节目录 第四章随机变量的函数 4.1一维随机变量函数的分布 4,2二维随机变量函数的分布 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 节目录 4.1 一维随机变量函数的分布 4.2 二维随机变量函数的分布 第四章 随机变量的函数
在实际问题中,我们常对某些随机变量的函数 更感兴趣.例如我们能测量圆轴截面的直径d,而 关心的却是截面面积A.这里,随机变量A是随机变 量d的函数 这一章我们将讨论如何由一维 (或多维)随机变量的分布去求它的 函数的分布 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 在实际问题中, 我们常对某些随机变量的函数 更感兴趣. 例如,我们能测量圆轴截面的直径d，而 关心的却是截面面积A. 这里,随机变量A是随机变 量d的函数. 这一章我们将讨论如何由一维 （或多维）随机变量的分布去求它的 函数的分布
41一维随机变量函数的分布 般地,若X是分布已知的随机变量,g(x)为 元连续函数,那么由Y=g(X)定义的Y也是一个 随机变量.按定义,Y=g(X)的分布函数应为 F(y)=P{Yy}=P{g(X)≤y 下面我们就依据此式,讨论如何由已知的随 机变量X的分布去求它的函数y=g(X)的分布 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 一般地，若X是分布已知的随机变量, g(x)为 一元连续函数, 那么由Y＝g(X)定义的Y也是一个 随机变量．按定义，Y＝g(X )的分布函数应为 下面我们就依据此式, 讨论如何由已知的随 机变量X的分布去求它的函数Y＝g(X )的分布． 4.1 一维随机变量函数的分布 F ( y) P{Y y} P{g(X) y} Y = =
例1设随机变量X的分布律为 2-10123 0.10.20.20.10.10.3 求随机变量函数X-1,“2X,X2的分布律 解由X的分布律可列出下表 0.10.20.20.10.10.3 2 2 X-1 -3 2 0 2X 2 000 2 3269 X2 此表反映了函数ⅹ-1,-2X,X2的概率取值规律 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 例1 设随机变量X的分布律为 求随机变量函数 X-1, -2X, X 2的分布律． − − 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3 2 1 0 1 2 3 X ~ 解 由X的分布律可列出下表 pk 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3 X -2 -1 0 1 2 3 X -1 -3 -2 -1 0 1 2 -2X 4 2 0 -2 -4 -6 X 2 4 1 0 1 4 9 此表反映了函数 X-1, -2X, X 2的概率取值规律
现在只要分别将X1,-2X,X2的所有可能取 值按一定的顺序重新排列,并合并其取相同值时 的概率即可得到所求函数的分布律 3-2-1012 X-1 0.10.20.20.10.10.3 6-4-20241 0.30.10.10.20.20.1 0149 0.20.30.20.3 本例反映了离散型随机变量函数的分布律计算方法 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） 现在只要分别将X-1, -2X, X 2 的所有可能取 值按一定的顺序重新排列，并合并其取相同值时 的概率即可得到所求函数的分布律 分布律计算方法 − − − − 0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3 3 2 1 0 1 2 X 1 ~ − − − − 0.3 0.1 0.1 0.2 0.2 0.1 6 4 2 0 2 4 2X ~ 0.2 0.3 0.2 0.3 0 1 4 9 ~ 2 X 本例反映了离散型随机变量函数的
例2设随机变量X的分布律为 PiX=k= k=1,2 k 求随机变量函数Y=si2x的分布律 2 解PY=+=PX=4-=22=15 PY=0}=∑PX=24}=∑ 22k3 PY==2PX=4k-3=22=5 所以y=si 8 2 15315 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 求随机变量函数 的分布律． 例2 Y = X 2 sin 设随机变量X的分布律为 , 1, 2, 2 1 P{X = k} = k = k 15 2 2 1 { 1} { 4 1} 1 4 1 1 = − = = − = = = − = k k k P Y P X k 3 1 2 1 { 0} { 2 } 1 2 1 = = = = = = = k k k P Y P X k 15 8 2 1 { 1} { 4 3} 1 4 3 1 = = = − = = = − = k k k P Y P X k − = 1 0 1 ~ 2 Y sin X 15 2 3 1 15 8 解 所以
例3设X服从N0,1,求Y=X2的分布密度 解由Y=X2≥0知,当yQ时,F(y)=P{Y≤y}=P{y≤X≤√y} 2 2 dx 2π 2π 1 dy2 所以当y>0时,f(y)=F(y)= e ② tTy 0 y≤0 即f(y)={12 y=0时可任 e2,y>0 意规定其值 2: 本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法 欐率统计(ZYH) ▲
概率统计（ZYH） = − e , 0 2π 1 0, 0 ( ) 2 y y y f y y Y 例3 设 X 服从N(0, 1), 求Y=X 2的分布密度. 解 所以 由Y = X 2 0知， 即 当y 0时 f Y ( y) = 0 y 0 , F ( y) P{Y y} 当 时 Y = = P{− y X y} − − = y y x e d x 2π 1 2 2 − = y x x 0 2 e d 2π 2 2 2 e 2π 1 0 , ( ) ( ) y Y Y y y f y F y − 当 时 = = y =0时可任 意规定其值 本例正是连续型随机变量函数分布密度的计算方法 ① ②
定理1设X服从正态分布N凸σ2,则随机变 量￥=aX+b服从正态分布Nay+b,a2a 证(以a>0为例证明) F(y)=P{Y≤y}=PaX+b≤y}=PXS小-b b (x-A ae 2o dx 2π Ly-(au+b)l 所以f(y)=Fy(y)= 2() 定理1 2πao 的推论 亦即￥=aX+b服从正态分布Nay+b,a2a2) 定理2X~N(Aa2)AY X-|~N(0,1) 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） （以a >0为例证明） 定理1 设 X 服从正态分布N( , 2 ), 则随机变 证 量Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a 22 ) F ( y) P{Y y} Y = = P{aX + b y} − − − − = a y b x e d x 2π 1 2 2 2 ( ) f ( y) F ( y) Y Y = { } a y b P X − = 2 2 2( ) [ ( )] e 2π 1 a y a b a − + − = 亦即Y=aX+b 服从正态分布N( a+b, a 22 ) 所以 定理2 ~ ( , ) 2 X N ~ N(0,1) X Y − = 定理1 的推论
例4设X服从N(15,4),计算 (即23节的例5) (1)P{X-15}>2}(2)P{X1} 解利用定理2,知 Ⅹ-1.5 ~N(0,1),故有 2 (1)P{|X-15}>2}=P X-1.5 21-(1)=2×(1-0.8413)=03174 1-1.5X-1.51-1.5 (2)P{X1}=P =d(-0.25)-(-1.25)=-q(0.25)+φ(1.25) =-0.5987+08944=0.2957 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 例4 设 X 服从N(1.5, 4), 计算 (1) P{| X −1.5 | 2} (2) P{| X | 1} 解 利用定理2, 知 (1) P{ | X－1.5 | 2} = 2[1−(1)] =(−0.25) −(−1.25) = −0.5987+ 0.8944 = 0.2957 = −(0.25) +(1.25) = 2(1− 0.8413) = 0.3174 (2) P{| X | 1} （即2.3节的例5） ~ (0, 1) 2 1.5 N X − , 故有 = 1 2 X－1.5 P 1 1.5 1.5 1 1.5 2 2 2 X P − − − − =
按照上述求随机变量函数分布密度的方法,可证明 定理3设X是以∫(x)为分布密度的连续型随机 变量,其所有可能取值构成区间函数y=g(x)在区 间上严格单调可微,g(为相应的值域,则Y=g(X) 也是一个连续型随机变量且分布密度为 ∫y(y)= 八g();g(y),y∈g(D 其他 其中x=g(y)是p=g(x)的反函数 欐率统计(ZYH) ▲区u
概率统计（ZYH） 设X是以 f (x)为分布密度的连续型随机 变量, 其所有可能取值构成区间I, 函数 y＝g(x) 在区 间I上严格单调可微, g(I)为相应的值域, 则Y＝g(X ) 也是一个连续型随机变量且分布密度为 按照上述求随机变量函数分布密度的方法, 可证明 定理3 = − − 0, 其 他 ( ) , ( ) d d [ ( )] ( ) 1 1 g y y g I y f g y f y Y ( ) ( ) . 其中x = g −1 y 是 y = g x 的反函数
