+Y 3 5 }|0.18 0.540.28 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 设两个独立的随机变量X 与Y 的分布律为 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. i j i j P X x Y y p p • • 解 因X与Y 独立, 所以 { = , = } =  例2 X pi• 1 3 0.3 0.7 Y 2 4 j 0.6 0.4 p• (X,Y ) 0.18 0.12 0.42 0.28 Z = X +Y 3 5 5 7 Z = X +Y { }k P Z = z 3 5 7 0.18 0.54 0.28 所求分布律： { , } i j P X = x Y = y (1, 2) (1, 4) (3, 2) (3, 4)

连续型随机变量函数的分布 1)Z=X+Y的分布 设(X,Y)的密度为(x,y,则z=X+Y的分布函数为 Fi(2)=P(Z<z]=[s(x,y)dxdy Z-. f(, y)dyldx x十y=z =t-x f(a, t-x)dtd =SUMS(x, t-x)dxldt 故/()=」(x2-x)dx回理∫/(z-n,)dy 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 设( , ) ( , ), X Y f x y Z X Y 的密度为 则 = + 的分布函数为 F (z) P{Z z} Z =  f x y x y x y z ( , )d d  +  = x y O x + y = z [ ( , )d ] d z x f x y y x + − − − =   y = t − x [ ( , )d ]d z f x t x t x + − − −   [ ( , )d ]d z f x t x x t + − − = −   1) Z=X+Y 的分布 故 ( ) ( , )d Z f z f x z x x + − = −  f z y y y ( , )d + − −  同理 连续型随机变量函数的分布

当X,Y独立时,fz(z)也可表示为 f7(z ∫ fx(x)fr(z-x)dx 卷积公式 f2(z)= x(z-y)fr(y)dy 其中fx(x),f()分别为X,)的两个边缘分布密度 例3设X和Y是两个相互独立的随机变量,分布 密度分别为 ,x∈(0,1) 2y,y∈(0,1) 0.其它和0 0,其它 求其和Z=X+Y的分布密度 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 当 X, Y 独立时, f Z (z)也可表示为  + − f z = f z − y f y y Z X Y ( ) ( ) ( )d f z f x f z x x Z ( ) X ( ) Y ( )d  + − = − 其中 f (x), f ( y)分别为(X,Y)的两个边缘分布密度. X Y 卷积公式     = 0, 其 它 1, (0,1) ( ) x f x X     = 0, 其 它 2 , (0,1) ( ) y y f y Y 例3 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 分布 密度分别为 和 求其和Z＝X＋Y的分布密度．

l,x∈(0,1) 和f(y) 2y,y∈(0,1) 10,其它 0,其它 解由卷积公式知,Z=X+Y的分布密度为 fi(z)=x(x)r(a-x)dx=f y(a-x)dx z-x=t z一 z fr(0)dt=」1f()dt 2tdt,0<z≤1 0<z≤1 2tdt,1<z≤2=12z-z,1<z≤2 0,其它 0 其它 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 解     = 0, 其 它 1, (0,1) ( ) x f x X     = 0, 其 它 2 , (0,1) ( ) y y f y 和 Y  +  − f Z (z) = f X (x) f Y (z − x)d x  = − 1 0 f Y (z x)d x        = ,其它 由卷积公式知, Z＝X＋Y的分布密度为  z t t 0 2 d  − 1 1 2 d z t t 0 , 0  z  1 , 1  z  2        = ,其它 2 z 2 2z − z 0 , 0  z  1 , 1  z  2  − − 1 ( )d z z Y f t t z − x = t  − = z z Y f t t 1 ( )d

定理1设X~N(1,02),Y~N(2,O2)且相互独立, 则z=XY亦服从正态分布,且X+y~N(1+2+02 证由卷积公式知,Z=X+Y的分布密度为 fi(z)= x()f(z-x)dx ∫。o eX (x-1)2(z-x-2 2丌G1G, 2σ 2 dx 2元0v2ex~a+0 201+H -H1-H dx 20102 2 01+ 令y1 z02-12G2+172 很繁的过 程 欐率统计(ZYH) ▲

概率统计（ZYH） 定理1 ~ ( , ) 2 Y N 2  2 ~ ( , ), 2 设X N 1  1 则Z=X+Y亦服从正态分布, 且 ~ ( , ). 2 2 2 1 2 1 X +Y N μ + μ σ + σ 且相互独立, 证  +  − f Z (z) = f X (x) f Y (z − x)d x 由卷积公式知, Z＝X＋Y 的分布密度为  + −       − − − − = − x σ z x μ σ x μ σ σ d 2 ( ) 2 ( ) exp 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1  1 2 ( )  + −         + − − −         + − + − + = − x σ σ z μ μ σ σ zσ μ σ μ σ x σ σ σ σ σ σ d 2 ( ) 2 exp 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1  1 2 t σ σ zσ μ σ μ σ x σ σ σ σ =        + − + − + 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 令 1 很繁的过 程

故令 G1+0 xG1-H201+a3 102 fi(z)=x(x)f(z-x)dx ex 202+1-人/-A-2 G1+ dx 2兀0102 G1+02 2(0+ (z-p1-P2 e e 2 dt 2z{G2+ 兀 2·VG2+2 所以X+y~N({1+m2,G2+a2) 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 故令  +  − f Z (z) = f X (x) f Y (z − x)d x ( )  + −         + − − −         + − + − + = − x σ σ z μ μ σ σ zσ μ σ μ σ x σ σ σ σ σ σ d 2 ( ) 2 exp 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1  1 2 t σ σ zσ μ σ μ σ x σ σ σ σ =        + − + − + 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 ( )  + − − + − − −   + = t σ σ t σ σ z μ μ e d 2 1 e 2 1 2 2 ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2   ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) 2 2 2 1 e 2 1 σ σ z μ μ σ σ + − − −  + =  ~ ( , ) 2 2 2 所 以 X +Y N μ1 + μ2 σ1 + σ

利用本定理和上节定理1,不难得到更一般的 定理2(独立正态分布的线性组合定理) 设X1,X2,…,X,相互独立且分别服从分布 X1~N(H2G2)(i=1,2,…,m) 则它们的线性组合亦腿正态分布且 ∑CX~N∑C,∑ i=1 其中C1,C2,…,C为任意常数 欐率统计(ZYH) ▲区u

概率统计（ZYH） 定理2 ~ ( , ) ( 1, 2, , ) 2 Xi N μi σi i =  n (独立正态分布的线性组合定理） 利用本定理和上节定理1, 不难得到更一般的 设X1 , X2 ,  , Xn 相互独立且分别服从正态分布 则它们的线性组合亦服从正态分布, 且            = = = n i i i n i i i n i Ci Xi N C C σ 1 2 2 1 1 ~  , , , , . 其 中C1 C2  Cn 为任意常数