第一章绪论 1.填空题 (1)如下各数分别作为r的近似值,各有几位有效数字? 3.4的有效位数是3 7 的有效位数是 113的有效位数是_7 (2)设近似数x有2位有效数字,则其相对误差限等于005 )已知近似数的相对误差限为03×102,则的有效位数至少是2 (4在浮点数系2.-7,8中共有2个数 (5)现代科学要来源有:模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差,而数值计算仅讨论截断误差和舍入误差 的三大组成部分有:科学实验、理论研究和_科学计算 (7)构造数值稳定的算法,应坚持以下几个原则 ①要』防止大数“吃控”小数 ②要_控制舍入误差的传播和积岽 ③要避免两个相近的数相减 ④要避免绝对值很小的数做分母 ⑤要减少运算次数,避免误差积累 2.利用等价变换或舍弃高阶无穷小改变下列表达式,使其计算结果比较精确(其中>1表示充分大,<1表示x充分接近0) () tanx-sinx, kk<<l I-cosx sinx sin'x 解原式 那原式(/+ 3.设3个近似数a=3.65,b=9.81,c=1.21均有3位有效数字,试计算ac+b,并估计它的绝对误差限、相对误差 改数字的位数 解ac+b=14.2265 由a,b,c有3位有效数字,知其绝对误差da,db,dc均不超过2 所以 (a+0++5+00303 即绝对误差限为 说明ac+b=14.2265有3位有效数字,ac+b≈142 dax+b)-a+2)2=0032=02% 所以相对误差限约等于0.21% 4.填空题 (1)在浮点数系F10,5,-10,10中计算k2,可按以下两种顺序进行 ①依k递增的顺序计算 ②依尾递减的顺序计算 其中能获得较准确结果的方法編号 (2)用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数 0.00063217500≈000063218 3.0000098≈3.0000 3143569≈31436 3)用计算机计算n次多项式f(x)=a0x2+ax2+A+a,4x+a的值,采用秦九韶算法要做n次乘法运算,而直接计算需要作 次乘法运算 5.下表中左边第一列各数都是由准确值经四舍五入所得的近似数,试分别将它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数写入相应的位置: 近似数 绝对误差限 相对误差限 有效数字的位数 31000 0.000016 2.3316 0.000021 0.5504 0.00005 0.000091 0.001230 0.00041 6.用秦九韶算法计算当x=-3时多项式2x3+7x2+5x2+3x2-6x-11的值 解a0=2,x=-3,b,=7,5,3,-6,-11,a+1=a2x+b 即要求的多项式的值为-20. 最。、在浮点数系四(0.8.-1010)中,已知2=0451802×10,bm0435178102-010710+,分别计算(+b+C和(a+)+b,并求各结果与精
第一章 绪论 1．填空题 (1) 如下各数分别作为π的近似值，各有几位有效数字？ 3.14 的有效位数是 的有效位数是 的有效位数是 (2) 设近似数x *有2位有效数字，则其相对误差限等于 (3) 已知近似数x *的相对误差限为 ，则x *的有效位数至少是 (4) 在浮点数系F(2, 8, -7, 8)中共有 个数． (5) 现代科学的三大组成部分有：科学实验、理论研究和 科学计算 (6) 误差的四种主要来源有：模型误差、观测误差、 截断 误差 和 舍入 误差，而数值计算仅讨论 截断 误差 和 舍入 误差． (7) 构造数值稳定的算法，应坚持以下几个原则： ① 要 防止大数“吃掉”小数 ② 要 控制舍入误差的传播和积累 ③ 要 避免两个相近的数相减 ④ 要 避免绝对值很小的数做分母 ⑤ 要 减少运算次数，避免误差积累 2．利用等价变换或舍弃高阶无穷小改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中 表示 充分大， 表示x充分接近0）. (1) ， 解 原式 (2) ， 解 原式 3．设3个近似数a = 3.65，b = 9.81，c = 1.21均有3位有效数字，试计算ac + b，并估计它的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数. 解 ac + b = 14.2265 由a，b，c有3位有效数字，知其绝对误差da，db，dc均不超过 ，所以 即绝对误差限为 ，说明ac + b = 14.2265有3位有效数字，ac + b ≈ 14.2 所以相对误差限约等于0.21%． 4．填空题 (1) 在浮点数系F(10, 5, -10, 10)中计算 ，可按以下两种顺序进行： ① 依k递增的顺序计算 ② 依k递减的顺序计算 其中能获得较准确结果的方法编号为 ② (2) 用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数： 0.7000400 ≈ 0.70004 0.00063217500 ≈ 0.00063218 3.0000098 ≈ 3.0000 314.3569 ≈ 314.36 (3) 用计算机计算n次多项式 的值，采用秦九韶算法要做 n 次乘法运算，而直接计算需要作 次乘法运算． 5．下表中左边第一列各数都是由准确值经四舍五入所得的近似数，试分别将它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数写入相应的位置： 近似数 绝对误差限 相对误差限 有效数字的位数 31000 0.5 0.000016 5 2.3316 0.00005 0.000021 5 0.5504 0.00005 0.000091 4 0.001230 0.0000005 0.00041 4 6．用秦九韶算法计算当 x = -3时多项式 的值. 解 ， ， ， ， ， ， ， 即要求的多项式的值为-20． 7．在浮点数系 中，已知 ， ， ，分别计算 和 ，并求各结果与精 确结果的绝对误差
解(a+b)+c=(043518429-043517811)×102+c =0.618×10-3+0023371927×10 0.64137193×10 (a+c)+b=(043518429+0.000017)×102+ =043518429×102-043517811×102 0.641×103 与精确值0641371927×103比较,二者的绝对误差分别 1=0641371927×103-064137193×103=-03×10 g2=0641371927×103-0641×103=0371927×10 8.设x=10±5%,试求函数y=f(x)=行的相对误差限 解因为x-%,f(x=,”3 所以f(x)的相对误差限为 (x)-2×5%-1% 第二章非线性方程组的数值解法 22二分法 9.填空题 (1)用二分法求方程(x)=0的近似根,若(x)在nb上满足_连续、单调且(a)(b)1 215-1) 所以此迭代格式发散 用迭代格式(1)计算得 x3=1.456976000,x4= xs=1462090536,x6= (1)对于方程x3+4x2-10=0,写出简单选代法的两个选代函数及其相应的选代格式 迭代函数之一 选代公式 迭代函数之二(x)=50-4x 迭代公式xn1=初0-4 2)简单迭代法的误差分析,有先验估计式 b-xa[ 1 和事后估计式 (3要使简单选代法的精度达到要求F一列4<E,实用中的一个简单易处理的方法,是根据不等式k-x小<成立与否来判别是香终止选代 (4)对于方程(x)=0的一个简单迭代公式x1“只(x),其收敛的一个充分条件是:当x∈a,时,甲()满足(x)≤L<1,若已知根的初始值x在根x邻 近,则可将局部收敛的判别条件r(x2<用如(x<1来替代
解 与精确值 比较，二者的绝对误差分别为 8．设 ，试求函数 的相对误差限. 解 因为 ， ， ， 所以 的相对误差限为 第二章 非线性方程组的数值解法 2.2 二分法 9．填空题 (1) 用二分法求方程f(x) = 0的近似根，若f(x)在[a, b]上满足 连续、单调 且 ，则方程在[a, b]上有且仅有一个实根x * (2) 在二分法的误差分析中，因为 ，所以要使 成立，只需 即可 (3) 使用二分法求非线性方程f (x) = 0在[0, 1]内的根，要使误差小于 ，至少要二分区间 次 10．用二分法解方程 在[1, 2]内的根，要求精确到小数点后第二位，即误差不超过 ． 解 ，由 ，得k+1≥7，所以迭代7次即可．计算结果如下表： k ak bk xk f(xk)的符号 0 1 2 1.5 + 1 1 1.5 1.25 - 2 1.25 1.5 1.375 + 3 1.25 1.375 1.3125 - 4 1.315 1.375 1.34375 - 5 1.34375 1.375 1.359375 - 6 1.359375 1.375 1.367188 所以取方程的近似根为 ． 2.3 简单迭代法 11．为用简单迭代法解方程 在区间[1, 2]上的根，构造了如下3个迭代函数： (1) ； (2) ； (3) 若已知x0 = 1.5与精确根邻近，试分别写出它们的迭代公式，并用局部收敛的近似替代判别方法分析收敛性，再取其中一种收敛的公式求出近似根（要求精确到 小数点后2位）． 解 (1) ，因为 ，此迭代格式收敛； (2) ，因为 ，所以此迭代格式发散； (3) ，因为 ，所以此迭代格式发散． 用迭代格式（1）计算得 x1 = 1.444444444， x2 = 1.479289941， x3 = 1.456976000， x4 = 1.471080583， x5 = 1.462090536， x6 = 1.467790576， x7 = 1.464164381， x8 = 1.466466355 12．填空题 (1) 对于方程 ，写出简单迭代法的两个迭代函数及其相应的迭代格式： 迭代函数之一 ，迭代公式 迭代函数之二 ，迭代公式 (2) 简单迭代法的误差分析，有先验估计式 和事后估计式 (3) 要使简单迭代法的精度达到要求 ，实用中的一个简单易处理的方法，是根据不等式 成立与否来判别是否终止迭代． (4) 对于方程f(x) = 0的一个简单迭代公式 ，其收敛的一个充分条件是：当 时，φ (x)满足 ，若已知根的初始值x0在根x *邻 近，则可将局部收敛的判别条件 用 来替代．
(5)对于方程(x)=0的一个简单达代公式x1=x),若其产生的序列收敛很慢,这时可令新的选代函数为x)-只(x)+x)-x)(k.待定常数) 要想得到收敛速度更快的选代函数,k的最好取值是使贞x)满足x)=0,由于方程的解x未知,通常取 可得加速迭代公式 ()x)-,(x) (6)对迭代格式x+1=以(xk),若叫(xk)满足 那么该格式收敛的阶数是 24牛顿迭代法 13.用牛顿选代法求方程x3+4x2-10=0在[,2上的根 (1)写出该方程的牛顿迭代公式 f(x)=x3+4x2-10,f(x)=3x2+8x x+4x-10 H+1*xr" 牛顿选代公式为 3x2+8 x3+4x2+10 (2)取初值x0=1.5,证明该方程的牛顿选代公式收敛 证明(1)=-5,f(2)=41,f(1)f(2)0,fx)=6x+8>0 15=3,15)15>0,所以选代格式收敛 (3)选代求出方程的近似根x,要求精度:k=xl0 (k=0,1,2A) (2)求解方程x3-3x-1=0的牛顿选代公式为 1-3,5 (k=0,1,2,A (3)用牛顿法计算√5的值,其选代公式为 取x=2,得√5的各近似值: x2=2211,1x=23060978 精确到10°的近似值为_2236067978 (4)对于方程x3-3x-1=0 k=1,2A) 其弦截法迭代公式为 +i:lo+ 16.用牛顿选代法求方程x3+2x2+10x-20=0在x0=1.5附近的根 解迭代格式为 ““x3+4+0-“3+43+10(01240) 将x0=1.5代入选代公式计算得 x1=1.373626373,x2=1.368814819,x3=1,368808107,x4=1.368808107 2.5弦截法 17.用快速弦截法求方程x3+3x2-x-9=0在区间[,2]内的根,精确至5位有效数字 解取x=14,x=1.6,代人选代公式 xRF(rs) f(x)-f(x-1),f(x)=x+3x-xk-9 代入计算得f(x0)=2168,f(x1)=1.176,x2=1.52967 f(x2)=0.0692609,x=1.51069 f(x3)=-0.216464,x=1.524l f(x4)=-0.0140970,x5=1.525ll f(x5)=0.000117173,x6=1.52510 所以x15251
(5) 对于方程f (x) = 0的一个简单迭代公式 ，若其产生的序列{xk}收敛很慢，这时可令新的迭代函数为 ，要想得到收敛速度更快的迭代函数，k的最好取值是使 满足 ．由于方程的解x *未知，通常取 ，可得加速迭代公式 (6) 对迭代格式xk+1 = φ(xk )，若φ(xk )满足 ，而 那么该格式收敛的阶数是 2.4 牛顿迭代法 13．用牛顿迭代法求方程 在[1, 2]上的根． (1) 写出该方程的牛顿迭代公式. 解 ， 牛顿迭代公式为 (2) 取初值x0 =1.5，证明该方程的牛顿迭代公式收敛. 证明 f (1) = -5，f (2) = 41，f (1) f (2) < 0 当 时 ， ， ，所以迭代格式收敛． (3) 迭代求出方程的近似根xk，要求精度： . 解 将x0 =1.5代入迭代公式得 x1 = 1.373333333，x2 = 1.365262015 x3 = 1.365230014，x4 = 1.365230013 由于x4满足 ，故近似根取作x4 = 1.365230013 14．选择题 如下说法中，不正确的是（ C ） (A) 牛顿迭代法也是一种简单迭代法 (B) 牛顿迭代法也叫牛顿切线法 (C) 当x0充分接近x *时，弦截法比牛顿法收敛快 (D) 弦截法的优点是不需要计算导数值 15．填空题 (1) 对于方程f(x) = 0，已知其根x *介于a，b之间，初值 ．证明该方程的牛顿迭代公式收敛，需验证成立的条件为 ① ② ③ ④ (2) 求解方程 的牛顿迭代公式为 (3) 用牛顿法计算 的值，其迭代公式为 取x0 = 2，得 的各近似值： ， ， 精确到 的近似值为 2.236067978 (4) 对于方程 其弦截法迭代公式为 16．用牛顿迭代法求方程 在x0 = 1.5附近的根． 解 迭代格式为 将x0 =1.5代入迭代公式计算得 x1 = 1.373626373，x2 = 1.368814819，x3 = 1.368808107，x4 = 1.368808107 2.5 弦截法 17．用快速弦截法求方程 在区间[1, 2]内的根，精确至5位有效数字. 解 取x0 = 1.4，x1 = 1.6，代人迭代公式 ， 代入计算得 f (x0 ) =-2.168， f (x1 ) = 1.176，x2 =1.52967； f (x2 ) = 0.0692609， x3 = 1.51069； f (x3 ) = -0.216464， x4 = 1.52417； f (x4 ) = -0.0140970， x5 = 1.52511； f (x5 ) = 0.000117173， x6 = 1.52510； 所以 ．
第三章线性方程组的数值解法 3.2线性方程组的直接解法 选择题 当n阶方阵A满足条件(A)时,线性方程组Ax=b有唯一解 (A)A非奇异 (B)R(4) D)以上都不对 2.填空题 的聊一种法在计算中入说迅增长,无法拉,成结果失高,称这一法经数值不酸定的,反之是数值定的高司去法是数在 (2)解线性方程组的直接法有消去法与列主元消去法,其中_列主元消去法有利于控制误差的增长,这是因为它能有效克服“小”主元带来的“大数吃 现象,从而有效控制误差的增长 (3)过三点(1,1)、(2,-1)和(3,1)的抛物线为y=212-8x+7 (4)用列主元高斯消去法,对方程组的增广矩阵作初等变换,当进行至 83-1 0-1 103786 时,下一步所选主元为 3.用高斯消去法求解方程组 4x1+2x2+5x3=4 解记B=(A,b),B称为增广矩阵,用对增广矩阵的初等行变换表示消元过程如下 2-13}1 120;7 052-3/2:132-20058:21/4 回代得 =8.4,x=26 4.用列主元消去法求解方程组(计算结果保留到小数点后3位) 3x2+3x3=15 18x+3-再=-15 B=[-18]3-11-1 011670.944:51 →0[.1670.944:5167+20-123335 01.1670.944:5.1 31m003142:9428 回代得 33线性方程组的直接分解法 5.判断题 (1)当矩阵A的各阶前主子式都不等于零时,可唯一地分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘 (2)若不计舍入误差,LU分解法是求解线性方程组的精确方法 (√) (3)L分解法中的U就是高斯消去法得到的上三角方程组的系数矩阵.(√) 6.用矩阵的LU分解法求解线性方程组Ax=b,其中 27 18450-45 27-459135 8 解对A做LU分解,先计算U的第一行及L的第一列 n=a1=9,u2=a12=18,13=a13=9,n14=a14=-27 l31=a31/a1=1,l4=a41/a 然后计算U的第二行及L的第二列 a2=a22-l21a12=9,n3=a23-l21a3=-18,a24=a24-l1a14 l32=(a32-l3ln2)/22=-2,l42=(a42-l41n12)/n2=1 再计算U的第三行及L的第三列 B3=a33-l1n3-l32n23=81,4=a34l31a14-l32a4=54 l43=(a43-l4l1342n23)/u33=3 最后计算44 a4=a4-l41u14-l42an24l43as4=9
第三章 线性方程组的数值解法 3.2 线性方程组的直接解法 1．选择题 当n阶方阵A满足条件（ A ）时，线性方程组Ax = b有唯一解. (A) A非奇异 (B) R(A) ≠ 0 (C) R(A) < n (D) 以上都不对 2．填空题 (1) 如果一种算法在计算中舍入误差积累迅速增长，无法控制，造成结果失真，则称这一算法是数值不稳定的，反之是数值稳定的.高斯消去法是 数值不稳 定 的算法 (2) 解线性方程组的直接法有消去法与列主元消去法，其中 列主元消去法 有利于控制误差的增长，这是因为它能有效克服“小”主元带来的 “大数吃 小数” 现象，从而有效控制误差的增长 (3) 过三点(1, 1)、(2, -1)和(3, 1)的抛物线为 y = 2x 2 - 8x + 7 (4) 用列主元高斯消去法，对方程组的增广矩阵作初等变换，当进行至 时，下一步所选主元为 3．用高斯消去法求解方程组 . 解 记B = (A, b)，B称为增广矩阵，用对增广矩阵的初等行变换表示消元过程如下 回代得 x3 =8.4， x2 =2.6， x1 =-10.8 4．用列主元消去法求解方程组（计算结果保留到小数点后3位） . 解 回代得 ． 3.3 线性方程组的直接分解法 5．判断题 (1) 当 矩 阵 A 的 各 阶 前 主 子 式 都 不 等 于 零 时 ， 可 唯 一 地 分 解 为 一 个 单 位 下 三 角 阵 L 和 一 个 上 三 角 阵 U 的 乘 积． ( √ ) (2) 若不计舍入误差，LU分解法是求解线性方程组的精确方法． ( √ ) (3) LU分解法中的U就是高斯消去法得到的上三角方程组的系数矩阵． ( √ ) 6．用矩阵的LU分解法求解线性方程组Ax = b，其中 ， 解 对A做LU分解，先计算U的第一行及L的第一列 u11 = a11 = 9， u12 = a12 = 18， u13 = a13 = 9， u14 = a14 = -27 l21 = a21 / u11 = 2， l31= a31 / u11 = 1， l41= a41 / u11 = -3 然后计算U的第二行及L的第二列 u22 = a22 - l21 u12 = 9， u23 = a23- l21 u13 = -18， u24 = a24- l21 u14 = 9 l32 = (a32 - l31 u12 ) / u22 = -2， l42 = (a42- l41 u12 ) / u22 = 1 再计算U的第三行及L的第三列 u33 = a33- l31 u13- l32 u23 = 81， u34 = a34- l31 u14- l32 u24 = 54 l43 = (a43- l41 u13- l42 u23 ) / u33 = 最后计算u44 u44 = a44- l41 u14- l42 u24- l43 u34 = 9 因此
000 000 54 解方程组L=b,得 y=(1,0,15,1) 解方程组Ux=y,得 7.用LU紧凑格式分解法求解线性方程组Ax=b,其中 如 >9 解对增广矩阵进行緊凑格式分解,有 9101 B=(A,b)= 71087 7/51087:1 5765 6/5-215-4/5-3-1/ 6/5-2/5-4/5-3 287:1 7/5-1/2-5-1712:-1/2 熟2步[1065 6/5-215-4/5-3 7/5-1/2-5-17/2}-12 910 00-5-17/2 所以 103/5 解方程组Ux=y,得 (20,-12,-5,3)2 34特殊线性方程组的解法 (1)当矩阵A满足条件(C)时,解方程组Ax=b的L吩解法就可用改进的平方根法(或称改进的乔岽斯基分解法)来求解,从而减少计算量 (A)A对称正定 (B)A的所有顺序主子式都大于零 (C)选项(A)、(B)结合 (2)当方程组Ax=b的系数矩阵为三对角矩阵时,由对A的LU分解公式,可得到求解三对角方程组的(B) (A)乔累斯基分解 C)LDLT分解法 9.填空题:用改进的平方根法(或改进的乔累斯基分解法)求解线性方程组 4-2x2-4=10 2x1+17x2+10万=3 对其增广矩阵进行如下的紧凑格式分解 4-2-410 4-2-410 4109}-71步 1/2168:8 1/29 得到等价的三角形方程组为 x1-2x2-4x3=10 16x2+8x3=8 回代解得 (2 10.用追赶法求解方程组 2 解求得q1=2,q=32,q3=4/3,q4=54,qs=65 ,p3=2/3,P4=3/4,ps=45 解方程组L=,得 y=(1,-1/2 解方程组Ux=y,得 35向量与矩阵的范数 1.填空题 )设x=(.-12y,那么叫-4,√6,风
解方程组Ly = b，得 y = (1, 0, 15, 1)T 解方程组Ux = y，得 7．用LU紧凑格式分解法求解线性方程组Ax = b，其中 ， 解 对增广矩阵进行紧凑格式分解，有 所以 ， ， 解方程组Ux = y，得 3.4 特殊线性方程组的解法 8．选择题 (1) 当矩阵A满足条件（ C ）时，解方程组Ax = b的LU分解法就可用改进的平方根法（或称改进的乔累斯基分解法）来求解，从而减少计算量. (A) A对称正定 (B) A的所有顺序主子式都大于零 (C) 选项(A)、(B)结合 (D) A非奇异 (2) 当方程组Ax = b的系数矩阵为三对角矩阵时，由对A的LU分解公式，可得到求解三对角方程组的（ B ） (A) 乔累斯基分解法 (B) 追赶法 (C) LDLT分解法 (D) 以上选项都不对 9．填空题：用改进的平方根法（或改进的乔累斯基分解法）求解线性方程组 对其增广矩阵进行如下的紧凑格式分解： 得到等价的三角形方程组为 ， 回代解得 10．用追赶法求解方程组 解 求得 q1 = 2，q2 = 3/2，q3 = 4/3，q4 = 5/4，q5 = 6/5； p2 = 1/2，p3 = 2/3，p4 = 3/4，p5 = 4/5 解方程组Ly = f，得 y = (1, -1/2, 1/3, -1/4, 6/5)T 解方程组Ux = y，得 x = (1, -1, 1, -1, 1)T． 3.5 向量与矩阵的范数 1．填空题 (1) 设x = (1, -1, 2)T，那么 ，
那么41 √ (3)矩阵L1 则A的条件数cm(A (4)已知A为n阶对称矩阵,且(4)=3,那 性态是衡量方程组的解对扰动(误差)的敏感程度的,若较小的扰动带来解的较大变化,那么称方程组是病态的,否则称为良态 般如果 系数矩阵A的条件数 cond(a)远远大于L时,方程组是病态的 (6)对任一n维向量x=(x1,x2…,x),不同的范数,其值不同,但总满足下面关系式 2.判断题 对任何非奇异矩方阵A,都有cond(4)≥1 对任何非奇异矩方阵A的任一范数,都有(4) (3)若线性方程组的系数矩阵A的各元素间量级差异很大且无一定规律,或者某些行(列)近似线性相关,则方程组可能为病态 (4)方程组的性态是其固有性质,任何方法都不可能改变其病态程度.(×) A=-13-1 3.设矩阵 0-12,求4p(P=1,2,)和p4) 解因为4为对称矩阵,因此|41-4-5 A-55 AA-511-5r-44-54-115=(2-0A-4(2-10=0 1=1,2=4,3=16,44)=16,因此 由于A为对称矩阵,所以 4-|4 4.证明:对于矩阵A范数,如果4<1,则 明(+A(+A)2=(I+A)2+A(+A (I+A)=1-A(I+A) 两边同时取范数得 k+4)十中-4(+4+4(+4+1+|+A 移项得 k+4)k-14 回为A4,.从有k= 5.填空题 (1)已知线性方程组Ax=b ∫+2x-5 ①给右端项b一扰 0 取无穷大范数,利用公式 估计解x的相对误差,求得 01 从而 L 1909 ②给系数矩阵A一扰动001 取无穷大范数,利用公式 估计解x的相对误差,求得 从而 FL (2)希尔伯特( Hilbert)矩阵(又称坡度阵) /4A10n+1) /71n+1)1m+2)A127-1) 是有名的病态阵,当n=3时,Cn(B)=_743,且随着阶数的增大,条件数迅速增大
(2) 设矩阵 ，那么 ， (3) 矩阵 ，则A的条件数 (4) 已知A为n阶对称矩阵，且ρ(A) = 3，那么 (5) 线性方程组的性态是衡量方程组的解对扰动（误差）的敏感程度的，若较小的扰动带来解的较大变化，那么称方程组是病态的，否则称为良态的．一般如果 系数矩阵A的条件数cond(A) 远远大于1 时，方程组是病态的. (6) 对任一n维向量x =(x1 , x2 ,…,xn) T，不同的范数，其值不同，但总满足下面关系式 2．判断题 (1) 对任何非奇异矩方阵A，都有cond (A) ≥ 1. ( √ ) (2) 对任何非奇异矩方阵A的任一范数，都有ρ(A) ≥ ||A||. ( × ) (3) 若 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 A 的 各 元 素 间 量 级 差 异 很 大 且 无 一 定 规 律 ， 或 者 某 些 行 （ 列 ） 近 似 线 性 相 关 ， 则 方 程 组 可 能 为 病 态 的． ( √ ) (4) 方程组的性态是其固有性质，任何方法都不可能改变其病态程度． ( × ) 3．设矩阵 ，求||A||p ( p = 1, 2, ∞)和ρ(A)． 解 因为A为对称矩阵，因此 ， λ1 = 1，λ2 = 4，λ3 = 16，ρ(A TA) = 16，因此 由于A为对称矩阵，所以 4．证明：对于矩阵A范数，如果 ，则 证明 移项得 两边同时取范数得 移项得 因为 ，从而有 5．填空题 (1) 已知线性方程组Ax = b为 ① 给右端项b一扰动 ，取无穷大范数，利用公式 估计解x的相对误差，求得 ， ， 从而 ② 给系数矩阵A一扰动 ，取无穷大范数，利用公式 估计解x的相对误差，求得 从而 (2) 希尔伯特（Hilbert）矩阵（又称坡度阵） 是有名的病态阵，当n = 3时， ，且随着阶数的增大，条件数迅速增大．
36线性方程组的送代解法 6.给定线性方程组112x」[1 (1)分别写出雅可比和高斯-塞德尔迭代格式,并判断它们的收敛性 (=0,12,A) 解雅可比迭代格式为 MJ 220.AM)=小+>1,所以雅可比选代格式发散 高斯-塞德尔迭代格式为 -0.12A)M-0 M)--<1 所以高斯-塞德尔迭代格式收敛 (2)取初值x0)=(0,0,0)3,用(2)中收敛的选代格式求解(保留到小数点后4位) 解(2)中赛德尔迭代格式收敛.取初值x0-(0,0,0),选代计算得 x)=(0.00003.0000-10000, x(2)=(-1.000,05000-1.5000, x3)=(-1.7500,62500,-1.7500)1, x4)=(-22500,7.0000-18750), (精确解为x=(-3,8,-2)) 7.填空题 (1)将方程组 中方程的顺序由“①②③”调整为③①②能使雅可比和高斯-塞德尔迭代收敛 x4=-4 那么迭代格式_收敛.(填“收敛”或“不收敛”) 0‖x (3)解线性方程组L0-14儿」[-24的高斯-赛德尔迭代格式为 303 x=-6-x2) 8.判断题 (l)对线性方程组Ax〓b构造的雅可比、高斯-塞德尔和超松弛选代格式的收敛性仅与方程组的系数矩阵A有关,而与迭代初值x(0)无 (2)高斯-塞德尔迭代格式一定比雅可比迭代格式收敛速度快 (3)若方阵A严格对角占优,则A非奇异 (4)对收敛的选代格式,在选代计算的过程中,不怕中途出 9.对方程组 用超松弛迭代(取=1.1)求解,取初值0)=(0,0,0),并精确到小数点后3位 解=1.1时迭代格式为 x)=x23)+0(8+x1-3x)+砖》)(k=0.1,2.A) 初值x0)=(0,0,0)1,迭代计算得 x)=(0.550,3.1350,-1.0257)T x2)=(22193,3.0574,-1.9658)
3.6 线性方程组的迭代解法 6．给定线性方程组 (1) 分别写出雅可比和高斯-塞德尔迭代格式，并判断它们的收敛性. 解 雅可比迭代格式为 ， ，所以雅可比迭代格式发散． 高斯-塞德尔迭代格式为 ， 所以高斯-塞德尔迭代格式收敛． (2) 取初值x (0) = (0, 0, 0)T，用(2)中收敛的迭代格式求解（保留到小数点后4位）． 解 (2)中赛德尔迭代格式收敛．取初值x (0)=(0, 0, 0)T，迭代计算得 x (1) = (0.000 0, 3.000 0, -1.000 0)T， x (2) = (-1.000 0, 5.000 0, -1.500 0)T， x (3) = (-1.750 0, 6.250 0, -1.750 0)T， x (4) = (-2.250 0, 7.000 0, -1.875 0)T， （精确解为x = (-3, 8, -2)T） 7．填空题 (1) 将方程组 中方程的顺序由“①-②-③”调整为 ③-①-② 能使雅可比和高斯-塞德尔迭代收敛． (2) 用高斯-塞德尔迭代法求解线性方程组 那么迭代格式 收敛 ．（填“收敛”或“不收敛”） (3) 解线性方程组 的高斯-赛德尔迭代格式为 8．判断题 (1) 对 线 性 方 程 组 Ax = b 构 造 的 雅 可 比 、 高 斯 - 塞 德 尔 和 超 松 弛 迭 代 格 式 的 收 敛 性 仅 与 方 程 组 的 系 数 矩 阵 A 有 关 ， 而 与 迭 代 初 值 x (0) 无 关． ( √ ) (2) 高斯-塞德尔迭代格式一定比雅可比迭代格式收敛速度快． ( × ) (3) 若方阵A严格对角占优，则A非奇异． ( √ ) (4) 对收敛的迭代格式，在迭代计算的过程中，不怕中途出错． ( √ ) 9．对方程组 用超松弛迭代（取ω = 1.1）求解，取初值x (0) = (0, 0, 0)T，并精确到小数点后3位. 解 ω = 1.1时迭代格式为 初值x (0) = (0, 0, 0)T，迭代计算得 x (1) = (0.550 0, 3.135 0, -1.025 7)T x (2) = (2.219 3, 3.057 4, -1.965 8)T
(2000,30000-1.00001 第四章插值与拟合 42拉格朗日插值 1.填空题 (1过点(0.2、(,1、2,2)的不超过2次的多项式为x2-2x+2 F(r)=x (2)设x(=0,1,2,…,n)为m+1个互异的插值节点,l(x)为相应的 agrange插值基函数,则x (3)设x=(=0、1,2…,m)为n+1个互异的插值节点,从x)是相应的n次 Lagrange插值基函数,则f x22(x) (4)设l(x)是对n+1个点x(=0,1,2,…,n)进行 Lagrange插值的基函数,则 (5)如果记风x)为过两点(x,10)、(x,y)的插值多项式P(x)的余项,则R(x)的误差限为 x53(-6)(其中,∞ (6)多项式 p(x)=-21+45x-27x2+5x2和(x)=3-5x+8x2-5x2+x2 都能插值下表 3 这是否违背插值多项式的唯一性?否(填“是”或“否”) 给定数据表 用拉格朗日插值方法求出f(x)的不超过3次的插值多项式L3(x) 解先构造基函数如下 (x-2)x-3)( (r- 2Xx x(x-2)(x-5) 0X(3-2 (x=Dx=2Xx-3)1 x(x-2)(x-3 所以拉格朗日插值多项式 为 L3(x)-20(x)罗0+4(x)y1+2(x)2+2(x)y (x-2x-3x-5)-2x(x-3x-分)+3x-2x-5)+15双x-20x-3) 3.将下面计算过程补充完整 给定函数sinx的数值表如下 0.314567 0.333487 0.352274 用线性插值和抛物线插值计算sn0.367的值,并利用插值余项给出计算结果的误差限.取 x0=0.32,y0=0.314567:x1=0.34,y=0.333487:x2=0.36,y2=0.352274 (1)线性插值:由于0.32<03367<0.34,在区间[x上进行插值,求得 少0--15123-0301、167435x-032) (x)=x 从而 si03367=L00.3367)=0.330365 (x)士甲 坦x,因而 03367)-50337-0303367-0.34X-sm (∈|0.32,0.341) ≤0.92×1 (2)抛物线插值:求得 (x0-x2)39320875x034Xx036 l1(x) 32)x036),4(x)-4403425(x 032)x034)L 从而 sin0307≈2(0.3367)=0374 因而 03-0300304(∈02.06) ≤0.178×10
x (7) = (2.000 0, 3.000 0, -1.000 0)T 第四章 插值与拟合 4.2 拉格朗日插值 1．填空题 (1) 过点(0, 2)、(1, 1)、(2, 2)的不超过2次的多项式为 (2) 设xi (i = 0, 1, 2, …, n)为n+1个互异的插值节点，l i (x)为相应的Lagrange插值基函数，则 (3) 设xi = i (i = 0, 1, 2, …, n)为n+1个互异的插值节点，l i(x)是相应的n次Lagrange插值基函数，则 (4) 设l i(x)是对n+1个点xi (i = 0, 1, 2, …, n)进行Lagrange插值的基函数，则 (5) 如果记R(x)为过两点(x0 , y0 )、(x1 , y1 )的插值多项式P1 (x)的余项，则R(x)的误差限为 (6) 多项式 和 都能插值下表 xi 1 2 3 4 yi 2 1 6 47 这是否违背插值多项式的唯一性？ 否 （填“是”或“否”） 2．给定数据表 x 0 2 3 5 f (x) 1 -3 -4 2 用拉格朗日插值方法求出f (x)的不超过3次的插值多项式L3 (x)． 解 先构造基函数如下 所以拉格朗日插值多项式为 3．将下面计算过程补充完整 给定函数sinx的数值表如下 x 0.32 0.34 0.36 sinx 0.314567 0.333487 0.352274 用线性插值和抛物线插值计算sin0.3367的值，并利用插值余项给出计算结果的误差限．取 x0 = 0.32，y0 = 0.314567； x1 = 0.34，y1 = 0.333487； x2 = 0.36，y2 = 0.352274 (1) 线性插值：由于0.32<0.336 7<0.34，在区间[x0 , x1 ]上进行插值，求得 ， 从而 由于 ，因而 (ξ∈[0.32, 0.34] ) (2) 抛物线插值：求得 393.20875(x-0.34)(x-0.36) -833.7175(x-0.32)(x-0.36) ， 440.3425(x-0.32)(x-0.34) 从而 由于 ，因而 (ξ∈[0.32, 0.36] )
4.已知多项式(x)=x+-x3+x2-x+1通过下列点 331 试构造一多项式q(x)且通过下列各点 m3311} 解设八x)=p(x)-q(x),则(x)满足 由拉格朗日插值方法知 r()=l(=60×(x+2Xx+Xx=0x-1)x-=2=1x2-5x3 于是 q(x)=(x)-r(x) 43差商与牛顿插值 5.填空题 (1)设/(x)=an1xn+1an,≠0),则几,A,x=_a (2)设f(x)=x2+2x,则1 f1,3,4]=3 )对函数表 /(x) 求得其各阶差商如下表 f(x)一阶差商二阶差商三阶差商 (5) (2) 那么过这四个点的牛顿插值多项式为3(x)-1-3(x+1)+5x(x+1-2x(x+1x=1 对新增节点x=3,f(x)=25,请完成上面的差商计算表:并写出过这五个节点的牛顿插值多项式4(x)-1-3x+1)+5xx+D 6.判断题 交换差商[ox1,…x中的任意两个节点,差商的值改变 (2)若在原有数据上增加一组数据,则使用牛顿插值的插值多项式只增加一项,不必重复计算所有系数 (3)对同一个插值问题,其牛顿插值多项式与拉格朗日多项式相同,且两种余项也相 7.给定数据表 (1)求出(x)的不超过3次的插值多项式 解计算均差表如下 阶均差 二阶均差三阶均差四阶均差 所以牛顿插值多项式为 (4,-1),求f(x)的不超过4次的插值多项式,并求f(1.5)的近似值 解若增加 -1),则在上述均差表增加一行一列(见上表双下划线) M4(x)=M3(x)-xx-2(x-3)(x=5) f(1.5)≈N4(1.5)=-1.718861 8.完成下面计算过程 已知单调连续函数y=f(x)的如下数值表 0 0.8 f(x) 0.1995 0.5881 0.946l 用反插值插值方法求方程f(x)=04500在(0.00,1.80)内的根的近似值 将y作为自变量,采用牛顿插值,完成下面均差表 阶均差 阶均差 三阶均差 四阶均差
4．已知多项式 通过下列点： x -2 -1 0 1 2 3 p(x) 31 5 1 1 11 61 试构造一多项式q(x)且通过下列各点： x -2 -1 0 1 2 3 q(x) 31 5 1 1 11 1 解 设r(x) = p(x) - q(x)，则r(x)满足 x -2 -1 0 1 2 3 r(x) 0 0 0 0 0 60 由拉格朗日插值方法知 于是 4.3 差商与牛顿插值 5．填空题 (1) 设f (x) = an x n +1(an ≠ 0)，则 (2) 设f (x) = x 2+2x，则 ， (3) 对函数表 x -1 0 1 2 f (x) 1 -2 5 10 求得其各阶差商如下表 x f (x) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 -1 0 1 2 ( 3 ) 1 -2 5 10 ( 25 ) -3 7 5 ( 15 ) 5 -1 ( 5 ) -2 ( 2 ) ( 1 ) 那么过这四个点的牛顿插值多项式为 对新增节点x = 3，f (x) = 25，请完成上面的差商计算表；并写出过这五个节点的牛顿插值多项式 6．判断题 (1) 交换差商f [x0 , x1 ,…, xk ]中的任意两个节点，差商的值改变符号． ( × ) (2) 若在原有数据上增加一组数据，则使用牛顿插值的插值多项式只增加一项，不必重复计算所有系数． ( √ ) (3) 对同一个插值问题，其牛顿插值多项式与拉格朗日多项式相同，且两种余项也相 同. ( √ ) 7．给定数据表 x 0 2 3 5 f (x) 1 -3 -4 2 (1) 求出f (x)的不超过3次的插值多项式. 解 计算均差表如下 x f(x) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 0 1 2 -3 -2 3 -4 -1 1/3 5 2 3 4/3 1/5 4 -1 3 0 -2/3 -13/60 所以牛顿插值多项式为 (2) 若增加一组数据 (4, -1)，求f (x)的不超过4次的插值多项式，并求f (1.5)的近似值． 解 若增加一组数(4, -1)，则在上述均差表增加一行一列（见上表双下划线）． ． f (1.5)≈N4 (1.5) = -1.718861． 8．完成下面计算过程 已知单调连续函数y = f (x)的如下数值表 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 f (x) 0.1995 0.3965 0.5881 0.7721 0.9461 用反插值插值方法求方程f (x) = 0.4500在(0.00, 1.80)内的根的近似值． 将y作为自变量，采用牛顿插值，完成下面均差表 f(xi) xi 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差
