两式不等号的方向恰好相反 、凸函数性质 命题1.若f…是凸集S上的凸函数,则∑,厂亦然,其中≥0 命题2.若∫(x)是凸集S上的凸函数,x,…,x∈S,A20,∑=1,则有: f(1x+…+λ1x3)≤41f(x2)+…+λf(x2) 命题3.设f(x)是凸集S上的凸函数,则对每一实数C水平集 ≤C,X∈ 是凸集 命题4.设f(x)是凸集S上的凸函数,则f(x)于S内部连续,且有方向导数: Im(x+a=mr/(x+a)(可为∞),x,x+M∈S 定理10定义在凸集S上的可微函数为凸函数的充要条件是,∨x1,x2∈S,均有 f(x2)2f(x)+Vf(x)(x2-x') (25) 证:1、必要性 设f(x)是凸函数,则有 f(x2+(1-1)x)=f(x2+(x2-x)≤(x2)+(1-1)f(x) 于是有 f(x+(x2-x)-f(x1)≤A(f(x2)-f(x2) 由可微性定义2(即(10))知上式左端等于 左端v(x)y(x2-x)+0(4|2-x≤x)-f(x) 以λ除上式,并令λ→0,即得(25) 2、充分性 设x,x2∈S,(25)成立,令y=Ax2+(1-1)x2,∈[O1,应有 f(x)>f()+vf()(x-y162 两式不等号的方向恰好相反。 二、凸函数性质 命题 1. 若 k f  f 1 是凸集 S 上的凸函数，则 = k i i i f 1  亦然，其中 i  0 。 命题 2. 若 f (x) 是凸集 S 上的凸函数， x x S k , ,  1  ，i  0 ， 1 1  = = k i i ，则有： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 k k k k f  x ++  x   f x ++  f x 命题 3. 设 f (x) 是凸集 S 上的凸函数，则对每一实数 C,水平集 SC = x f (x)  C, xS 是凸集。 命题 4. 设 f (x) 是凸集 S 上的凸函数，则 f (x) 于 S 内部连续，且有方向导数： 可为） + = + → + → ( ( ) inf ( ) lim 0 0       f x d f x d ， x, x + d  S 定理 10. 定义在凸集 S 上的可微函数为凸函数的充要条件是， x x  S 1 2 , ，均有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 f x f x f x x x T  +  − （25） 证： 1、必要性. 设 f (x) 是凸函数，则有 ( (1 ) ) ( ( )) ( ) (1 ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 f x + −  x = f x +  x − x  f x + −  f x 于是有 ( ( )) ( ) ( ( ) ( )) 1 2 1 1 2 1 f x +  x − x − f x   f x − f x 由可微性定义 2（即（10））知上式左端等于 左端= ( ) ( − ) + 1 2 1 f x x x T  ο ( ) ( ( ) ( )) 2 1 2 1  x − x   f x − f x 以  除上式，并令  →0 ，即得（25） 2、充分性. 设 x x  S 1 2 , ，（25）成立，令 (1 ) , [0,1] 1 2 y = x + −  x   ，应有 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 f x f y f y x y T  +  −