节目录 第三章随机向量及其分布 31二维随机变量的概率分布 32边缘分布 33条件分布 34随机变量的独立性 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 节目录 3.1 二维随机变量的概率分布 3.2 边缘分布 3.4 随机变量的独立性 第三章 随机向量及其分布 3.3 条件分布
二维随机向量 同一维随机变量一样,为了把某些试验的结果数量化, 有时需要用二维随机变量或二维随机向量(x,来描述.如 实例1炮弹的弹着点 的位置(X,Y就是一个二 维随机变量 实例2考查某一地区学龄前儿童的 发育情况,则儿童的身高H和体重W就 构成二维随机变量(H,W 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 同一维随机变量一样, 为了把某些试验的结果数量化, 有时需要用二维随机变量或二维随机向量(X,Y)来描述．如 二维随机向量 实例1 炮弹的弹着点 的位置 (X, Y) 就是一个二 维随机变量. 实例2 考查某一地 区学龄前儿童的 发育情况, 则儿童的身高 H 和体重W就 构成二维随机变量(H,W)
31二维随机变量的概率分布 二维随机变量的分布函数 二、二维离散型随机变量及其分布 二维连续型随机变量及其分布 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 一、二维随机变量的分布函数 二、二维离散型随机变量及其分布 三、二维连续型随机变量及其分布 3.1 二维随机变量的概率分布
二维随机变量的分布函数 二维随机变量(X,Y的性质不仅与X,Y有关而且还依 赖于这两个随机变量的相互关系.为此,我们引入二维随 机变量的分布函数 定义1设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y, 称二元函数 F(x,y)=P{X≤x,sy} 为二维随机变量(X,Y X≤xY≤y 的分布函数,或X和Y 的联合分布函数 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 二维随机变量(X, Y)的性质不仅与 X,Y 有关,而且还依 赖于这两个随机变量的相互关系. 为此，我们引入二维随 机变量的分布函数． 定义1 设 ( X, Y )是二维随机变量, 对于任意实数 x, y, 称二元函数 为二维随机变量(X,Y) 的分布函数, 或X和Y 的联合分布函数． F(x, y) = P{X x,Y y} O x y (x, y) • X x,Y y 一、二维随机变量的分布函数
借助右图可知对于任意 Exu, yu, x2, 12(x<x2,y1y2), y2 随机点(X,)落在矩形域 (x1<X≤x2,y1<Y≤y2) y1 及点(x2,y2)的概率分别为 Px<xsx2,v,<Ysy23 =F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1) PX=x2, =y23 =F(x2,y2)-F(x2-0,y2)-F(x2,y2-0)+F(x2-0,y2 由上述解释及概率的定义,容易推得下述定理 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 2 1 −F x y ( , ) 及点 (x2 , y2 ) 的概率分别为 的x1 , y1 , x2 , y2 (x1<x2 , y1<y2 ), 随机点 (X,Y) 落在矩形域 借助右图 ( , ) 1 2 1 2 x X x y Y y { , } 1 2 1 2 P x X x y Y y ( , ) 2 2 = F x y 可知对于任意 { , } 2 2 P X = x Y = y ( , ) ( 0, ) ( , 0) ( 0, 0) = F x2 y2 −F x2 − y2 −F x2 y2 − + F x2 − y2 − ( , ) 1 2 − F x y 1 1 +F x y ( , ) Y y2 y1 O x1 x2 X 由上述解释及概率的定义，容易推得下述定理
定理1分布函数F(x,y)具有下列性质: 1°(有界性)对任意的实数x,y,有 0≤F(x,y)≤1,F(+∞,+0)=1 F(-∞,y)=F(x,-)=F(-0,-0)=0 2°(单调性)F(x,y)是x和p的单调不减函数: vy,有F(x1,y)≤F(x2,y)(x1<x2) vx,有F(x,y)≤F(x,y2)(y1<y2) 3(右连续性)F(x,y关于x和y都是右连续的: Vx,y, F(x+0, y)=F(x,y), F(x,y+0)=F(x, y) 反过来,满足上述性质的F(x,y)也必定是某个二维随 机变量的分布函数,因此: 函数F(x,y)完整地描述了二维随机变量的概率分布 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 定理1 0 ( , ) 1, ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 F x y F F y F x F + + = − = − = − − = 分布函数 F (x, y) 具有下列性质： 1（有界性） 对任意的实数 x, y, 有 2（单调性）F(x, y) 是 x 和 y 的单调不减函数: 3（右连续性）F(x, y) 关于 x 和 y 都是右连续的: , ( , ) ( , ) ( ) , ( , ) ( , ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x F x y F x y y y y F x y F x y x x 有 有 x, y,有F(x + 0, y) = F(x, y), F(x, y + 0) = F(x, y) 反过来, 满足上述性质的 F (x, y) 也必定是某个二维随 机变量的分布函数, 因此： 函数 F(x, y) 完整地描述了二维随机变量的概率分布
二维离散型随机变量及其分布 若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有限对或可列 多对,则称(X,Y)为二维离散型随机变量 设(X,)所有可能取的值为x;,y;),i=1,2,…,记 P{X=x,Y=J}=Pi;,i,j=1,2, 则称此为(X,Y)的分布律,或X与Y的联合分布律 同一维一样,二维随机变量的分布律满足: P;是某个二维随 Pi≥0 机变量(X,Y)的分 布律 ∑∑pn=1 i=1j=1 通常我们用分布律表示二维随机变量的概率分布 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 设(X,Y )所有可能取的值为(xi , y j ),i, j = 1,2, ,记 若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或可列 多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量 二、二维离散型随机变量及其分布 则称此为(X, Y ) 的分布律,或X与 Y 的联合分布律 pi j 是某个二维随 机变量(X,Y)的分 布律 1 0 1 1 = = i j= ij ij p p P{X = xi ,Y = y j } = pi j , i, j = 1,2, 同一维一样, 二维随机变量的分布律满足： 通常我们用分布律表示二维随机变量的概率分布
二维随机变量(X,Y)的分布律也可用表格表示为: 有了二维离散 12 型随机变量的 分布律p;,就 能容易的得到 Pil pi2 (X,)∈G}=∑PX=x ∑ (x,y)∈G F(x,y)=∑P{X=x,=}=∑P ≤x,y;s P;=F(x,y)-F(x-0,y)-F(x,y-0)+F(x1-0,y-0) 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可用表格表示为： X Y y1 y2 yi xi x x 2 1 p11 p12 p1 j p21 p22 p2 j pi1 pi 2 pi j , , ( , ) { , } i j i j i j i j x x y y x x y y F x y P X x Y y p = = = = ( , ) ( 0, ) ( , 0) ( 0, 0) i j i j i j i j i j p F x y F x y F x y F x y = − − − − + − − ( , ) ( , ) {( , ) } { , } i j i j i j i j x y G x y G P X Y G P X x Y y p = = = = 有了二维离散 型随机变量的 分布律 pij , 就 能容易的得到
例从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠 笔的盒子里,随机抽取两支,若X、Y分别表示抽出的蓝 笔数和红笔数求(X,Y)的分布律 解(X,Y)所取的可能值是 (020)2(0,1)2(1,0)2(1,1)2(O2)2(2,0) 故所求分布律为 P{X=i,Y=办} 03/286/281/28 9/286/28 (i+j≤2,i,j=0,1,2) 23/28 0 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 例 ( X,Y ) 所取的可能值是 (0,0), 解 (0,1),(1,0), (1,1),(0,2),(2,0) P X i Y j { , } = = 2 3 2 3 2 8 i j i j C C C C − − = 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠 笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示抽出的蓝 笔数和红笔数,求( X,Y )的分布律. ( 2, , 0,1,2) i j i j + = 3 28 9 28 3 28 6/ 28 0 1 28 0 0 X Y 0 1 2 0 1 2 6/ 28 故所求分布律为
例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值, 另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值试求(X,) 的分布律 解由乘法公式得 P{X=i,Y=办 X PX=i(Y=jX=i 4 i=1,2,3,4,j≤i 12 12 12 于是(X,)的分布 律为(见右表) 16 16 16 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 例1 P X i Y j { , } = = = i 1 4 1 = 1, 2, 3, 4 , 1 ~ . ( , ) . X Y X X Y 设随机变量 在 四个整数中等可能地取值 另一个随机变量 在 中等可能地取一整数值 试求 的分布律 解 由乘法公式得 ( 1,2,3,4, ) i j i = 于是 ( , ) X Y 的分布 律为（见右表） 4 1 8 1 12 1 16 1 0 8 1 12 1 16 1 0 0 12 1 16 1 0 0 0 16 1 X Y 1 2 3 4 1 2 3 4 = = = = P X i P Y j X i { } { }