10°2/内有 且仅有一实根 证:设F(x)=∫ sinto-∫ sin t 10°2/连续 且F dt<0 F sin- t ∫si2tdt>0 由介值定理3。(πx,使F(5)=0即F(x0有根 又∵F(X)=sinx+ >0 F(x)单增 sIn X ∴根唯一 例23、设f(x)在[小连续印0=2∫上ef(x 试证:[0,小内至少彐一点,使f)=) 证:设F(x)=ef(x) 则F(x)在p,1可导 F(O)=f()=2∫ i e"f(x)dx中值efc)=F(c)≤csl F(x)在 E, 1 上满足罗尔定理条件 ∴至少存在一点,使F()=0 即-e-f)+e)=0亦即f()=f(2 例24、P128例3.23(1)(315 例 22、试证方程 dt 0 sin t 1 sin tdt x 2 π 2 x 10 π 2  +  = 在       2 π , 10 π 内 有 且仅有一实根 证：设 =  −  x 2 π 2 x 10 π 2 dt sin t 1 F(x) sin tdt 在       2 π , 10 π 连续 且   = −        = −       2 π 1 0 π 2 1 0 π 2 π 2 sin tdt 0 2 π d t 0 F sin t 1 10 π F 由介值定理         2 π , 10 π ζ ，使 F(ζ)=0 即 F(x)=0 有根 又∵ 0 sin x 1 F (x) sin x 2 2  = +  ，F(x) 单增 ∴根唯一 例 23、设 f(x) 在 0, 1，连续 ( )  − = 1 2 1 x f(0) 2 e f x dx 试证： 0, 1 内至少  一点 ζ ，使 f(ζ ) = f(ζ ) 证：设 F(x) e f(x) −xf = 则 F(x) 在 0, 1 可导 = =  1 2 1 -x F(0) f(0) 2 e f(x)dx c 1 2 1 e f(c) F(c) c =   − F(x) 在 0, 1 上满足罗尔定理条件 ∴至少存在一点ζ，使 F()= 0 即 - e f(ζ ) e f(ζ ) 0 ζ -ζ + = − 亦即 f()= f() 例 24、P128 例 3.23 (1) (3) 中值